初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习反比例函数中的线段和差数量关系问题

这是一份初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习反比例函数中的线段和差数量关系问题，共23页。

（2）点P为y轴上一动点，当PA+PB的值最小时，求出点P的坐标．
【分析】（1）根据矩形和AB＝BD可得△ABD为等腰直角三角形，进而得出△OAD也是等腰直角三角形，从而确定点A的坐标，求出反比例函数的解析式；
（2）根据对称，过点A与点B关于y轴的对称点B1的直线与y轴的交点就是所求的点P，于是求出点B的坐标，得到点B1的坐标，求出直线AB1的关系式，求出它与y轴的交点坐标即可．
【解答】解：（1）∵OABC是矩形，
∴∠B＝∠OAB＝90°，
∵AB＝DB，
∴∠BAD＝∠ADB＝45°，
∴∠OAD＝45°，
又∵AD⊥x轴，
∴∠OAD＝∠DOA＝45°，
∴OD＝AD，
∵D（3，0）
∴OD＝AD＝3，即A（3，3）
把点 A（3，3）代入的y＝得，k＝9
∴反比例函数的解析式为：y＝．
答：反比例函数的解析式为：y＝．
（2）过点B作BE⊥AD垂足为E，
∵∠B＝90°，AB＝BD，BE⊥AD
∴AE＝ED＝AD＝，
∴OD+BE＝3+＝，
∴B（，），
则点B关于y轴的对称点B1（﹣，），直线AB1与y轴的交点就是所求点P，此时PA+PB最小，
设直线AB1的关系式为y＝kx+b，将 A（3，3）B1（﹣，），代入得，
解得：k＝，b＝，
∴直线AB1的关系式为y＝x+，
当x＝0时，y＝，
∴点P（0，）
答：点P的坐标为（0，）．
【点评】考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及轴对称和一次函数的性质等知识，综合应用的知识较多，掌握基本的解题思路是关键，对每个知识点的掌握是基础．
2、如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第二、四象限内的点A（a，4）和点B（8，b）．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．
（1）分别求出a和b的值；
（2）结合图象直接写出mx+n＜的解集；
（3）在x轴上取点P，使PA﹣PB取得最大值时，求出点P的坐标．
【分析】（1）由△AOC的面积为4，可求出a的值，确定反比例函数的关系式，把点B坐标代入可求b的值．
（2）根据图象观察当自变量x取何值时，一次函数图象位于反比例函数图象的下方即可，注意由两部分．
（3）由对称点B关于x轴的对称点B′，直线AB′与x轴交点就是所求的点P，求出直线与x轴的交点坐标即可．
【解答】解：（1）∵点A（a，4），
∴AC＝4，
∵S△AOC＝4，即，
∴OC＝2，
∵点A（a，4）在第二象限，
∴a＝﹣2 A（﹣2，4），
将A（﹣2，4）代入y＝得：k＝﹣8，
∴反比例函数的关系式为：y＝，
把B（8，b）代入得：b＝﹣1，
∴B（8，﹣1）
因此a＝﹣2，b＝﹣1；
（2）由图象可以看出mx+n＜的解集为：﹣2＜x＜0或x＞8；
（3）如图，作点B关于x轴的对称点B′，直线AB′与x轴交于P，
此时PA﹣PB最大（PA﹣PB＝PA﹣PB′≤AB′，共线时差最大）
∵B（8，﹣1）
∴B′（8，1）
设直线AP的关系式为y＝kx+b，将 A（﹣2，4），B′（8，1）代入得：
解得：k＝，b＝，
∴直线AP的关系式为y＝x+，
当y＝0时，即x+＝0，解得x＝，
∴P（，0）
【点评】考查反比例函数的图象和性质、一次函数、轴对称以及待定系数法求函数的关系式等知识，理解作点B关于x轴的对称点B′，直线AB′与x轴交于P，
此时PA﹣PB最大．
3、如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝kx的图象的一个交点为M（1，b）．
（1）求正比例函数y＝kx的表达式；
（2）若点N在直线OM上，且满足MN＝2OM，直接写出点N的坐标．
【分析】（1）先根据待定系数法求出b的值，再求出正比例函数解析式．
（2）先确定点N的横坐标，再求出其纵坐标，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵双曲线过点M（1，b），
∴b＝4，
∵正比例函数y＝kx的图象过点M（1，4），
∴k＝4．
∴正比例函数的表达式为y＝4x．
（2）由图象可知点N坐标的横坐标为﹣1或3，
当x＝﹣1时，y＝﹣4，
当x＝3时，y＝12，
∴点N坐标为（﹣1，﹣4），（3，12）．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数图象交点问题，解题的关键是灵活运用待定系数法，考虑问题要全面，不能漏解，属于中考常考题型．
4、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围；
（3）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标．
解：（1）把A（3，5）代入，可得m＝3×5＝15，
∴反比例函数的解析式为；
把点B（a，﹣3）代入，可得a＝﹣5，
∴B（﹣5，﹣3）．
把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝x+b，可得，
解得，
∴一次函数的解析式为y1＝x+2；
（2）当y1＞y2时，﹣5＜x＜0或x＞3．
（3）一次函数的解析式为y1＝x+2，令x＝0，则y＝2，
∴一次函数与y轴的交点为P（0，2），
此时，PB﹣PC＝BC最大，P即为所求，
令y＝0，则x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
∴．
5、如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，点C坐标为（﹣1，0），点A坐标为（0，2）．一次函数y＝kx+b的图象经过点B、C，反比例函数y＝的图象经过点B．
（1）求一次函数和反比例函数的关系式；
（2）直接写出当x＜0时，kx+b﹣＜0的解集；
（3）在x轴上找一点M，使得AM+BM的值最小，直接写出点M的坐标和AM+BM的最小值．
解：（1）过点B作BF⊥x轴于点F，
∵点C坐标为（﹣1，0），点A坐标为（0，2）．
∴OA＝2，OC＝1，
∵∠BCA＝90°，
∴∠BCF+∠ACO＝90°，
又∵∠CAO+∠ACO＝90°，
∴∠BCF＝∠CAO，
在△AOC和△CFB中
∴△AOC≌△CFB（AAS），
∴FC＝OA＝2，BF＝OC＝1，
∴点B的坐标为（﹣3，1），
将点B的坐标代入反比例函数解析式可得：1＝，
解得：k＝﹣3，
故可得反比例函数解析式为y＝﹣；
将点B、C的坐标代入一次函数解析式可得：，
解得：．
故可得一次函数解析式为y＝﹣x﹣．
（2）结合点B的坐标及图象，可得当x＜0时，kx+b﹣＜0的解集为：﹣3＜x＜0；
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接 B A′与x轴 的交点即为点M，
∵A（0，2），
∴A′（0，﹣2），
设直线BA′的解析式为y＝ax+b，将点A′及点B的坐标代入可得：，
解得：．
故直线BA′的解析式为y＝﹣x﹣2，
令y＝0，可得﹣x﹣2＝0，
解得：x＝﹣2，
故点M 的坐标为（﹣2，0），
AM+BM＝BM+MA′＝BA′＝＝3．
综上可得：点M的坐标为（﹣2，0），AM+BM的最小值为3．
6、如图①，在矩形OABC中，OA＝4，OC＝3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y＝kx+b经过点E和点F．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OE、OF，求△OEF的面积；
（3）在第一象限内，请直接写出关于x的不等式kx+b≤的解集： ．
（4）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+ON的最小值．
解：（1）在矩形ABCO中，∵OA＝BC＝4，OC＝AB＝3，
∴B（3，4），
∵OD＝DB，
∴D（，2），
∵y＝经过D（，2），
∴k＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）如图①中，连接OE，OF．
由题意E（，4），F（3，1），
∴S△OEF＝S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB＝12﹣×4×﹣×3×1﹣×3×（3﹣）＝．
（3）观察图象可知：在第一象限内，关于x的不等式kx+b≤的解集为：0＜x＜或x＞3．
故答案为：0＜x＜或x＞3．
（4）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．
由题意OB＝OH＝5，
∴CH＝OH﹣OC＝5﹣3＝2，
∴BH＝＝＝2，
∴sin∠CBH＝＝，
∵OM⊥BH，
∴∠OMH＝∠BCH＝90°，
∵∠MOH+∠OHM＝90°，∠CBH+∠CHB＝90°，
∴∠MOH＝∠CBH，
∵OB＝OH，OM⊥BH，
∴∠MOB＝∠MOH＝∠CBH，
∴sin∠JOD＝，
∴NJ＝ON•sin∠NOD＝ON，
∴NH+ON＝NH+NJ，
根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN+ON的值最小，最小值＝HK的长，
∵OB＝OH，BC⊥OH，HK⊥OB，
∴HK＝BC＝4，
∴HN+ON是最小值为4．
7、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD．
（1）求b、k的值；
（2）求△ABD的面积；
（3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点F，且EF＝BD，求m的值．
解：（1）作CH⊥y轴于点H，
∵直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），
∴﹣1×3+b＝0，
解得，b＝3，
对于直线y＝3x+3，当x＝0时，x＝3，
∴点B的坐标为（0，3），即OB＝3，
∵CH∥OA，
∴△AOB∽△CHB，
∴＝＝，即＝＝，
解得，CH＝2，BH＝6，
∴OH＝OB+BH＝9，
∴点C的坐标为（2，9），
∴k＝2×9＝18；
（2）∵BD∥x轴，
∴点D的纵坐标为3，
∴点D的横坐标为＝6，即BD＝6，
∴△ABD的面积＝×6×3＝9；
（3）EF＝BD＝×6＝2，
设E（m，3m+3），
当0＜m＜2时，点F的坐标为（m+2，3m+3），
∵点F在反比例函数y＝上，
∴（m+2）（3m+3）＝18，
解得，m1＝﹣4（舍去），m2＝1，
当m＞2时，点F的坐标为（m﹣2，3m+3），
∵点F在反比例函数y＝上，
∴（m﹣2）（3m+3）＝18，
解得，m3＝（舍去），m4＝，
综上所述，m的值为1或．
8、如图，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，已知点A（3，4），B（0，﹣2），点C是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2），求△ABC的面积；
（3）在点C运动的过程中，是否存在点C，使BC＝AC？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4），
∴k＝xy＝3×4＝12，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）作AE⊥y轴于点E，交CD于点F，
则BE∥CD，
∴＝＝，
∵点A的坐标为（3，4），
∴EF＝1，FA＝2，
∴点F的横坐标为1，
∴点C的坐标为（1，12），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得，，
∴直线AB的解析式为：y＝2x﹣2，
则点D的坐标为：（1，0），即CD＝12，
∴△ABC的面积＝×12×1+×12×2＝18；
（3）不存在，
理由如下：设点C的坐标为（m，），
∵BC＝AC，
∴m2+（+2）2＝（3﹣m）2+（﹣4）2，
整理得，6m2﹣21m+144＝0，
△＝212﹣4×6×144＜0，
则此方程无解，
∴点C不存在．
9、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝与x轴，y轴分别相交于A，B两点，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，点C的横坐标为4．
（1）求k的值；
（2）过点C作CD⊥y轴，垂足为D，点E是该反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，连接ED，EC，且ED＝EC；
①求点E的坐标；
②求点E到直线y＝的距离d的值．
解：（1）点C在直线上，点C的横坐标为4，
∴，
∴，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴k＝4×＝2；
（2）①ED＝EC，
∴点E在线段DC的垂直平分线上．
∵CD⊥y轴，垂足为D，
∴CD∥x轴．
∵点C的坐标为，
∴点E的横坐标为2，
∵点E在反比例函数的图象上，
∴点E的坐标为（2，1）；
②过点E作EF⊥直线BC，垂足为F，
∴∠EFB＝90°，EF＝d，
过点E作EG⊥x轴，垂足为G，延长EG交BC于点H，
∴EH∥y轴，
∴∠EHF＝∠OBA，
∵∠EFH＝∠AOB＝90°，
∴Rt△EFH∽Rt△AOB，
∴．
设点H的坐标为（a，b）．
∵E（2，1），
∴a＝2，EG＝1，
又∵点H在直线上，
∴，
∴，
∴，
当y＝0时，x＝3，
∴A（3，0），则OA＝3．
当x＝0时，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
10、如图，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a）、B两点，与x轴交于点C（﹣4，0）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点D是第四象限内反比例函数图象上的点，且点D到直线AC的距离为5，求点D的横坐标．
解：（1）将C（﹣4，0）代入y＝x+b，得b＝4，
∴一次函数的表达式为y＝x+4，
将A（﹣1，a）代入y＝x+4，y＝中，得：a＝﹣1+4，a＝，
∴k＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）过点D作DE∥AC交x轴于点E，过点E作EF⊥AC于点F，
∴设直线DE的解析式为y＝x+m，EF＝5，
∵y＝x+4，
∴G（0，4），
又C（﹣4，0），
∴CO＝GO＝4，
又∠GOC＝90°，
∵EF⊥AC，
∴CE＝EF＝10，
∴EO＝6，∴E（6，0），
将E（6，0）代入y＝x+m中，得：m＝﹣6，
∴y＝x﹣6，
联立，
解得x＝+3，
∴点D的横坐标x＝±+3．