初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习 二次函数中翻折及动点引起的图形存在性问题

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·等边三角形存在性问题：作出图形，利用60°、30°等特殊角在直角三角形中利用三角函数知识求解三角形各边的长度；
·平行四边形存在性问题：表示出各点坐标，利用对角线上两对点的横坐标和相等，纵坐标和相等列出方程，进而解答.
题型一、三角形折叠与等边三角形存在性问题
1. （2019·成都中考）如图，抛物线经过点A(－2,5)，与x轴交于点B(－1,0)，C(3,0).
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC’D. 若点C’恰好落在抛物线的对称轴上，求点C’和点D的坐标；
（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的解析式.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）由题意知，
∴，解得：，
∴抛物线的函数表达式为：；
（2）由（1）知，抛物线的对称轴为：x=1，
由翻折知：BC=BC’=4，
设抛物线对称轴与x轴交点为M，
则BM=CM=2，
∴∠BC’M=30°，
∴∠DCM=30°，C’M=2，
即C’(1, 2)，
在Rt△DCM中，DM=CM·tan30°=，
∴点D的坐标为（1，）；
（3）方法一：
根据点P的位置分类讨论：
①当P在x轴上方时，如下图所示，
连接BQ，C’P，
∵△PCQ，△CC’B是等边三角形，
∴CQ=CP=PQ，BC=BC’=CC’，∠PCQ=∠C’CB=60°，
∴∠BCQ=∠C’CP，
∴△BCQ≌△C’CP，
∴BQ=C’P，
∵BQ=QC，
∴C’P=QC=CP，
∵BC=BC’，
∴BP是CC’的垂直平分线，
由折叠知，点D在直线BP上，
设BP的解析式为：y=kx+b，
∴，解得：，
∴直线BP的表达式为：；
②当点P在x轴下方时，点Q在x轴下方，
由上知，△QCP、△CC’B为等边三角形，
可得：△BCP≌△C’CQ，
∴∠CBP=∠CC’Q，
由BC’=CC’，C’H⊥BC，
∴∠CC’Q=30°，即∠CBP=30°，
设BP与y轴交于点N，
在Rt△BON中，
ON=OB·tan30°=，
∴点E的坐标为（0，－），
设BP的解析式为：y=mx+n，
∴，解得：，
∴直线BP的表达式为：；
综上所述，直线BP的解析式为：或.
方法二：当点Q、点P在x轴上方时，如图所示，连接BQ，

易知BQ=QC=PQ，
∴∠BPQ=∠QBP，∠BCQ=∠QBC，∠BPQ+∠QBP+∠BCQ+∠QBC=∠PQC=60°，
即∠PBC=30°，
设BP与y轴交于点H，可得H点坐标为（0，），可得直线BP的解析式为：；
当点Q、点P在x轴下方时，如图所示，连接BQ，

同理可得：∠PBC=30°，
设BP与y轴交于点H，可得H点坐标为（0，－），可得直线BP的解析式为：；
综上所述，直线BP的解析式为：或.
2. （2019·浙江湖州中考）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，连接AC，OA=3，tan∠OAC=，D是BC的中点.
（1）求OC的长和点D的坐标；
（2）如图2，M是线段OC上的点，OM=OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P、D、B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F.
①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；
②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长.

【答案】见解析
【解析】
解：（1）∵OA=3，tan∠OAC=，
在Rt△AOC中，tan∠OAC=，
∴OC=，
∵ABCD是矩形，
∴BC=OA=3，
又D是BC的中点，
∴CD=,
即D的坐标为（，）
（2）①
由tan∠OAC=，
知：∠OAC=30°，
∴∠ACB=∠OAC=30°，
若△DBF折叠后，B的落点为B’
由折叠性质，知：
DB’=DB=DC，∠BDF=∠B’DF，
∴∠DB’C=∠ACB=30°，
∴∠BDB’=60°，∠BDF=30°，
在Rt△BDF中，BF=BD·tan30°=，
∵AB=，
∴AF=BF=,
在△BFD和△AFE中，∠BFD=∠EFA，∠B=∠FAE=90°，AF=BF，
∴△BFD≌△AFE，
∴AE=BD=
即OE=OA+AE=，
故E点坐标为（，0）
②由题意知：F点横坐标不变为3，而∠DFB=60°，即G点与F点的连线与y轴平行，即G点横坐标不变，所以G点运动轨迹为一条线段，求出P点从O点至M点运动过程中，G点的纵坐标的差即为G点运动路径的长.
当P点在O点时，如图所示，设抛物线解析式为：y=ax2+bx，
将点D（，）, B（3，）代入解析式，可得：
，
解得：，即抛物线解析式为：
令y=0，得，
即E（，0），
设直线DE的解析式为：y=kx+b，将D（，）、E（，0）代入得：
，
令x=3，得y=，
即F(3, ),由BF=BG得，G（3，）.
当P点在M点时，如图所示，设抛物线解析式为：y=ax2+bx+c，
将点D（，）, B（3，），M（0，）代入解析式，可得：
，
抛物线解析式为：
令y=0，得，
即E（6，0），
设直线DE的解析式为：y=kx+b，将D（，）、E（6，0）代入得：
，
令x=3，得y=，
即F(3, ),由BF=BG得，G（3，）
即G点由（3，）运动至（3，），运动路径长为：－=.
题型二、二次函数由增减性求解参数范围及角度相等存在性问题
3. （2019·山东德州中考）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤x1≤a+2，时，均有y1≤y2，求a的取值范围；
（3）抛物线上一点D（1，－5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC=∠MCE时，求点M的坐标．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）函数的对称轴为：，
解得：，x2=4，
将（4,0）代入则函数的表达式为得，抛物线的表达式为：
；
（2）当时，y2≥2，
另y=2，得x=－2，x=，
∵y1≤y2，
∴－2≤a≤a+2，a+2≤，
解得：－2≤a≤；
（3）点M的坐标为，
如图，连接BC，CM，过点D作DG⊥OE于点G，
由题意知，OB=OC=4，CG=DG=1，
∴△OBC是等腰直角三角形，△CDG是等腰直角三角形，
∴∠BCO=∠DCG=45°，BC=4,CD=，
∴∠BCD=180°－∠BCO－∠DCG=90°，
∴△BCD为直角三角形，
∴tan∠BDC==4，
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
将(4,0)，（1，－5）代入得：
，解得：
即直线BD的解析式为：，
设M坐标为（m，）,过M作MF⊥CE于F，
则∠MFC=90°，
MF=m，CF=OF－OC=，
在Rt△CFM中，tan∠MCF==tan∠BDC=4,
∴m=4（），解得：m=，
即M点坐标为：.
题型三、二次函数中直角三角形判定及圆心轨迹问题
4. （2019·湖南怀化中考）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．
①若S△PMN＝2，求k的值；
②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；
③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）由题意知，OB＝1，tan∠ABO＝3，
∴OA＝3，OC＝3，
即点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0），
将点（0，3）、（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c
得二次函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
顶点坐标为：P（1，4）；
（2）联立y＝﹣x2+2x+3，y=kx－k+3得：
x2﹣（2﹣k）x﹣k＝0，
设点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），
则x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣k，
y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k+6＝6﹣k2，
同理：y1y2＝9﹣4k2，
①y＝kx﹣k+3，当x＝1时，y＝3，即点Q（1，3），
∵S△PMN＝2
∴2＝PQ×（x2﹣x1），即x2﹣x1＝4，
∴（x2﹣x1）2＝16，即（x1+x2）2－2x1x2=16，
可得：k＝±；
②点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、点P（1，4），
由勾股定理得：，,
,
∴
=
=
=
=
∴,
故无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；
③取MN的中点H，则点H是△PMN外接圆圆心，
设点H坐标为（x，y），
则x＝，
y＝，
整理得：y＝﹣2x2+4x+1，
即：该抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+4x+1．
题型四、平行四边形及两直线平行存在性问题
5. （2019·江苏连云港中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：过点C(0，﹣3)，与抛物线L2：的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、抛物线L2上的动点．
（1）求抛物线L1对应的函数表达式；
（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；
（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR，若OQ∥PR，求出点Q的坐标．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）当x=2时，=－3，即A点坐标为（2，－3），
将A（2，－3）,C（0，－3）代入得：
，解得：，
即抛物线L1的函数表达式为：.
（2）设P点坐标为（m，m2－2m－3），点Q坐标为（n，），
∵以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，
①若ACPQ为平行四边形时，
，解得：或
∵m=0时，P与C重合，舍去，
∴P点坐标为（－1,0）；
②若ACQP为平行四边形时，
，解得：或
∴P点坐标为（3,0），；
③若AQCP为平行四边形时，
，解得：（舍）或
∴P点坐标为（－3,12）；
综上所述，点P的坐标为：（－1,0），（3,0），，（－3,12）.
（3）当点P在y轴左侧时，不存在动点R使得CA平分∠PCR，
当点P在y轴右侧时，如下图所示，
过点P作PS⊥y轴于S，过点R作RT⊥y轴于T，过点P作PH⊥TR于H，过Q作QK⊥x轴于K，
由CA平分∠PCR，得∠PCA=∠RCA，∠PCS=∠RCT，
∴△PSC∽△RTC，
∴,
设点P坐标为，点R坐标为，
∴，得：x1+x2=4，
在Rt△PRH中，tan∠PRH== x1+x2－2=2，
设点Q坐标为（x，），
∵OQ∥PR，
∴∠QOK=∠PRH，
∴tan∠QOK=2，
∴2m=，解得：m=，
即点Q坐标为：（）或（）.