2025届高中数学全程复习课后定时检测训练36（Word版附解析）

这是一份2025届高中数学全程复习课后定时检测训练36（Word版附解析），共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是 ( )
A．a＋b＝0
B．a＝b
C．a与b共线反向
D．存在正实数λ，使a＝λb
2．下列各式化简结果正确的是( )
A． eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(BC,\s\up6(→))
B． eq \(AM,\s\up6(→)) ＋ eq \(MB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BO,\s\up6(→)) ＋ eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \(AM,\s\up6(→))
C． eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) － eq \(AC,\s\up6(→)) ＝0
D． eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \(AD,\s\up6(→)) － eq \(DC,\s\up6(→)) ＝ eq \(BC,\s\up6(→))
3．[2024·江苏盐城模拟]已知ABCD是平面四边形，设p： eq \(AB,\s\up6(→)) ＝2 eq \(DC,\s\up6(→)) ，q：ABCD是梯形，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在四边形ABCD中，若 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) ，且| eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) |＝| eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \(AD,\s\up6(→)) |，则( )
A．四边形ABCD是矩形
B．四边形ABCD是菱形
C．四边形ABCD是正方形
D．四边形ABCD是平行四边形
5．[2024·河南开封模拟]已知△ABC中，D为BC边上一点，且BD＝ eq \f(1,3) BC，则 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝( )
A． eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→)) B． eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))
C． eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→)) D． eq \f(3,4) eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→))
6．[2024·江西宜春模拟]设G为△ABC的重心，则 eq \(GA,\s\up6(→)) ＋2 eq \(GB,\s\up6(→)) ＋3 eq \(GC,\s\up6(→)) ＝( )
A．0 B． eq \(AC,\s\up6(→))
C． eq \(BC,\s\up6(→)) D． eq \(AB,\s\up6(→))
7．(素养提升)已知O为△ABC所在平面内一点，若2 eq \(OA,\s\up6(→)) － eq \(OB,\s\up6(→)) ＋3 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝0，则S△AOC∶S△ABC＝( )
A．1∶3 B．1∶4
C．1∶5 D．1∶6
8．(素养提升)[2024·河北沧州模拟]在△ABC中 eq \(BE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(EC,\s\up6(→)) ， eq \(BF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) )，点P为AE与BF的交点， eq \(AP,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋μ eq \(AC,\s\up6(→)) ，则λ－μ＝( )
A．0 B． eq \f(1,4)
C． eq \f(1,2) D． eq \f(3,4)
二、多项选择题
9．[2024·黑龙江齐齐哈尔模拟]如图在△ABC中，AD，BE，CF分别是边BC，CA，AB上的中线，且相交于点G，则下列结论正确的是( )
A． eq \(DG,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(AG,\s\up6(→)) B． eq \(BG,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(BE,\s\up6(→))
C． eq \(GA,\s\up6(→)) ＋ eq \(GB,\s\up6(→)) ＋ eq \(GC,\s\up6(→)) ＝0 D． eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝2 eq \(AG,\s\up6(→))
10．[2024·广东梅州模拟]如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，CD∥AB，CD＝ eq \f(1,2) AB，E，F分别为DC，AE的中点，若 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋μ eq \(BF,\s\up6(→)) (λ，μ∈R)，则( )
A．λ＝ eq \f(7,2) B．μ＝2
C．λ＝ eq \f(7,4) D．μ＝1
三、填空题
11．化简4(a－3b)－6(－2b－a)＝________．
12．已知正方形ABCD的边长为2， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(BC,\s\up6(→)) ＝b， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝c，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c)) ＝________．
13．已知e1，e2不共线，向量a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2，且a∥b，则k的值为________．
14．(素养提升)[2024·江苏连云港模拟]在△ABC中，D为边AC上靠近点A的一个三等分点，P为线段BD上的动点，且 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝m eq \(AB,\s\up6(→)) ＋n eq \(AC,\s\up6(→)) (m>0，n>0)，则 eq \f(1,m) ＋ eq \f(1,n) 的最小值为______．
四、解答题
15．已知a、b不共线．
(1)若 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝2a＋b， eq \(BC,\s\up6(→)) ＝a－3b， eq \(CD,\s\up6(→)) ＝－a＋ eq \f(2,3) b，求证：A，C，D三点共线；
(2)若向量b－ta与 eq \f(1,2) a－ eq \f(3,2) b共线，求实数t的值．
优生选做题
16．[2024·湖北宜昌模拟]在△ABC中，AB＝AC，边BC上一点P满足sin ∠PAB＝2sin ∠PAC，若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝x eq \(AB,\s\up6(→)) ＋y eq \(AC,\s\up6(→)) ，则 eq \f(x,y) ＝( )
A．3 B．2
C． eq \f(1,2) D． eq \f(1,3)
17．[2024·江西赣州模拟]如图所示，在平行四边形ABCD中， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝b，BM＝ eq \f(2,3) BC，AN＝ eq \f(1,4) AB.
(1)试用向量a，b来表示 eq \(DN,\s\up6(→)) ， eq \(AM,\s\up6(→)) ；
(2)AM交DN于O点，求AO∶OM的值．
课后定时检测案36 平面向量的概念及线性运算
1．解析：因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，
则a与b共线同向，故D正确．故选D.
答案：D
2．解析： eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ≠ eq \(BC,\s\up6(→)) ，A错误； eq \(AM,\s\up6(→)) ＋ eq \(MB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BO,\s\up6(→)) ＋ eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BO,\s\up6(→)) ＋ eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \(AO,\s\up6(→)) ＋ eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \(AM,\s\up6(→)) ，B正确； eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) － eq \(AC,\s\up6(→)) ＝0，C错误； eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \(AD,\s\up6(→)) － eq \(DC,\s\up6(→)) ＝ eq \(DB,\s\up6(→)) － eq \(DC,\s\up6(→)) ＝ eq \(CB,\s\up6(→)) ，D错误．故选B.
答案：B
3．解析：在四边形ABCD中，若 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝2 eq \(DC,\s\up6(→)) ，则AB∥DC，且AB＝2DC，即四边形ABCD为梯形，充分性成立；若当AD，BC为上底和下底时，满足四边形ABCD为梯形，但 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝2 eq \(DC,\s\up6(→)) 不一定成立，即必要性不成立；故p是q的充分不必要条件．故选A.
答案：A
4．解析：因为 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) ，所以四边形ABCD为平行四边形，又| eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) |＝| eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \(AD,\s\up6(→)) |，所以| eq \(AC,\s\up6(→)) |＝| eq \(DB,\s\up6(→)) |，即对角线相等，所以四边形ABCD为矩形．故选A.
答案：A
5．解析：在△ABC中， eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) .因为BD＝ eq \f(1,3) BC，所以 eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) ( eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ).所以 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) ( eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→)) .故选A.
答案：A
6．解析：因为G为△ABC重心，所以 eq \(GA,\s\up6(→)) ＋ eq \(GB,\s\up6(→)) ＋ eq \(GC,\s\up6(→)) ＝0，所以 eq \(GA,\s\up6(→)) ＋2 eq \(GB,\s\up6(→)) ＋3 eq \(GC,\s\up6(→)) ＝2 eq \(GA,\s\up6(→)) ＋2 eq \(GB,\s\up6(→)) ＋2 eq \(GC,\s\up6(→)) ＋ eq \(AG,\s\up6(→)) ＋ eq \(GC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AC,\s\up6(→)) .故选B.
答案：B
7.
解析：由2 eq \(OA,\s\up6(→)) － eq \(OB,\s\up6(→)) ＋3 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝0，得2( eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) )＝ eq \(OB,\s\up6(→)) － eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \(CB,\s\up6(→)) ，
取AC边中点E，连接OE，则 eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝2 eq \(OE,\s\up6(→)) ，所以 eq \(CB,\s\up6(→)) ＝4 eq \(OE,\s\up6(→)) ，
又△OAC与△ABC有相同的底边AC，则它们的高之比即为OE与BC的比为 eq \f(1,4) ，
所以 eq \f(S△AOC,S△ABC) ＝ eq \f(1,4) .故选B.
答案：B
8．解析：因为 eq \(BF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) )，所以F为AC中点，
B，P，F三点共线，故可设 eq \(BP,\s\up6(→)) ＝k eq \(BF,\s\up6(→)) ，即 eq \(AP,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ＝k( eq \(AF,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) )，
整理得 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝k eq \(AF,\s\up6(→)) ＋(1－k) eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(1－k) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) k eq \(AC,\s\up6(→)) ，
因为 eq \(BE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(EC,\s\up6(→)) ，所以 eq \(AE,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \f(1,2) eq \(AE,\s\up6(→)) ，即 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ，A，P，E三点共线，
可得 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝m eq \(AE,\s\up6(→)) ＝m( eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,3) m eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) m eq \(AB,\s\up6(→)) ，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2m,3)＝1－k，,\f(m,3)＝\f(1,2)k，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝\f(1,2)，,m＝\f(3,4)，))
可得 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up6(→)) ，则λ＝ eq \f(1,2) ，μ＝ eq \f(1,4) ，λ－μ＝ eq \f(1,4) .
故选B.
答案：B
9．解析：由条件可知G为△ABC的重心，
由重心的性质可得AG∶GD＝2∶1，所以 eq \(DG,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(GA,\s\up6(→)) ，故A错误；
由重心的性质可得BG∶GE＝2∶1，所以 eq \(BG,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(BE,\s\up6(→)) ，故B正确；
eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝2 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝2× eq \f(3,2) eq \(AG,\s\up6(→)) ＝3 eq \(AG,\s\up6(→)) ，故D错误；
∵ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝3 eq \(AG,\s\up6(→)) ，∴ eq \(AG,\s\up6(→)) ＋ eq \(GB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AG,\s\up6(→)) ＋ eq \(GC,\s\up6(→)) ＝3 eq \(AG,\s\up6(→)) ，∴ eq \(GA,\s\up6(→)) ＋ eq \(GB,\s\up6(→)) ＋ eq \(GC,\s\up6(→)) ＝0，故C正确．故选BC.
答案：BC
10．解析：因为CD∥AB，CD＝ eq \f(1,2) AB，所以 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AE,\s\up6(→)) ＋ eq \(ED,\s\up6(→)) ＝ eq \(AE,\s\up6(→)) － eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→)) ，
因为F为AE的中点，所以 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝2 eq \(AF,\s\up6(→)) ＝2( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BF,\s\up6(→)) )＝2 eq \(AB,\s\up6(→)) ＋2 eq \(BF,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝2 eq \(AB,\s\up6(→)) ＋2 eq \(BF,\s\up6(→)) － eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(7,4) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋2 eq \(BF,\s\up6(→)) ，所以λ＝ eq \f(7,4) ，μ＝2.
可知AD错误，BC正确．故选BC.
答案：BC
11．解析：4(a－3b)－6(－2b－a)＝4a－12b＋12b＋6a＝10a.
答案：10a
12．解析： eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\(BC,\s\up6(→))＋\(AC,\s\up6(→)))) ＝2 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→)))) ＝2×2 eq \r(2) ＝4 eq \r(2) .
答案：4 eq \r(2)
13．解析：由a∥b可设：b＝λa(λ∈R)，则6e1＋ke2＝3λe1－4λe2，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3λ＝6，,－4λ＝k，)) 解得k＝－8.
答案：－8
14．解析：依题意，m>0，n>0， eq \(AP,\s\up6(→)) ＝m eq \(AB,\s\up6(→)) ＋n eq \(AC,\s\up6(→)) ＝m eq \(AB,\s\up6(→)) ＋3n eq \(AD,\s\up6(→)) ，
∵B，P，D三点共线，∴m＋3n＝1，
∴ eq \f(1,m) ＋ eq \f(1,n) ＝( eq \f(1,m) ＋ eq \f(1,n) )(m＋3n)＝4＋ eq \f(3n,m) ＋ eq \f(m,n) ≥4＋2 eq \r(\f(3n,m)·\f(m,n)) ＝4＋2 eq \r(3) ，
当且仅当 eq \f(3n,m) ＝ eq \f(m,n) ，m2＝3n2时，即m＝ eq \r(3) n＝ eq \f(\r(3)－1,2) 时等号成立．
答案：4＋2 eq \r(3)
15．解析：(1)证明： eq \(CD,\s\up6(→)) ＝－a＋ eq \f(2,3) b， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) ＝3a－2b＝－3(－a＋ eq \f(2,3) b)，
则有 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝－3 eq \(CD,\s\up6(→)) ，可得 eq \(AC,\s\up6(→)) ∥ eq \(CD,\s\up6(→)) 且C为公共点，
所以A，C，D三点共线．
(2)向量b－ta与 eq \f(1,2) a－ eq \f(3,2) b共线，则存在唯一实数λ，使得b－ta＝λ( eq \f(1,2) a－ eq \f(3,2) b)，
可得( eq \f(λ,2) ＋t)a－( eq \f(3,2) λ＋1)b＝0，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(λ,2)＋t＝0,\f(3,2)λ＋1＝0)) ，解得 t＝ eq \f(1,3) .
16．解析：
在△PAB中，由正弦定理可得 eq \f(BP,sin ∠PAB) ＝ eq \f(AB,sin ∠APB) . ①
在△PAC中，由正弦定理可得 eq \f(PC,sin ∠PAC) ＝ eq \f(AC,sin ∠APC) . ②
因为AB＝AC，sin ∠PAB＝2sin ∠PAC，sin ∠APB＝sin ∠APC，
由①②可得BP＝2PC，则 eq \(BP,\s\up6(→)) ＝2 eq \(PC,\s\up6(→)) ，
即 eq \(AP,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ＝2( eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AP,\s\up6(→)) )，解得 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→)) ，
又因为 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝x eq \(AB,\s\up6(→)) ＋y eq \(AC,\s\up6(→)) ，且 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AC,\s\up6(→)) 不共线，所以x＝ eq \f(1,3) ，y＝ eq \f(2,3) ，所以 eq \f(x,y) ＝ eq \f(1,2) .故选C.
答案：C
17．解析：(1)因为 eq \(AN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→)) ，所以 eq \(AN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) a，所以 eq \(DN,\s\up6(→)) ＝ eq \(AN,\s\up6(→)) － eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) a－b，
因为 eq \(BM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(BC,\s\up6(→)) ，所以 eq \(BM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) b，
所以 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BM,\s\up6(→)) ＝a＋ eq \f(2,3) b；
(2)设 eq \(AO,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AM,\s\up6(→)) ，
则 eq \(DO,\s\up6(→)) ＝ eq \(AO,\s\up6(→)) － eq \(AD,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AM,\s\up6(→)) － eq \(AD,\s\up6(→)) ＝λ(a＋ eq \f(2,3) b)－b＝λa＋( eq \f(2,3) λ－1)b，
因为D，O，N三点共线，所以存在实数μ使 eq \(DO,\s\up6(→)) ＝μ eq \(DN,\s\up6(→)) ＝μ( eq \f(1,4) a－b)＝ eq \f(1,4) μa－μb，
由于向量a，b不共线，则λ＝ eq \f(1,4) μ， eq \f(2,3) λ－1＝－μ，解得λ＝ eq \f(3,14) ，μ＝ eq \f(6,7) ，
所以AO∶AM＝ eq \f(3,14) ⇒AO∶OM＝ eq \f(3,11) .