初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习 逆向思维法

这是一份初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习 逆向思维法，共17页。

逆向思维法是指从事物的反面去思考问题的思维方法。这种方法常常使问题获得创造性的解决。
【典例分析】
例1、阅读下面的解题过程：
已知xx2+1=12，求x2x4+1的值．
解：由xx2+1=12知x≠0，所以x2+1x=2，即x+1x=2．
于是有x4+1x2=x2+1x2=(x+1x)2−2=22−2=2，故x2x4+1的值为12．
解答下面的题目：
已知xx2−x+1=17，则x2x4+x2+1的值为( )．
A. 17B. 19C. 149D. 163
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查分式的运算，求分式的值.解题的关键正确理解题目给出的解答思路．根据题意给出的解题思路解答即可求出答案．
【解答】
解：∵xx2−x+1=17，且x≠0，
∴x2−x+1x=7，
∴x+1x−1=7，
∴x+1x=8，
∴ x4+x2+1x2
=x2+1x2+1
=(x+1x)2−1
=82−1
=63，
∴x2x4+x2+1=163．
故选D．
例2、已知4x=10，25y=10，则(x−2)(y−2)+3(xy−3)的值为________．
【答案】−5
【解析】
【分析】
本题考查了幂的乘方和积的乘方的逆运算，代数式求值，运用了整体代入法的有关知识，根据4x=10，25y=10，得到2xy=x+y，然后将给出的代数式进行变形，最后代入求值即可．
【解答】
解：∵4x=10，25y=10，
∴4xy=10y，25xy=10x，
4xy×25xy=10y×10x，
(4×25)xy=10x+y，
∴102xy=10x+y，
∴2xy=x+y，
(x−2)(y−2)+3(xy−3)
=xy−2x−2y+4+3xy−9
=4xy−2(x+y)−5
=4xy−2×2xy−5
=−5．
故答案为−5．
例3、已知2x=3，2y=5.求：
(1)2x+y的值；
(2)23x的值；
(3)22x—y—1的值．
【答案】解：(1)2x+y=2x·2y
=3×5
=15；
(2)原式=2x3
=33
=27；
(3)原式=2x2÷2y÷2
=32÷5÷2
=910．
【解析】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方以及同底数幂的除法公式的灵活运用．
(1)把原式变为2x+y=2x·2y，再把已知条件整体代入计算；
(2)把原式变为2x3，再把已知条件整体代入计算；
(3)把原式变为2x2÷2y÷2，再把已知条件整体代入计算．
【好题演练】
一、选择题
当x=1+19942时，多项式4x3−1997x−19942019的值为( )．
A. 1B. −1C. 22002D. −22001
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了因式分解的应用及代数式的值，能将多项式化正确转化形式是解题关键．先把原式转化，再把x的值代入计算即可．
【解答】
解：原式=4xx+1x−1−1993x+1−12019
=x+14xx−1−1993−12019
=x+14×1+19942×1994−12−1993−12019
=x+11994−1994−12019
=−12019
=−1
故选：B．
某班有学生50人，参加数学兴趣小组的有35人，参加语文兴趣小组的有30人，每人至少参加一个组，则两个组都参加的有( )
A. 10人B. 15人C. 20人D. 30人
【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了数学技能与方法之逆向思维法 ．
由于每人至少参加一个组，参加数学兴趣小组的人数与参加语文兴趣小组的人数和，把两个组都参加的人数算了两次，因此用它们的和去掉班内的学生人数即可解决问题．
【解答】
解：参加数学兴趣小组的有35人，里面包含参加语文兴趣小组的人数，
参加语文兴趣小组的有30人，里面包含参加数学兴趣小组的人数，
因此35+30=65人，就把两个组都参加的人数算了两次，
由此可知两个组都参加的人数为65−50=15人．
故选B．
对一个正整数x进行如下变换：若x是奇数，则结果是3x+1；若x是偶数，则结果是12x.我们称这样的操作为第1次变换，再对所得结果进行同样的操作称为第2次变换，……以此类推．如对6第1次变换的结果是3，第2次变换的结果是10，第3次变换的结果是5……若正整数a第5次变换的结果是1，则a可能的值有( )
A. 1种B. 3种C. 32种D. 64种
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查新定义问题，逆向思维法，一元一次方程的应用，分类讨论的数学思想，关键是根据逆向思维法得：正整数a第5次变换的结果是1，
得第4次变换的结果是2，又因为对一个正整数a，3a+1≠2，得第3次变换的结果是4，再分当a是奇数和偶数两种情况，分别求得第三次变换的代数式，再根据第三次变换的结果为4的方程，解方程求得的整数解符合题意，否则舍去，即可解答．
【解答】
解：根据题意得：正整数a第5次变换的结果是1，
∴第4次变换的结果是2，
又因为对一个正整数a，3a+1≠2，
∴第3次变换的结果是4，
当a是奇数时：第1次变换的结果是3a+1，3a+1是偶数；
第2次变换的结果是3a+12，
第3次变换的结果是3×3a+12+1或3a+14，
∴3×3a+12+1=4，或3a+14=4，
解得：a=13(不合题意，舍去)或a=5；
当a是偶数时，第1次变换的结果是a2，
第2次变换的结果是32a+1或a4，
第3次变换的结果是3×(32a+1)+1或12(32a+1)或3×a4+1或a8，
∴3×3a+22+1=4或12(32a+1)=4或3×a4+1=4或a8=4，
解得：a=0(不合题意，舍去)或a=143(不合题意，舍去)或a=4或a=32．
综上所述，正整数a=4或5或32时，第5次变换的结果是1．
故选B．
某地区水塘盛产一种水葫芦，生长速度很快，其所占的水域面积每天均会达到前一天的2倍，已知某池塘中第一天有1平方米水葫芦，到第10天，整个池塘恰好长满水葫芦，则当第( )天水葫芦所占的面积是池塘面积的一半．
A. 2B. 5C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是逆向思维有关知识，第10天后整个池塘长满了水葫芦，增加一倍的意思是指后一天是前一天的2倍，即前一天是后一天的一半，因此，第9天时水葫芦所占面积是池塘的12．
【解答】
解：第10天是全部，我们看成单位“1”；
第9天：1÷2=12；
答：第9天时水葫芦所占面积是池塘的12．
故选D．
按下面的程序计算：当输入x=100时，输出结果是299；当输入x=50时，输出结果是446；如果输入x的值是正整数，输出结果是257，那么满足条件的x的值最多有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【试题解析】
【分析】
此题考查的是一元一次方程的应用，利用逆向思维来做，分析第一个数就是直接输出257，可得方程3x−1=257，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有答案．
【解答】
解：第一个数就是直接输出其结果的：3x−1=257，
解得：x=86，
第二个数是(3x−1)×3−1=257，
解得：x=29；
第三个数是：3[3(3x−1)−1]−1=257，
解得：x=10，
第四个数是3{3[3(3x−1)−1]−1}−1=257，
解得：x=113(不合题意舍去)；
故满足条件所有x的值是86、29或10，共3个．
故选C．
某城市一年漏掉的水相当于建一个自来水厂的费用，据不完全统计，全市至少有6×105个水龙头，2×105个抽水马桶漏水．如果一个关不紧的水龙头一个月漏掉a(m3)水，一个漏水的抽水马桶一个月漏掉b(m3)水，那么该市一个月因此造成的水流失量至少是( )．
A. (6a+2b)m3B. (6a+2b×105)m3
C. [(6a+2b)×105]m3D. [6(a+2b)×105]m3
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了单项式的乘法，用单项式分别表示水龙头和马桶一个月漏水的量，再求它们的和．根据题意，把所有水龙头漏掉的水和所有马桶漏掉的水相加即可．
【解答】
解：所有水龙头漏掉的为(6×105)am3，所有抽水马桶漏掉的为(2×105)bm3．
一个月造成的水流失量至少是
(6×105)a+(2×105)b，
=(6a+2b)×105m3．
故选C．
二、填空题
任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[3]=1，现对为72进行如下操作；这样对72只需进行3次操作后变为1；类似地，只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是________．
【答案】6560
【解析】
【分析】
本题主要考查了新定义，无理数的估算，采用逆向思维是解答的关键．运用逆向思维进行解答，按新定义，先求出第三次操作前a的最大整数，再求第二次操作前a的最大整数，最后求出第一次操作前的最大整数a便可．
【解答】
解：∵[8]=2，[9]=3，
∴第三次操作前a的最大整数值为8，
∵[80]=8，[81]=9，
∴第二次操作前a的最大整数值为80，
∵[6560]=80，[6561]=81，
∴第一次操作前a的最大整数值为6560，
故答案为6560．
按下面程序计算，若开始输入x的值(x>1)，最后输出的结果为656，则满足条件所有x的值是____________________．
【答案】131或26或5
【解析】
【分析】
此题考查了解方程的应用.注意理解题意是解题的关键.分析第一个数就是直接输出656，可得方程5x+1=656，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有答案.
【解答】
解：我们用逆向思维来做：
第一个数就是直接输出其结果的：5x+1=656，
解得：x=131；
第二个数是(5x+1)×5+1=656，
解得：x=26；
同理：可求出第三个数是5；
第四个数是45，
∵输入x的值(x>1)，
∴45不合题意舍去，
∴满足条件所有x的值是131或26或5．
故答案为131或26或5.
如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为___________时，△ADP和△ABC相似．
【答案】4或9
【解析】
【分析】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论是解题的关键．
分别根据当△ADP∽△ACB时，当△ADP∽△ABC时，求出AP的长即可．
【解答】
解：当△ADP∽△ACB时，
∴APAB=ADAC，
∴AP12=68，
解得：AP=9，
当△ADP∽△ABC时，
∴ADAB=APAC，
∴612=AP8，
解得：AP=4，
∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．
故答案为4或9．
设an为n4(n为正整数)的末位数，如a1=1，a2=6，a3=1，a4=6.则a1+a2+a3+⋯+a24+a25= 。
【答案】85
【解析】
【分析】
本题考查了尾数特征，本题关键是得出正整数n4的末位数依次是1，6，1，6，5，6，1，6，1，0，十个一循环．
正整数n4的末位数依次是1，6，1，6，5，6，1，6，1，0，十个一循环，得出其中规律，即可求解．
【解答】
解：a1∼a10依次为1，6，1，6，5，6，1，6，1，0，
a11∼a20与a1∼a10分别相等，a21∽a25与a1∼a5分别相等，
因此a1+a2+a3+⋯+a24+a25=(4×6+1×4+5+0)×2+(6×2+1×2+5)=85．
故答案为85．
计算：(−0.25)2020×42021=____________．
【答案】4
【解析】
【分析】
本题主要考查了幂的乘方和积的乘方的逆用，解答此题的关键是逆用积的乘方的运算法则，解答此题可将42021变为42020×4，然后再用积的乘方的逆用可得[−0.25×4]2020×4，然后即开始即可．
【解答】
解：原式=(−0.25)2020×42020×4，
=[4×(−0.25)]2020×4，
=1×4，
=4．
故答案为4．
若1x+2y+3z=5,3x+2y+1z=7，则1x+1y+1z=________
【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查了整体思想的应用，将两个方程相加，把1x+1y+1z看成整体，求出这个整体的值即为答案．
【解答】
解：两个式子相加得到，
(1x+3x)+(2y+2y)+(3z+1z)=12
即，4(1x+1y+1z)=12
∴1x+1y+1z=3．
故答案为3．
三、解答题
(1)已知点A(4−a,−2a−3)和点B(−2,5)且AB平行于x轴，试求点A的坐标；
(2)把点P(m+1,n−2m)先向右平移4个单位，再向下平移6个单位后得到的点P’的坐标为(3,−2)，试求m，n的值;
【答案】解：(1)∵AB平行于x轴，且点A(4−a,−2a−3)，点B(−2,5)，
∴−2a−3=5，
解得：a=−4．
∴点A的坐标为(8,5)；
(2)∵点P(m+1,n−2m)先向右平移4个单位，再向下平移6个单位后得到的点P'的坐标为(3,−2)，∴点P的坐标为(−1,4)，
∴m+1=−1n−2m=4，
解得：m=−2n=0．
故m、n的值分别为−2，0．
【解析】本题主要考查坐标和图形的性质及平移的性质，解题的关键是明确与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标都相等．
(1)根据AB平行于x轴，点B(−2,5)和点A(4−a,−2a−3)，可知点A、B的纵坐标相等，从而即可求得a的值，进而得到点A的坐标；
(2)利用平移中点的变化规律求解即可平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，本题可采用逆向思维进行求解．
已知1x+1y=5，求2x−3xy+2yx+2xy+y的值．
【答案】解：由题意得，1x+1y=5可转化为x+y=5xy;
∴2x−3xy+2yx+2xy+y
=2(x+y)−3xy(x+y)+2xy
=10xy−3xy5xy+2xy
=1
【解析】
【分析】
这类题考察学生关于分式化简的技巧的掌握，多练习，多看，积累经验.可以通过变化已知条件，已达到消元目的．
【解答】
解：由题意得，1x+1y=5可转化为x+y=5xy;
∴2x−3xy+2yx+2xy+y
=2(x+y)−3xy(x+y)+2xy
=10xy−3xy5xy+2xy
=1
(1)若3n=2,3m=5，求32m−3n+1值.
(2)已知n为正整数，且x2n=4，求(x3n)2−2(x2)2n值．
【答案】解：(1) ∵3n=2,3m=5，
∴32m−3n+1=(3m)2÷(3n)3×3
=25×38
=758
(2)∵x2n=4，
∴(x3n)2−2(x2)2n
=x6n−2x4n
=(x2n)3−2(x2n)2
=64−2×16
=64−32
=32
【解析】本题考查了同底数幂的乘法和同底数幂的除法，和幂的乘方的法则，以及整体代入法的应用，
(1)本题考查了同底数幂的乘法和同底数幂的除法和幂的乘，利用同底数幂的乘法和同底数幂的除法和幂的乘的计算法则解决此题；
(2)本题考查了幂的乘方的法则，以及整体代入法的应用，利用幂的乘方的法则先化简，再整体代入求值即可；
由幂的运算逆向思维可以得到am+n=am⋅an，amn=(am)n，ambm=(ab)m，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解，收到事半功倍的效果.请解决以下问题：
(1)计算：52020×(15)2018;
(2)若3×9m×27m=311，求m的值;
(3)比较大小：a=255，b=344，c=533，d=622，请确定a，b，c，d的大小关系.(提示：如果a>b>0，n为正整数，那么an>bn)
【答案】解：(1)52020×(15)2018=(5×15)2018×52=1×25=25；
(2)3×9m×27m=3×(32)m×(33)m=3×32m×33m=31+5m=311，
∴1+5m=11，
解得：m=2；
(3)a=255=(25)11=3211，b=344=(34)11=8111，c=533=(53)11=12511，d=622=(62)11=3611，
∵32<36<81<125，
∴3211<3611<8111<12511
∴a【解析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法，解决本题的关键是公式的逆运用．
(1)根据积的乘方公式，进行逆运算，即可解答；
(2)转化为同底数幂进行计算，即可解答；
(3)转化为指数相同，再比较底数的大小，即可解答．
已知P=999999，Q=119990，那么P，Q的大小关系怎样？为什么？
【答案】解：P=Q．
理由如下：
P=999999=9×119990×99=99×119990×99=119990=Q．
【解析】本题主要考查了积的乘方法则和同底数幂的乘除法则的应用，首先把99看成是9×11，运用积的乘方法则对P的分子进行变形，然后逆用同底数幂的乘法法则对P的分母进行变形，最后约分即可．
我们可以用f(x)表示x为自变量的函数，如一次函数y=2x−1，可表示f(x)=2x−1，f(1)=2×1−1=1，f(a)=2a−1．
(1)已知二次函数f(x)=x2−2ax−a−2．
①求证：不论a为何值，此函数图象与x轴总有两个交点；
②若f(1)=2，是否存在实数m，使得当12m≤x≤m+2时，函数g(x)=f(x)−2mx的最小值为−113，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由：
(2)已知函数f(x)=4x−4−2x−2，g(x)=y4+y2，若实数x、y使得f(x)=g(y)=3，求4x−4+y4的值．
【答案】解：(1)①f(x)=x2−2ax−a−2，
则△=4a2+4a+8=4(a+12)2+7>0，
∴不论a为何值，此函数图象与x轴总有两个交点；
②f(1)=2，则a=−1，
∴f(x)=x2+2x−1，
g(x)=f(x)−2mx=x2+(2−2m)x−1=(x+1−m)2−(m2−2m+2)，
∴g(x)的对称轴为x=m−1，
当12m≤m−1≤m+2时，即m≥2，g(m−1)=−(−m2−2m+2)=−113，
∴m=1+236；
当m−1<12m时，即m<2，g(12m)=−34m2+m−1=−113，
∴m=−43；
综上所述：m=1+236或m=−43时，g(x)最小值为−113；
(2)∵f(x)=g(y)=3，
∴4x−4−2x−2=3，
令x−2=t，则有4t2−2t=3，
∴t=1±134，
∵t>0，
∴t=1+134，
∴y4+y2=3，
∴y2=−1+132，
∴4x−4+y4=4t2+y4=4×(1+134)2+(−1+132)2=7．
【解析】本题考查函数的解析式；能够准确理解题意，结合二次函数的性质求最小值，并能准确解一元二次方程是解题的关键．
(1)①f(x)=x2−2ax−a−2，则△=4a2+4a+8=4(a+12)2+7>0，所以不论a为何值，此函数图象与x轴总有两个交点；
②由已知可求f(x)=x2+2x−1，则有g(x)=f(x)−2mx=x2+(2−2m)x−1=(x+1−m)2−(m2−2m+2)，分两种情况求解：当12m≤m−1≤m+2时，即m≥2，g(m−1)=−(−m2−2m+2)=−113；当m−1<12m时，即m<2，g(12m)=−34m2+m−1=−113；
(2)由f(x)=g(y)=3，可得4x−4−2x−2=3，求得x−2=1+134，再由y4+y2=3，求得y2=−1+132，则有4x−4+y4=4t2+y4=4×(1+134)2+(−1+132)2=7．