初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习 几何模型菱形的存在性问题

这是一份初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习 几何模型菱形的存在性问题，共19页。试卷主要包含了方法突破，典例精析，中考真题对决等内容，欢迎下载使用。

作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形：
（1）有一组邻边相等的平行四边形菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边都相等的四边形是菱形．
坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD是菱形，则其4个点坐标需满足：
考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等．
即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，
故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同．
因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：
（1）2个定点+1个半动点+1个全动点
（2）1个定点+3个半动点
解决问题的方法也可有如下两种：
思路1：先平四，再菱形
设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+C=B+D”（AC、BD为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组．
思路2：先等腰，再菱形
在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点．
看个例子：
如图，在坐标系中，A点坐标（1,1），B点坐标为（5,4），点C在x轴上，点D在平面中，求D点坐标，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形．
思路1：先平四，再菱形
设C点坐标为（m，0），D点坐标为（p，q）．
（1）当AB为对角线时，由题意得：（AB和CD互相平分及AC=BC）
，解得：
（2）当AC为对角线时，由题意得：（AC和BD互相平分及BA=BC）
，解得：或
（3）当AD为对角线时，由题意得：
，解得：或
思路2：先等腰，再菱形
先求点C，点C满足由A、B、C构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性问题的方法先确定C，再确定D点．
（1）当AB=AC时，
C点坐标为，对应D点坐标为；
C点坐标为，对应D点坐标为．
（2）当BA=BC时，
C点坐标为（8，0），对应D点坐标为（4，-3）；
C点坐标为（2，0），对应D点坐标为（-2，-3）．
（3）AC=BC时，
C点坐标为，D点坐标为．
以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，还需具体问题具体分析，或许有更为简便的方法．
二、典例精析
例一：综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连接AC和BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）抛物线：；
（2）先考虑M点位置，即由A、C、M三点构成的三角形是等腰三角形：
①当CA=CM时，
即CM=CA=，M点坐标为、，
对应N点坐标为、．
②当AC=AM时，
即AM=AC=，M点坐标为（0，6），
对应N点坐标为（2，0）．
③当MA=MC时，
勾股定理可求得M点坐标为，
对应N点坐标为．
综上，N点坐标为、、（2，0）、．
如下图依次从左到右．
例二：综合与探究
如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（-4,0），与y轴交于点C，抛物线经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式
（2）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）抛物线解析式：；
（2）设M点坐标为（m，0）（-4则N点坐标为，P点坐标为（m，m+4），
若P是MN中点，则，
解得：，（舍）
故P（-1，3）、M（-1，0）
考虑到F点在直线AC上，故可先确定F点位置，再求得D点坐标．
当PM=PF时，
PF=3，可得、，
对应D点坐标分别为、．
当MP=MF时，
MP=MF，可得，对应D点坐标为．
当FP=FM时，
FP=FM，F点在PM垂直平分线上，可得，对应D点坐标为．
综上所述，D点坐标有、、、．
例三：如图，已知直线分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A、B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）若抛物线的解析式为，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．
①求点M、N的坐标；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由．
【分析】
（1）①M点坐标为，N点坐标为．
②由题意可知MN∥PD，故四边形MNPD若是菱形，首先MN=PD
考虑到M、N是定点，可先求得，
设，则，
，
令，即，
解得：，．
故P点坐标为，D点坐标为．
但此时仅仅满足四边形MNPD是平行四边形，本题要求的是菱形，故还需加邻边相等．
但此时P、D已定，因此接下来要做的只是验证邻边是否相等．
由两点间距离公式得：，
PN≠MN，故不存在点P使四边形MNPD是菱形．
【小结】为什么此题会不存在，表面上看是不满足邻边相等，究其原因，是因为M、N是定点，P、D虽为动点但仅仅是半动点，且P、D横坐标相同，故本题只需一个字母便可表示出4个点的坐标，对于菱形四个点满足：
若只有1个未知数或2个未知数，便出现方程个数＞未知量个数的情况，就有可能会无解．
方程个数<未知数个量，可能无法确定有限组解；
方程个数>未知数个量，可能会无解．
特殊图形的存在性，其动点是在线上还是在平面上，是有1个动点还是有2个动点，都是由其图形本身决定，矩形和菱形相比起平行四边形，均多一个等式，故对动点位置的要求可以有3个半动点或者1个全动点+1个半动点，若减少未知量的个数，反而可能会产生无解的情况．
不难想象，对于正方形来说，可以有4个未知量，比如在坐标系中已知两定点，若要作正方形，只能在平面中再取另外两动点，即2个全动点，当然，也有可能是1全动+2半动，甚至是4个半动点．
三、中考真题对决
1．（2021•湘潭）如图，一次函数图象与坐标轴交于点、，二次函数图象过、两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，点是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）在中，令得，令得，
，，
二次函数图象过、两点，
，解得，
二次函数解析式为；
（2）存在，理由如下：
由二次函数可得其对称轴为直线，
设，，而，
与关于直线对称，
，
①当、为对角线时，如图：
此时的中点即是的中点，即，
解得，
当，时，四边形是平行四边形，
由，，可得，
，
四边形是菱形，
此时；
②、为对角线时，如图：
同理、中点重合，可得，
解得，
当，时，四边形是平行四边形，
由，，可得，
四边形是菱形，
此时；
③以、为对角线，如图：
、中点重合，可得，
解得，
，时，四边形是平行四边形，
由，，可得，
四边形是菱形，
此时；
综上所述，的坐标为：或或．
2．（2021•鄂尔多斯）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．
（1）求，，三点的坐标；
（3）点在轴上，点在直线上，点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）在中，令，得，
解得：，，
，，
令，得，
；
（3）存在，
如图2，，
抛物线对称轴为直线，
以、、、为顶点的四边形是菱形，
分三种情况：对角线或为对角线或为对角线，
①当为对角线时，，，
点为直线与抛物线对称轴的交点，即，
，
，
，；
②当为对角线时，，，
设，则，，
，
解得：，
，
③当对角线时，与互相垂直平分，设，则，，
在直线上，
，
，
综上所述，点的坐标为：，，，．
3．（2021•通辽）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，动点在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（3）若点是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）抛物线交轴于，两点，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2）在中，令，得，
，
的周长为：，是定值，
当最小时，的周长最小．
如图1，点、关于对称轴对称，连接交于点，则点为所求的点．
，
周长的最小值是：．
，，，
，．
周长的最小值是：．
抛物线对称轴为直线，
设直线的解析式为，将，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
；
（3）存在．
设，
，，
则，
，
，
四边形是菱形，
分三种情况：以为对角线或以为对角线或以为对角线，
①当以为对角线时，则，如图2，
，
解得：，
，，
，，
②以为对角线时，则，如图3，
，
解得：，
，，
③当以为对角线时，则，如图4，
，
解得：，
，，
，，
综上所述，符合条件的点的坐标为：，，，，．
4．（2021•娄底）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点．
（1）求、的值；
（2）点为抛物线上的动点，过作轴的垂线交直线于点．
①当时，求当点到直线的距离最大时的值；
②是否存在，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值．
解：（1）由二次函数的图象与轴相交于点和点，得：
，
解得：，
，
，．
（2）①点在抛物线上，
，
，
过作轴的垂线交直线于点，
，
设点到直线的距离为，
直线是一三象限的角平分线，
，
当点到直线的距离最大时，取得最大值，
当时，有最大值，
当点到直线的距离最大时，的值为．
②抛物线与轴交于点，
时，，
，
，且以点、、、为顶点的四边形是菱形，
，
又，，
，
解得：，，，，
当时，与重合，菱形不成立，舍去；
当时，，，
此时，四边形是平行四边形，，
，平行四边形不是菱形，舍去；
当时，，，
此时，四边形是平行四边形，，
，平行四边形不是菱形，舍去；
当时，，，
此时，四边形是平行四边形，，
，平行四边形不是菱形，舍去；
综上所述：不存在，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形．
5．（2021•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
解：（1）由点的纵坐标知，正方形的边长为5，
则，故点的坐标为，
则，解得，
故抛物线的表达式为；
（2）存在，理由：
点、关于抛物线对称轴对称，故点的坐标为，
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，故设点的坐标为，
由点、的坐标得，，
设点的坐标为，
以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，
故点向右平移1个单位向上平移5个单位得到点，则向右平移1个单位向上平移5个单位得到点，且，
则或，
解得或，
故点的坐标为或或或；