初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习分类讨论思想

这是一份初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习分类讨论思想，共29页。

每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。
分类讨论类型
【类型一、与数与式有关的分类讨论】
热点1：实数分类、绝对值、算术平方根
热点2：与函数及图象有关的分类讨论 ：变量取值范围、增减性
热点3：含参不等式
热点4：涉及问题中待定参数的变化范围的分类讨论。
热点5：含参方程
【类型二：三角形中的分类讨论】
热点1. 与等腰三角形有关的分类讨论：在等腰三角形中，无论边还是顶角、底角不确定的情况下，要分情况求解，有时要分钝角三角形、直角三角形、锐角三角形分别讨论解决．
（1） 与角有关的分类讨论
（2） 与边有关的分类讨论
（3） 与高有关的分类讨论
热点2：与直角三角形有关的分类讨论：在直角三角形中，如果没有指明哪条边是直角边、斜边，这需要根据实际情况讨论；当然，在不知哪个角是直角时，有关角的问题也需要先讨论后求解．
热点3：与相似三角形有关的分类讨论
（1） 对应边不确定
（2） 对应角不确定
【类型三：圆中的分类讨论】
热点1：点与圆的位置关系不确定
热点2：弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论
热点3：两弦与直径位置
热点4：直线与圆的位置的不确定
热点5：圆与圆的位置的不确定
【典例分析】
例1、等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2−4x+k=0的两个根，则k的值为( )
A. 3B. 4C. 3或4D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、三角形三边关系以及根与系数的关系，分3为腰长及3为底边长两种情况，求出k值是解题的关键．
当3为腰长时，将x=3代入原一元二次方程可求出k的值；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式△=0，解之可得出k值，利用根与系数的关系可得出两腰之和，将其与3比较后可得知该结论符合题意．
【解答】
解：当3为腰长时，将x=3代入x2−4x+k=0，得：32−4×3+k=0，
解得：k=3；
当3为底边长时，关于x的方程x2−4x+k=0有两个相等的实数根，
∴△=(−4)2−4×1×k=0，
解得：k=4，此时两腰之和为4，4>3，符合题意．
∴k的值为3或4．
故选：C．
例2、有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是______元．
【答案】100或85
【解析】解：设所购商品的标价是x元，则
①所购商品的标价小于90元，
x−20+x=150，
解得x=85；
②所购商品的标价大于90元，
x−20+x−30=150，
解得x=100．
故所购商品的标价是100或85元．
故答案为：100或85．
可设所购商品的标价是x元，根据小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，分①所购商品的标价小于90元；②所购商品的标价大于90元；列出方程即可求解．
本题考查了一元一次方程的应用，属于商品销售问题，注意分两种情况进行讨论求解．
例3、如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(−3,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，AC，BC.M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
(1)求抛物线的表达式；
(2)过点P作PN⊥BC，垂足为点N.设M点的坐标为M(m,0)，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式得9a−3b+4=016a+4b+4=0，
解得a=−13b=13，
故抛物线的表达式为：y=−13x2+13x+4；
(2)由抛物线的表达式知，点C(0,4)，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=−x+4；
设点M(m,0)，则点P(m,−13m2+13m+4)，点Q(m,−m+4)，
∴PQ=−13m2+13m+4+m−4=−13m2+43m，
∵OB=OC，故∠ABC=∠OCB=45°，
∴∠PQN=∠BQM=45°，
∴PN=PQsin45°=22(−13m2+43m)=−26(m−2)2+223，
∵−26<0，故当m=2时，PN有最大值为223；
(3)存在，理由：
点A、C的坐标分别为(−3,0)、(0,4)，则AC=5，
①当AC=CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，
则CQ2=CE2+EQ2，即m2+[4−(−m+4)]2=25，
解得：m=±522(舍去负值)，
故点Q(522,8−522)；
②当AC=AQ时，则AQ=AC=5，
在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m−(−3)]2+(−m+4)2=25，解得：m=1或0(舍去0)，
故点Q(1,3)；
③当CQ=AQ时，则2m2=[m=(−3)]2+(−m+4)2，解得：m=252(舍去)；
综上，点Q的坐标为(1,3)或(522,8−522).
【解析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到运用待定系数法确定函数关系式、函数图象上点的坐标的特征、一次函数的性质、锐角三角函数定义、勾股定理、等腰三角形的概念等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
(2)PN=PQsin45°=22(−13m2+43m)=−26(m−2)2+223，即可求解；
(3)分AC=CQ、AC=AQ、CQ=AQ三种情况，分别求解即可．
【好题演练】
一、选择题
若点A(a−1,y1)，B(a+1,y2)在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，且y1>y2，则a的取值范围是( )
A. a<−1B. −1C. a>1D. a<−1或a>1
【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握当k<0时，在图象的每一支上，y随x的增大而增大．
根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点(a−1,y1)、(a+1,y2)在图象的同一支上时，②当点(a−1,y1)、(a+1,y2)在图象的两支上时，分别列不等式求解即可．
【解答】
解：∵k<0，
∴在图象的每一支上，y随x的增大而增大，
①当点(a−1,y1)、(a+1,y2)在图象的同一支上，
∵y1>y2，
∴a−1>a+1，
此不等式无解；
②当点(a−1,y1)、(a+1,y2)在图象的两支上，
∵y1>y2，
∴a−1<0，a+1>0，
解得：−1故选：B．
在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有M个交点，函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有N个交点，则( )
A. M=N−1或M=N+1B. M=N−1或M=N+2
C. M=N或M=N+1D. M=N或M=N−1
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数和二次函数与x轴的交点问题，关键是根据根的判别式的取值确定抛物线与x轴的交点个数，二次项系数为字母的代数式时，要根据系数是否为0，确定它是什么函数，进而确定与x轴的交点个数．
先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．
【解答】解：∵y=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，
∴△=(a+b)2−4ab=(a−b)2>0，
∴函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有2个交点，
∴M=2，
∵函数y=(ax+1)(bx+1)=abx2+(a+b)x+1，
∴当ab≠0时，△=(a+b)2−4ab=(a−b)2>0，函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有2个交点，即N=2，此时M=N；
当ab=0时，不妨令a=0，∵a≠b，∴b≠0，函数y=(ax+1)(bx+1)=bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N=1，此时M=N+1；
综上可知，M=N或M=N+1．
故选：C．
平面直角坐标系中，已知A(2,2)，B(4,0)，若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查等腰三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想方法求解．
【解答】
解：如图， ①当AB=AC时，以点A为圆心，AB长为半径作圆，与坐标轴有两个交点(点B除外)，即O(0,0)，C0(0,4)，其中点C0与A、B两点共线，不符合题意;
②当AB=BC时，以点B为圆心，AB长为半径作圆，与坐标轴有两个交点，均符合题意;
③当AC=BC时，作AB的垂直平分线，与坐标轴有两个交点，均符合题意.所以满足条件的点C有5个，
故选A．
已知∠AOB=70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC=42°，则∠BOC的度数为( )
A. 28°B. 112°C. 28°或112°D. 68°
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是角的计算，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．根据题意画出图形，此题有两种情况：①∠AOC在∠AOB的内部，②∠AOC在∠AOB的外部，然后结合角的和差计算即可．
【解答】
解：如图，
当点C与点C1重合时，∠BOC=∠AOB−∠AOC=70°−42°=28°；
当点C与点C2重合时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+42°=112°．
故选C．
已知一次函数y1=ax+b和y2=bx+a(a≠b)，函数y1和y2的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】【试题剖析】
【试题解析】
解：分情况讨论：
当a>0、b>0时，直线y1和直线y2都经过一、二、三象限，只有选项A符合；
当a<0、b>0时，直线y1经过一、二、四象限，直线y2经过一、三、四象限，没有符合的选项；
当a>0、b<0时，直线y1经过一、三、四象限，直线y2经过一、二、四象限，没有符合的选项；
当a<0、b<0时，直线y1和直线y2都经过二、三、四象限，没有符合的选项．
故选：A．
分a>0、b>0，a<0、b>0，a>0、b<0，a<0、b<0四种情况讨论，判断出直线经过的象限，找出符合题意的选项，即可做出判断．
本题主要考查的是一次函数图象与系数的关系，分类讨论思想，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2−8x+15=0的一根，则此三角形的周长是 ( )
A. 16B. 12C. 14D. 12或16
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了解一元二次方程和等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
先利用因式分解法解方程求出x的值，再根据三角形三边关系得出三角形的三边长度，继而相加即可得．
【解答】
解：解方程x2−8x+15=0，得：x=3或x=5，
若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，
故选：A．
二、填空题
如图，∠MAN=60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB=2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是____．
【答案】3【解析】解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2，
在Rt△ABC1中，AB=2，∠A=60°，
∴∠ABC1=30°，
∴AC1=12AB=1，由勾股定理得：BC1=3，
在Rt△ABC2中，AB=2，∠A=60°，
∴∠AC2B=30°，
∴AC2=4，由勾股定理得：BC2=23，
当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时3故答案为：3当点C在射线AN上运动，△ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的BC的值．
本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用特殊直角三角形的边角关系或利用勾股定理求解．考查直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点．
如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，点E在边BC上，且BE=35a.连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B'落在矩形ABCD的边上，则a的值为______．
【答案】53或53
【解析】
【分析】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．进行分类讨论与数形结合是解题的关键．
分两种情况：①点B'落在AD边上，根据矩形与折叠的性质易得AB=BE，即可求出a的值；②点B'落在CD边上，证明△ADB'∽△B'CE，根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值．
【解答】
解：分两种情况：
①当点B'落在AD边上时，如图1．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=90°，
∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B'落在AD边上，
∴∠BAE=∠B'AE=12∠BAD=45°，
∴AB=BE，
∴35a=1，∴a=53；
②当点B'落在CD边上时，如图2．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=a．
∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B'落在CD边上，
∴∠B=∠AB'E=90°，AB=AB'=1，EB=EB'=35a，
∴DB'=B'A2−AD2=1−a2，EC=BC−BE=a−35a=25a.
在△ADB'与△B'CE中，
∠B'AD=∠EB'C=90∘−∠AB'D∠D=∠C=90∘，
∴△ADB'∽△B'CE，
∴DB'CE=AB'B'E，即1−a225a=135a，
解得a1=53，a2=0(舍去)．
综上，所求a的值为53或53．
故答案为53或53．
如图，在一张长为8cm，宽为6cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形(要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上).则剪下的等腰三角形的面积为 cm2．
【答案】252或56或10
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论．因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分①腰长在矩形相邻的两边上，②一腰在矩形的宽上，③一腰在矩形的长上，三种情况讨论．①△AEF为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；②先利用勾股定理求出AE边上的高BF，再代入面积公式求解；③先求出AE边上的高DF，再代入面积公式求解．
【解答】
解：不妨设重合的顶点为点A，则有以下三种情况：
①如图(1)，AE=AF=5，所以所求面积为12×5×5=252．
②如图(2)，AE=EF=5，Rt△BEF中，可求出BE=1，
根据勾股定理可得BF=EF2−EB2=26，
所以所求面积为12AE⋅BF=12×5×26=56．
③如图(3)，AE=EF=5，Rt△DEF中，可求出DE=3，
根据勾股定理可得DF=EF2−ED2=4，
所以所求面积为12AE⋅DF=12×5×4=10．
综上所述，剪下的等腰三角形的面积为252cm2或56cm2或10cm2．
如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，点F为射线AD上一动点，△A'EF与△AEF关于EF所在直线对称，连接AC，分别交EA'、EF于点M、N，AB=23，AD=2.若△EMN与△AEF相似，则AF的长为____．
【答案】1或3
【解析】解：①当EM⊥AC时，△EMN∽△EAF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，∠B=90°，
∴tan∠CAB=BCAB=33，
∴∠CAB=30°，
∴∠AEM=60°，
∴∠AEF=30°，
∴AF=AE⋅tan30°=3⋅33=1，
②当EN⊥AC时，△ENM∽△EAF，
可得AF=AE⋅tan60°=3，
故答案为1或3．
分两种情形①当EM⊥AC时，△EMN∽△EAF.②当EN⊥AC时，△ENM∽△EAF，分别求解．
本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
如图，已知AD//BC，AB⊥BC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B'处，过点B'作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N.当点B'为线段MN的三等分点时，BE的长为______．
【答案】322或355
【解析】
【分析】
本题考查了翻折的性质，利用翻折的性质得出AB=AB'，BE=B'E是解题关键，又利用了相似三角形的性质，要分类讨论，以防遗漏．
根据勾股定理，可得EB'，根据相似三角形的性质，可得EN的长，根据勾股定理，可得答案．
【解答】
解：如图，
，
由翻折的性质，得
AB=AB'，BE=B'E．
①当MB'=2，B'N=1时，设EN=x，得
B'E=x2+1．
△B'EN∽△AB'M，
ENB'M=B'EAB'，即x2=x2+13，
x2=45，
BE=B'E=45+1=355．
②当MB'=1，B'N=2时，设EN=x，得
B'E=x2+22，
△B'EN∽△AB'M，
ENB'M=B'EAB'，即x1=x2+43，
解得x2=12，BE=B'E=12+4=322，
故答案为：322或355．
如图，在Rt△ABC的纸片中，∠C=90°，AC=5，AB=13.点D在边BC上，以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB'，AB'与边BC交于点E.若△DEB'为直角三角形，则BD的长是______．
【答案】7或263
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．
由勾股定理可以求出BC的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当△DEB'为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD的长．
【解答】
解：在Rt△ABC中，BC=AB2−AC2=132−52=12．
(1)当∠EDB'=90°时，如图1，
过点B'作B'F⊥AC，交AC的延长线于点F，
由折叠得：AB=AB'=13，BD=B'D=CF，
设BD=x，则B'D=CF=x，B'F=CD=12−x，
在Rt△AFB'中，由勾股定理得：
(5+x)2+(12−x)2=132，
即：x2−7x=0，解得：x1=0(舍去)，x2=7，
因此，BD=7．
(2)当∠DEB'=90°时，如图2，此时点E与点C重合，
由折叠得：AB=AB'=13，则B'C=13−5=8，
设BD=x，则B'D=x，CD=12−x，
在Rt△B'CD中，由勾股定理得：
(12−x)2+82=x2，
解得：x=263，
因此BD=263．
故答案为7或263．
三、解答题
在“我为祖国点赞“征文活动中，学校计划对获得一，二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元．
(1)钢笔、笔记本的单价分别为多少元？
(2)经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价售，笔记本一律按原价销售．学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元？
【答案】解：(1)钢笔、笔记本的单价分别为x、y元，
根据题意得，2x+3y=384x+5y=70，
解得：x=10y=6，
答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元；
(2)设钢笔的单价为a元，购买数量为b元，支付钢笔和笔记本的总金额w元，
①当30≤b≤50时，
a=10−0.1(b−30)=−0.1b+13，
w=b(−0.1b+13)+6(100−b)
=−0.1b2+7b+600
=−0.1(b−35)2+722.5，
∵当b=30时，w=720，当b=50时，w=700，
∴当30≤b≤50时，700≤w≤722.5；
②当50700∴当30≤b≤60时，w的最小值为700元，
∴这次奖励一等奖学生50人时，购买奖品总金额最少，最少为700元．
【解析】本题考查了二次函数的应用，二元一次方程组的应用，正确的理解题意求出二次函数的解析式是解题的关键．
(1)钢笔、笔记本的单价分别为x、y元，根据题意列方程组即可得到结论；
(2)设钢笔的单价为a元，购买数量为b元，支付钢笔和笔记本的总金额w元，①当30≤b≤50时，求得w=−0.1(b−35)2+722.5，于是得到700≤w≤722.5；②当50如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点(Q在P、H之间).我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ⋅PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．
(1)如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为(0,4).半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．
①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点______(填“A”.“B”、“C”或“D”)，⊙O关于直线m的“特征数”为______；
②若直线n的函数表达式为y=3x+4.求⊙O关于直线n的“特征数”；
(2)在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M(1,4)，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，2为半径作⊙F.若⊙F与直线1相离，点N(−1,0)是⊙F关于直线1的“远点”.且⊙F关于直线l的“特征数”是45，求直线l的函数表达式．
【答案】(1)①D；20
解：②如图1−1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．
设直线y=3x+4交x轴于F(−433,0)，交y轴于E(0,4)，
∴OE=4，OF=433
∴tan∠FEO=OFOE=33，
∴∠FEO=30°，
∴OH=12OE=2，
∴PH=OH+OP=3，
∴⊙O关于直线n的“特征数”=PQ⋅PH=2×3=6．
(2)如图2−1中，设直线l的解析式为y=kx+b．
当k>0时，过点F作FH⊥直线l于H，交⊙F于E，N．
由题意，EN=22，EN⋅NH=45，
∴NH=10，
∵N(−1,0)，M(1,4)，
∴MN=22+42=25，
∴HM=MN2−NH2=20−10=10，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∵MN的中点K(0,2)，
∴KN=HK=KM=5，
∴H(−2,3)，
把H(−2,3)，M(1,4)代入y=kx+b，则有k+b=4−2k+b=3，
解得k=13b=113，
∴直线l的解析式为y=13x+113，
当k<0时，同法可知直线i经过H'(2,1)，可得直线l的解析式为y=−3x+7．
综上所述，满足条件的直线l的解析式为y=13x+113或y=−3x+7．
【解析】
【分析】
本题属于圆综合题，考查了一次函数的性质，解直角三角形，远点，特征数的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
(1)①根据远点，特征数的定义判断即可．
②如图1−1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P.解直角三角形求出PH，PQ的长即可解决问题．
(2)如图2−1中，设直线l的解析式为y=kx+b.分两种情形k>0或k<0，分别求解即可解决问题．
【解答】
解：(1)①由题意，点D是⊙O关于直线m的“远点”，⊙O关于直线m的特征数=DB⋅DE=2×5=20，
故答案为D，20．
②见答案；
(2)见答案．
如图，直线y=−3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=−x2+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA(O为坐标原点).若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点(包括端点)，其横坐标为m．
(1)直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；
(2)当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；
(3)求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标．
【答案】解：
(1)当y=c时，有c=−x2+bx+c，
解得：x1=0，x2=b，
∴点C的坐标为(0,c)，点P的坐标为(b,c)．
∵直线y=−3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(0,3)，
∴OB=3，OA=1，BC=c−3，CP=b．
∵△PCB≌△BOA，
∴BC=OA=1，CP=OB=3，
∴b=3，c=4，
∴点P的坐标为(3,4)，抛物线的解析式为y=−x2+3x+4．
(2)当y=0时，有−x2+3x+4=0，
解得：x1=−1，x2=4，
∴点F的坐标为(4,0)．
过点M作ME//y轴，交直线AB于点E，如图1所示．
∵点M的横坐标为m(0≤m≤4)，
∴点M的坐标为(m,−m2+3m+4)，点E的坐标为(m,−3m+3)，
∴ME=−m2+3m+4−(−3m+3)=−m2+6m+1，
∴S=S△MEB−S△AEM=12OA⋅ME=−12m2+3m+12=−12(m−3)2+5．
∵−12<0，0≤m≤4，
∴当m=0时，S取最小值，最小值为12；
当m=3时，S取最大值，最大值为5．
(3)
①当点M在线段OP上方时，∵CP//x轴，
∴当点C、M重合时，∠MPO=∠POA，
∴点M的坐标为(0,4)；
②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO=DP，此时∠DPO=∠POA．
设点D的坐标为(n,0)，则DO=n，DP=(n−3)2+(0−4)2，
∴n2=(n−3)2+16，
解得：n=256，
∴点D的坐标为(256,0)．
设直线PD的解析式为y=kx+a(k≠0)，
将P(3,4)、D(256,0)代入y=kx+a，
3k+a=4256k+a=0，解得：k=−247a=1007，
∴直线PD的解析式为y=−247x+1007．
联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，得：y=−247x+1007y=−x2+3x+4，
解得：x1=3y1=4，x2=247y2=12449．
∴点M的坐标为(247,12449).
综上所述：满足∠MPO=∠POA的点M的坐标为(0,4)或(247,12449).
【解析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次(二次)函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是：(1)利用全等三角形的性质求出b、c的值；(2)利用三角形的面积公式找出S=−12(m−3)2+5；(3)分点M在线段OP上方和点M在线段OP下方两种情况求出点M的坐标．
(1)代入y=c可求出点C、P的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再由△PCB≌△BOA即可得出b、c的值，进而可得出点P的坐标及抛物线的解析式；
(2)利用二次函数图象上点的坐标特征求出点F的坐标，过点M作ME//y轴，交直线AB于点E，由点M的横坐标可得出点M、E的坐标，进而可得出ME的长度，再利用三角形的面积公式可找出S=−12(m−3)2+5，由m的取值范围结合二次函数的性质即可求出S的最大值及最小值；
(3)分两种情况考虑：①当点M在线段OP上方时，由CP//x轴利用平行线的性质可得出：当点C、M重合时，∠MPO=∠POA，由此可找出点M的坐标；②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO=DP，此时∠DPO=∠POA，设点D的坐标为(n,0)，则DO=n，DP=(n−3)2+(0−4)2，由DO=DP可求出n的值，进而可得出点D的坐标，由点P、D的坐标利用待定系数法即可求出直线PD的解析式，再联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点M的坐标．
综上此题得解．
某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费y(元)与每月用水量x(m3)之间的关系如图所示．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)若某用户二、三月份共用水40m3(二月份用水量不超过25m3)，缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少m3？
【答案】解：(1)当0≤x≤15时，设y与x的函数关系式为y=kx，
15k=27，得k=1.8，
即当0≤x≤15时，y与x的函数关系式为y=1.8x，
当x>15时，设y与x的函数关系式为y=ax+b，
15a+b=2720a+b=39，得a=2.4b=−9,
即当x>15时，y与x的函数关系式为y=2.4x−9，
由上可得，y与x的函数关系式为：
y=1.8x(0≤x≤15)2.4x−9(x>15)；
(2)设二月份的用水量是xm3，
当15此方程无解；
当0解得，x=12，
∴40−x=28，
答：该用户二、三月份的用水量各是12m3、28m3．
【解析】本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．
(1)根据函数图象可以分别设出各段的函数解析式，然后根据函数图象中的数据求出相应的函数解析式；
(2)根据题意对x进行取值进行讨论，从而可以求得该用户二、三月份的用水量各是多少m3．
如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC，BC上的点，且四边形PEFD为矩形．
(1)若△PCD是等腰三角形，求AP的长;
(2)若AP=2，求CF的长．
【答案】解：(1)在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90∘，
∴DC=AB=6，∴AC=AD2+DC2=10．
要使△PCD是等腰三角形，有如下三种情况：
①当CP=CD时，CP=6，∴AP=AC−CP=4．
②当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，
∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90∘，
∴∠PAD=∠PDA，∴PD=PA，
∴PA=PC，∴AP=AC2，即AP=5．
③当DP=DC时，过D作DQ⊥AC于Q，则PQ=CQ．
∵S△ADC=12AD⋅DC=12AC⋅DQ，
∴DQ=AD⋅DCAC=245，∴CQ=DC2−DQ2=185，
∴PC=2CQ=365，∴AP=AC−PC=145．
综上所述，若△PCD是等腰三角形，则AP=4，或AP=5，或AP=145．
(2)连接PF，DE，记PF与DE的交点为O.连接OC．
∵四边形ABCD和四边形PEFD都是矩形，
∴∠ADC=∠PDF=90°，
即∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF，
∴∠ADP=∠CDF．
∵∠BCD=90∘，OE=OD，∴OC=12ED．
在矩形PEFD中，PF=DE，∴OC=12PF．
∵OP=OF=12PF，∴OC=OP=OF，
∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，
又∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°
∴2∠OCP+2∠OFC=180°，∴∠PCF=90°，即∠PCD+∠FCD=90°．
在中，∠PCD+∠PAD=90∘，∴∠PAD=∠FCD．
，∴CFAP=CDAD=34．
∵AP=2，∴CF=324．
【解析】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解(1)的关键是分三种情况讨论计算，解(2)的关键是判断出△ADP∽△CDF，是一道中考常考题．
(1)先求出AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论；
(2)方法1、先判断出OC=12ED，OC=12PF，进而得出OC=OP=OF，即可得出∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，最后判断出△ADP∽△CDF，得出比例式即可得出结论．
方法2、先判断出∠CEF=∠FDC，得出点E，C，F，D四点共圆，再判断出点P也在此圆上，即可得出∠DAP=∠DCF，此后同方法1即可得出结论．
方法3、先判断出△PME∽△DNP即可得出DPPE=43，进而用两边对应成比例夹角相等判断出△ADP∽△CDF，得出比例式即可得出结论．
已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如图1，连接BC．
(1)填空：∠OBC=______°；
(2)如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；
(3)如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？
【答案】(1)60；
(2)如图1中，
∵OB=4，∠ABO=30°，
∴OA=12OB=2，AB=3OA=23，
∴S△AOC=12⋅OA⋅AB=12×2×23=23，
可得△BOC是等边三角形，
∴∠OBC=60°，BC=OB=4，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°，
∴AC=AB2+BC2=27，
∴OP=2S△AOCAC=4327=2217．
(3)①当0则NE=ON⋅sin60°=32x，
∴S△OMN=12⋅OM⋅NE=12×1.5x×32x，
∴y=338x2，
∴x=83时，y有最大值，最大值=833．
②当83作MH⊥OB于H.则BM=8−1.5x，MH=BM⋅sin60°=32(8−1.5x)，
∴y=12×ON×MH=−338x2+23x，
可知：y<833；
③当4MN=12−2.5x，OG=AB=23，
∴y=12⋅MN⋅OG=123−532x，
∵x>4，
∴y<23，
④当x=4.8时，M、N重合；
综上所述，y有最大值，最大值为833．
【解析】
【分析】
本题考查30度的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，属于中考压轴题．
(1)只要证明△OBC是等边三角形，即可得解；
(2)求出△AOC的面积，进行求解即可；
(3)分情形讨论求解，即可解决问题．
【解答】
解：(1)由旋转性质可知：OB=OC，∠BOC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=60°．故答案为60．
(2)见答案；
(3)见答案．