初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习 几何模型平行四边形的存在性问题

这是一份初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习 几何模型平行四边形的存在性问题，共20页。试卷主要包含了方法突破，典例精析，中考真题对决等内容，欢迎下载使用。

考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：
（1）对应边平行且相等；
（2）对角线互相平分．
这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：
（1）对边平行且相等可转化为：，
可以理解为点B移动到点A，点C移动到点D，移动路径完全相同．
（2）对角线互相平分转化为：，
可以理解为AC的中点也是BD的中点．
【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：，
→．
当AC和BD为对角线时，结果可简记为：（各个点对应的横纵坐标相加）
以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A、B、C、D满足“A+C=B+D”，则四边形ABCD是否一定为平行四边形？
反例如下：
之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．
虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：
（1）四边形ABCD是平行四边形：AC、BD一定是对角线．
（2）以A、B、C、D四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．
【题型分类】
平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题．
三定一动
已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐标系内确定点D使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形．
思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：
设D点坐标为（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得：
（1）BC为对角线时，，可得；
（2）AC为对角线时，，解得；
（3）AB为对角线时，，解得．
当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可．
比如：，，．（此处特指点的横纵坐标相加减）
两定两动
已知A（1，1）、B（3，2），点C在x轴上，点D在y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求C、D坐标．
【分析】
设C点坐标为（m，0），D点坐标为（0，n），又A（1，1）、B（3，2）．
（1）当AB为对角线时，，解得，故C（4，0）、D（0，3）；
（2）当AC为对角线时，，解得，故C（2，0）、D（0，-1）；
（3）当AD为对角线时，，解得，故C（-2，0）、D（0，1）．
【动点综述】
“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．
从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．
找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质：
（1）对边平行且相等；
（2）对角线互相平分．
但此两个性质统一成一个等式： ，
两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．
由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．
二、典例精析
例一：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为C．
（1）求此抛物线和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；
【分析】
（1）抛物线：，直线AB：；
（2）考虑EC∥MN，故若使点M、N、C、E是平行四边形，则EC=MN即可，
∵E（1，-2）、C（1，-4），
∴EC=2，
设M点坐标为（m，m-3）（m>1），则N点坐标为，
则MN=
由题意得：，
，解得：，（舍），
对应P点坐标为；
，解得：，（舍）．
对应P点坐标为（2，-1）．
综上，P点坐标为或（2，-1）．
例二：【两定两动：x轴+抛物线】
如图，已知抛物线经过点，，．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）抛物线：；
（2）列方程组求：设P、Q，又B（-1，0）、C（0，-3），
若BC为对角线，由题意得：，解得：或（舍），
故对应的P（2，-3）；
若BP为对角线，由题意得：，解得：或（舍），
故对应的P（2，-3）；
若BQ为对角线，由题意得：，解得：或，
故对应的P、．
综上所述，P点坐标为（2，-3）、、．
例三：【两定两动：对称轴+抛物线】
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
（2）若点为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）抛物线：，对称轴：直线x=1；
（2）设M点坐标为，N点坐标为，
又B（3，0）、C（0，2）
若BC为对角线，由题意得：，解得：，
故M点坐标为（2，2）；
若BN为对角线，由题意得：，解得：，
故M点坐标为；
若BM为对角线，由题意得：，解得：，
故M点坐标为．
综上所述，M点坐标为（2，2）、、．
例四：【两定两动：斜线+抛物线】
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的负半轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）已知，分别是直线和抛物线上的动点，当，，，为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
【分析】
（1）抛物线：；
（2）设E点坐标为，F点坐标为，
又B（0，2）、O（0，0），
①若OB为对角线，由题意得：，
解得：或，
故E点坐标为或；
②若OE为对角线，由题意得：，
解得：或，
故E点坐标为或；
③若OF为对角线，由题意得：，解得：，
故E点坐标为（2，1）．
例五：【两定两动：抛物线+抛物线】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与抛物线的一个交点为，且点的横坐标为2，点、分别是抛物线、上的动点．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）若以点、、、为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点的坐标．
【分析】
（1）解析式：；
（2）虽然两个动点均在抛物线上，仍可用设点坐标的方法求解．
设P点坐标为，Q点坐标为，
又C（0，-3）、A（2，-3），
①若CA为对角线，由题意得;，
解得：或（舍），故P点坐标为（-3，12）；
②若CP为对角线，由题意得：，
解得：或，故P点坐标为（3，0）或；
③若CQ为对角线，由题意得：，
解得：或（舍），故P点坐标为（-1，0）．
综上所述，P点坐标为（-3，12）、（3，0）、、（-1，0）．
例六：【三定一动】如图，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点，点坐标为，，，点为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为坐标平面内一点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标．
【分析】
（1）抛物线：；
（2）设P点坐标为（m，n），又B（3，0）、C（0，2）、D
①若BC为对角线，由题意得：，解得：，
故的坐标为；
②若BD为对角线，由题意得：，解得：，
故坐标为；
③若BP为对角线，由题意得：，解得：，
故坐标为．
综上所述，P点坐标为、、．
三、中考真题对决
1．（2021•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．与轴交于点．且点的坐标为，点的坐为．
（1）求该抛物线的解析式；
（3）图（乙中，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将的坐标，点的坐代入得：
，解得，
抛物线的解析式为；
（3）存在，理由如下：
抛物线对称轴为直线，
设，，而，，
①以、为对角线，则、的中点重合，如图：
，解得，
，
②以、为对角线，则、的中点重合，如图：
，解得，
，
③以、为对角线，则、中点重合，如图：
，解得，
；
综上所述，的坐标为：或或．
2．（2021•郴州）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，点是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（3）如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为，
抛物线，
将代入，得：，
解得：，
抛物线的表达式为；
（3）①当为平行四边形的边时，则有，且，
如图2，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点，
则，
在和中，
，
，
，
点到对称轴的距离为3，
又，
抛物线对称轴为直线，
设点，则，
解得：或，
当时，，
当时，，
点坐标为或；
②当为平行四边形的对角线时，
如图3，设的中点为，
，，
，，
点在对称轴上，
点的横坐标为，设点的横坐标为，
根据中点公式得：，
，此时，
；
综上所述，点的坐标为或或．
3．（2021•梧州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点为原抛物线上点的对应点，新抛物线顶点为，它与轴交于点，连接，，．
（1）求原抛物线对应的函数表达式；
（2）在原抛物线或新抛物线上找一点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，并求出点的坐标；
解：（1）抛物线经过点，，
，
原来抛物线的解析式为．
（2），，
点向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到，
原来抛物线的顶点，
点向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到，
，
新抛物线的解析式为，
，
点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
观察图形可知，满足条件的点在过点平行的直线上，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
由，解得或（舍弃），
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
由平移的性质可知当时，四边形是平行四边形，
但是对于新抛物线，时，，
满足条件的点 的坐标为．
4．（2021•湘西州）如图，已知抛物线经过，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（4）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把，代入，得到，
解得，
；
（4）如图2中，存在．
观察图象可知，满足条件的点的纵坐标为4或，
对于抛物线，当时，，解得或3，
．
当时，，解得，
，，，，
综上所述，满足条件的点的坐标为或，或，．
5．（2021•黔东南州）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的顶点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请直接写出点、的坐标；
解：（1）将点，分别代入中，得：，解得，
抛物线得函数关系为；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为，
故设点，
设点，
当以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形时，
点向右平移3个单位向上平移3个单位得到点，同样向右平移3个单位向上平移3个单位得到点，
则且，
解得或，
故点、的坐标分别为、或、；