初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习 全等模型—倍长中线模型

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归类探究
夯实双基，稳中求进
倍长中线模型三角形的中线：三角形的顶点和对边中点的连线
三角形边长的不等关系：在三角形中，两边之和大于第三边，两边只差小于第三边
倍长中线定义：“倍长中线”是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
题型一：求三角形中线取值范围
【例1】（2021·重庆市暨华中学校八年级月考）在中，，中线，则边的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】延长AD至E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．
【详解】解：如图，延长AD至E，使DE=AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=CE，
∵AD=7，
∴AE=7+7=14，
∵14+5=19，14-5=9，
∴9＜CE＜19，
即9＜AB＜19．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．
变式训练
【变式1-1】（2021·全国）如图，是的边上的中线，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】延长至点E，使，连接，证明，可得，然后运用三角形三边关系可得结果．
【详解】如图，延长至点E，使，连接．
∵为的边上的中线，
∴，
在和中，
∴，
∴．
在中，，
即，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，根据中点倍长法构造全等三角形是解题的关键．
【变式1-2】（2021·武汉一初慧泉中学八年级月考）已知AD是△ABC的中线，AD=6，CA=5，则边AB的取值范围是______．
【答案】7