2025届高中数学全程复习课后定时检测训练56（Word版附解析）

这是一份2025届高中数学全程复习课后定时检测训练56（Word版附解析），共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．[2024·山西大同模拟]若过两点M(3，y)，N(0， eq \r(3) )的直线的倾斜角为150°，则y的值为( )
A． eq \r(3) B．0
C．－ eq \r(3) D．3
2．直线l过点(1，－2)，且在两坐标轴上的截距之和为－2，则直线l的方程为( )
A．x－3y－7＝0 B．2x－y－4＝0
C．x＋y＋1＝0 D．4x－y－8＝0
3．已知直线l：mx＋y＋3＝0，且向量(1－m，2)是直线l的一个方向向量，则实数m的值为( )
A．－1 B．1
C．2 D．－1或2
4．如果AC<0，BC>0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．若直线l：Ax＋By＋C＝0的倾斜角为α，则“A·B<0”是“α不是钝角”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．直线l经过点P(4，－3)，在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a，b满足lgab＝2，则直线l的斜率为( )
A．2 B．－1
C．－3 D．－1或－3
7．将直线y＝ eq \r(3) (x－2)绕点(2，0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程是( )
A． eq \r(3) x＋y－2 eq \r(3) ＝0 B． eq \r(3) x－y＋2 eq \r(3) ＝0
C． eq \r(3) x＋y＋2 eq \r(3) ＝0 D． eq \r(3) x－y－2 eq \r(3) ＝0
8．若直线y＝ax＋1与连接A(2，3)，B(－3，2)的线段总有公共点，则a的取值范围是( )
A．[－1， eq \f(1,3) ]
B．(－∞，－ eq \f(1,3) ]∪[1，＋∞)
C．[－ eq \f(1,3) ，1]
D．(－∞，－2]∪[ eq \f(1,3) ，＋∞)
9．(素养提升)若直线l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则a的取值范围为( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，0)∪[2，＋∞)
C．(－∞，0)∪( eq \f(3,2) ，＋∞)
D．(－∞，0)∪[ eq \f(3,2) ，＋∞)
10．(素养提升)[2024·黑龙江大庆模拟]已知直线 eq \f(x,a) ＋ eq \f(y,b) ＝1经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中正确的是( )
A．|a|<|b| B． eq \r(－a) < eq \r(b)
C．(b－a)(b＋a)>0 D． eq \f(1,a) < eq \f(1,b)
二、多项选择题
11．下列说法正确的是( )
A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点(k，b)在第三象限
B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3，2)
C．过点(2，－1)且斜率为－ eq \r(3) 的直线的点斜式方程为y＋1＝－ eq \r(3) (x－2)
D．斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线的方程为y＝－2x±3
12．直线l经过点(3，－2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是( )
A．3x＋2y＝0 B．2x＋3y＝0
C．x－y－5＝0 D．x＋y－1＝0
三、填空题
13．已知直线l1经过点(1，2)，(2，a)，且l1的倾斜角与直线l2：2x－y＋7＝0的倾斜角互补，则a＝________．
14．[2024·河北沧州模拟]已知直线l过点(3，4)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的两倍，则直线l的方程为________________．
四、解答题
15．已知直线l：(2k＋3)x－(k－1)y＋3k＋7＝0(k∈R)
(1)求直线l过定点P的坐标；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围．
优生选做题
16．[2024·河北邯郸模拟]直线l的倾斜角是直线5x＋12y－1＝0倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是( )
A．5x＋y－10＝0 B．y＝－ eq \f(1,5) x＋1
C． eq \f(x,－2) ＋ eq \f(y,10) ＝1 D．5x－y－1＝0
17．[2024·安徽淮南模拟]已知O为坐标原点，A(－1，2)，过点A且斜率为k的直线l与x轴负半轴及y轴正半轴分别交于点B，C.
(1)求|AB|·|AC|的最小值；
(2)若△OBC的面积为S，且对于每一个S的值满足条件的k值只有2个，求S的取值范围．
课后定时检测案56 直线的方程
1．解析：因为过两点M(3，y)，N(0， eq \r(3) )的直线的倾斜角为150°，所以直线MN斜率为k＝ eq \f(y－\r(3),3) ＝tan 150°，即k＝ eq \f(y－\r(3),3) ＝－ eq \f(\r(3),3) ，解得y＝0.故选B.
答案：B
2．解析：由题意，直线在两坐标轴上有截距且截距不为0，故设所求直线方程为 eq \f(x,a) ＋ eq \f(y,b) ＝1，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(－2,b)＝1，,a＋b＝－2，)) 解得a＝－1，b＝－1，故直线方程为x＋y＋1＝0，故选C.
答案：C
3．解析：∵向量(1－m，2)是直线l的一个方向向量，直线l的斜率k＝－m，∴－m(1－m)＝2，解得m＝－1或m＝2.故选D.
答案：D
4．解析：因为AC<0，且BC>0，所以A，B，C均不为零，由直线方程Ax＋By＋C＝0，可化为y＝－ eq \f(A,B) x＋(－ eq \f(C,B) )，因为AC<0，且BC>0，可得k＝－ eq \f(A,B) >0，y轴截距－ eq \f(C,B) <0，所以直线经过第一、三、四象限，所以不经过第二象限．故选B.
答案：B
5．解析：若A·B<0，则l的斜率－ eq \f(A,B) >0，则α不是钝角．若α＝0°或α＝90°，则A·B＝0.故“A·B<0”是“α不是钝角”的充分不必要条件．故选A.
答案：A
6．解析：由题意设直线l的方程为 eq \f(x,a) ＋ eq \f(y,b) ＝1，则 eq \f(4,a) ＋ eq \f(－3,b) ＝1 ①，
又lgab＝2，∴b＝a2 ②，
由①②解得a＝3，b＝9或a＝1，b＝1，
又由lgab＝2知a>0，a≠1，b>0，则a＝3，b＝9，
则直线l的斜率为－ eq \f(b,a) ＝－3.故选C.
答案：C
7．解析：点(2，0)为直线y＝ eq \r(3) (x－2)与x轴的交点，直线y＝ eq \r(3) (x－2)的斜率为 eq \r(3) ，则直线的倾斜角为60°，则将直线y＝ eq \r(3) (x－2)绕点(2，0)按逆时针方向旋转60°后所得直线的倾斜角为120°，则所求直线的斜率为－ eq \r(3) ，所以所求直线的方程为y＝－ eq \r(3) (x－2)，即 eq \r(3) x＋y－2 eq \r(3) ＝0.故选A.
答案：A
8．解析：由直线y＝ax＋1可得直线的斜率为a，且过定点P(0，1)，又A(2，3)，B(－3，2)，则由图可得，要使直线与线段AB总有公共点，需满足a≥kPA或a≤kPB，又kPA＝ eq \f(3－1,2－0) ＝1，kPB＝ eq \f(2－1,－3－0) ＝－ eq \f(1,3) ，∴a≥1或a≤－ eq \f(1,3) .故选B.
答案：B
9．解析：若a＝0，则l的方程为x＝－ eq \f(3,2) ，不经过第四象限．
若a＝2，则l的方程为y＝－ eq \f(1,2) ，经过第四象限．
若a≠0且a≠2，将l的方程转化为y＝－ eq \f(a－2,a) x－ eq \f(2a－3,a) ，
因为l经过第四象限，所以－ eq \f(a－2,a) <0或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(a－2,a)>0,－\f(2a－3,a)<0)) ，
解得a<0或 eq \f(3,2) 2.
综上知，a的取值范围为(－∞，0)∪( eq \f(3,2) ，＋∞)，故选C.
答案：C
10．解析：已知直线 eq \f(x,a) ＋ eq \f(y,b) ＝1经过第一、二、三象限，则直线在x轴上的截距a<0，在y轴上的截距b>0，由直线的斜率小于1，可知0<－ eq \f(b,a) <1，结合a<0可得a<0|b|，故选项A错误；由幂函数的单调性可知 eq \r(－a) > eq \r(b) ，故选项B错误；由不等式的性质，可得b－a>0，b＋a<0，则(b－a)(b＋a)<0，故选项C错误； eq \f(1,a) <0， eq \f(1,b) >0，则 eq \f(1,a) < eq \f(1,b) ，故选项D正确．故选D.
答案：D
11．解析：因为直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，所以直线的斜率k<0，截距b>0.故点(k，b)在第二象限，所以A中说法错误．由y＝ax－3a＋2整理得y－2＝a(x－3).所以无论a取何值，(3，2)都满足方程．所以B中说法正确．由点斜式方程可知，过点(2，－1)且斜率为－ eq \r(3) 的直线的方程为y＋1＝－ eq \r(3) (x－2).所以C中说法正确．由斜截式方程可知，斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线的方程为y＝－2x＋3.所以D中说法错误．故选BC.
答案：BC
12．解析：当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，此时直线l的方程为y＝－ eq \f(2,3) x，即2x＋3y＝0.
当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线l的方程为 eq \f(x,a) ＋ eq \f(y,b) ＝1，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(3,a)＋\f(－2,b)＝1，,|a|＝|b|，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1,b＝1)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝－5，))
当a＝1，b＝1时，可得直线l的方程为x＋y＝1，即x＋y－1＝0；
若a＝5，b＝－5时，可得直线l的方程为 eq \f(x,5) ＋ eq \f(y,－5) ＝1，即x－y－5＝0.故选BCD.
答案：BCD
13．解析：由题意得l2：2x－y＋7＝0的斜率为2，l1的倾斜角与直线l2：2x－y＋7＝0的倾斜角互补，则l1的斜率为－2，得 eq \f(a－2,2－1) ＝－2，即a＝0.
答案：0
14．解析：①当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为y＝kx，
因为直线过点(3，4)，所以k＝ eq \f(4,3) ，所以直线l的方程为y＝ eq \f(4,3) x；
②当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，
设直线l在y轴上的截距为b，则在x轴上的截距为2b，
则直线l的方程为 eq \f(x,2b) ＋ eq \f(y,b) ＝1，
又因为直线l过点(3，4)，所以 eq \f(3,2b) ＋ eq \f(4,b) ＝1，
解得b＝ eq \f(11,2) ，
所以直线l的方程为 eq \f(x,11) ＋ eq \f(y,\f(11,2)) ＝1，即x＋2y－11＝0，
综上所述直线l的方程为y＝ eq \f(4,3) x或x＋2y－11＝0.
答案：y＝ eq \f(4,3) x或x＋2y－11＝0
15．解析：(1)原式化为k(2x－y＋3)＋3x＋y＋7＝0，
令 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＋3＝0，,3x＋y＋7＝0，)) 解得定点(－2，－1).
(2)方法一 当k－1＝0时，即k＝1，得直线l：x＝－2，符合题意；
当k＝－ eq \f(3,2) ，得直线l：y＝－1，不符合题意；
当k≠1且k≠－ eq \f(3,2) 时，y＝ eq \f(2k＋3,k－1) x＋ eq \f(3k＋7,k－1) ，令 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2k＋3,k－1)≥0，,\f(3k＋7,k－1)≥0，)) 解得k≤－ eq \f(3,7) 或k>1，
故k的取值范围为(－∞，－ eq \f(3,7) ]∪[1，＋∞).
方法二 当k－1＝0时，即k＝1，得直线l：x＝－2，符合题意；
当k≠1时，方程可化为y＝ eq \f(2k＋3,k－1) x＋ eq \f(3k＋7,k－1) ，
由数形结合可知： eq \f(2k＋3,k－1) ≥ eq \f(1,2) ，解得k≤－ eq \f(3,7) 或k>1，
故k的取值范围为(－∞，－ eq \f(3,7) ]∪[1，＋∞).
16．解析：由题意不妨设直线l与直线5x＋12y－1＝0的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为θ，2θ，(0<θ< eq \f(π,2) )，
而tan 2θ＝k2＝－ eq \f(5,12) ，tan θ＝k1，又由二倍角公式tan 2θ＝ eq \f(2tan θ,1－tan2θ) ，
所以有 eq \f(2k1,1－k eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) ＝－ eq \f(5,12) ，整理得5k eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －24k1－5＝0，解得k1＝tanθ＝5或k1＝tan θ＝－ eq \f(1,5) (舍去)，
所以设直线l的方程为y＝5x＋b，
则直线l与坐标轴分别交于(0，b)，(－ eq \f(b,5) ，0)，
所以由题意直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为S＝ eq \f(1,2) × eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(b,5))) ×|b|＝ eq \f(b2,10) ＝10，
解得b＝±10，所以设直线l的方程为y＝5x±10，
当y＝5x＋10时，它可以变形为 eq \f(x,－2) ＋ eq \f(y,10) ＝1.故选C.
答案：C
17．解析：(1)因为过点A(－1，2)且斜率为k的直线l与x轴负半轴及y轴正半轴分别交于点B，C，
如图所示，可得斜率k>0，设直线l的倾斜角为θ(0<θ< eq \f(π,2) )，
则sin θ＝ eq \f(2,|AB|) ，cs θ＝ eq \f(1,|AC|) ，所以|AB|＝ eq \f(2,sin θ) ，|AC|＝ eq \f(1,cs θ) ，
可得|AB|·|AC|＝ eq \f(2,sin θcs θ) ＝ eq \f(4,sin 2θ) ，
所以当sin 2θ＝1时，即θ＝ eq \f(π,4) 时，|AB|·|AC|取得最小值4.
(2)根据题意，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即y＝kx＋k＋2，
可得B(－ eq \f(k＋2,k) ，0)，C(0，k＋2)，所以S＝ eq \f(1,2) × eq \f(k＋2,k) ×(k＋2)，
整理得k2＋(4－2S)k＋4＝0，
因为对于每一个S的值满足条件的k值只有2个，所以该方程有2个不同的正根，
则满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S>0，,Δ＝（4－2S）2－16>0，,4－2S<0，)) 解得S>4，
所以S的取值范围是(4，＋∞).