初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习赋值法

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在解数学题时，人们运用逻辑推理方法，一步一步地寻求必要条件，最后求得结论，是一种常用的方法。对于有些问题，若能根据其具体情况，合理地、巧妙地对某些元素赋值，特别是赋予确定的特殊值（如），往往能使问题获得简捷有效的解决。但是这仅仅只能得到该赋予的值的情况，所以做题时可以继续根据已得到的情况推断并证明。这就是赋值法。
【典例分析】
例1、若0A. 1a>a2>aB. a>1a>a2C. a2>a>1aD. 1a>a>a2
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了实数的大小比较，利用特殊值比较式子的大小是本题解题的关键.可根据条件，运用取特殊值的方法比较大小．
【解答】
解：∵0∴设a=14，
则a2=(14)2=116，1a=4．
a=14=12，
∴1a>a>a2．
故选D．
例2、我们规定：相等的实数看作同一个实数．有下列六种说法：
①数轴上有无数多个表示无理数的点；
②带根号的数不一定是无理数；
③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示；
④数轴上每一个点都表示唯一一个实数；
⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数；
⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数．
其中说法错误的有__________(注：填写出所有错误说法的编号)
【答案】⑤
【解析】
【分析】
根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，可得答案．
此题主要考查了实数的有关概念，正确把握相关定义是解题关键．
【解答】
解：①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的；
②带根号的数不一定是无理数是正确的，如4=2；
③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示是正确的；
④数轴上每一个点都表示唯一一个实数是正确的；
⑤没有最大的负实数，也没有最小的正实数，故⑤说法错误；
⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数为1，故⑥说法正确．
故答案为：⑤．
例3、若(2x2−x−1)3=a0x6+a1x5+a2x4+a3x3+a4x2+a5x+a6，求：
(1)a6的值；
(2)a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6的值．
【答案】解：
(1)令x=0，则(−1)3=a6，
∴a6=−1．
(2)令x=1，
则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6 =(2−1−1)3 =0．
【解析】略
【好题演练】
一、选择题
1. 甲、乙两个油桶中装有体积相等的油.先把甲桶的油倒一半到乙桶(乙桶没有溢出)，再把乙桶的油倒出13给甲桶(甲桶没有溢出)，这时两个油桶中的油的是( )
A. 甲桶的油多
B. 乙桶的油多
C. 甲桶与乙桶一样多
D. 无法判断，与原有的油的体积大小有关，
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了有理数运算的应用，赋值法 ，采用设数法，表示出两桶中油的体积，从而可以比较大小．采用设数法，将甲、乙两个油桶中体积相等时的油的体积设为“1”，分别算出倒两次之后甲乙两桶中油的体积，即可得解．
【解答】
解：∵甲、乙两个油桶中装有体积相等的油，
∴将此时甲、乙两个油桶中油的体积设为“1”，
则把甲桶的油倒一半到乙桶后，甲桶中油的体积为“12”，乙桶中油的体积为：12+1=32，
再把乙桶的油倒出13给甲桶，乙桶油倒出的体积为：32×13=12，
则乙桶油剩余的体积为：32−12=1，甲桶中油的体积为：12+12=1，
∴甲桶与乙桶一样多．
故选：C．
若a<0A. 1−a<1−bB. a+1【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查不等式的性质等知识，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．
根据不等式的性质即可求出答案．
【解答】
解：A∵a<0∴−a>−b，
∴1−a>1−b，故A错误．
B当a=−1，b=1时，
∴a+1=0，b−1=0，
即a+1=b−1，故B错误．
C当a=−3时，b=1时，
∴a2=9，b2=1，
即a2>b2，故C错误．
D∵a<0∴a2>0，a−b<0
∴a3−a2b=a2(a−b)<0，故D正确．
故选D．
若0A. 3x最大，x2最小B. x最大，3x最小
C. x2最大，x最小D. x最大，x2最小
【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查实数的大小比较.利用特殊值比较一些式子的大小是有效的方法．可根据条件，在范围内运用取特殊值的方法比较大小．
【解答】
解：∵0∴取x=18，
则x2=116，x=18，3x=12，
∵13<18<12
∴12最大，116最小，
则最大的是3x，最小的是x2，
故选A．
设[x]表示不超过x的最大整数，若M=x,N=x，其中x⩾1，则一定有( )
A. M>NB. M=N
C. M【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查取整函数的知识，难度较大，对于此类题目不应定非要按部就班的解答，特殊值法是解答一些竞赛题时常用的方法，同学们要注意掌握．本题可用特殊值法进行解答，分别令x=1及x=16即可作出判断．
【解答】
解：根据题意可令x=1及x=16，
当x=1时，M=1，N=1，此时M=N；
当x=16时，M=4，N=2，此时M>N；
综上可判断M和N的关系并不是单纯的M=N或M>N，而是根据情况而定的．
故选D．
设a是大于1的有理数，若a，a+23,2a+13在数轴上对应点分别记作A，B，C，则A，B，C 三点在数轴上自左至右的顺序是( )
A. C，B，AB. B，C，AC. A，B，CD. C，A，B
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了数轴及有理数的比较大小，理解数轴上右边的数大于左边的数是解题关键.首先应比较它们的大小，可用取特殊值法，然后根据在数轴上右边的点表示的数总比左边的大．
【解答】
解：∵a是大于1的有理数，不妨设a=2，
则a+23=43，2a+13=4+13=53，
又∵43<53<2；
∴A，B，C三点在数轴上自左至右的顺序是B，C，A．
故选B．
已知x−23=ax3+bx2+cx+d，则a+b+c+d的值为( )
A. 1B. −1C. 0D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了代数式求值.利用特殊值法求解.把x=1代入即可求出．
【解答】
解：当x=1时，(1−2)3=a+b+c+d，
∴a+b+c+d=−1．
故选B．
二、填空题
已知(x−1)2021=a0+a1x1+a2x2+a3x3+⋯+a2021x2021，则a1+a2+⋯+a2021=________．
【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查了赋值法的应用，属于基础题．
当x=0时，a0=−1，当x=1时，(1−1)2021=a0+a1+a2+a3+⋯+a2021=0，进而得出结果．
【解答】
解：当x=0时，a0=−1，
当x=1时，(1−1)2021=a0+a1+a2+a3+⋯+a2021=0，
则−1+a1+a2+a3+⋯+a2021=0，
则a1+a2+⋯+a2021=1，
故答案为1．
对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为(x).即当n为非负整数时，若n−12≤x①(1.493)=1;②(2x)=2(x);③若(12x−1)=4，则实数x的取值范围是9≤x<11;④当x≥0，m为非负整数时，有(m+2016x)=m+(2016x);⑤(x+y)=(x)+(y).其中正确的是__________(填序号).
【答案】①③④
【解析】
【分析】
本题考查新定义问题，一元一次不等式组的应用，特殊取值法，根据题干的信息及不等式组n−12≤x12x−1，解不等式组得到解集进而对③进行判定；由于m为非负整数，则不会对四舍五入造成影响，则可以直接将m提取出来，故可对④进行判定；使用特殊值法令x=1.3，y=1.4分别计算(x+y)和(x)+(y)的值，可对⑤进行判定．
【解答】
解：①∵1−12≤1.493<1+12(即0.5≤1.493<1.5)
∴(1.493)=1
故①正确；
②令x=0.3，
则(2x)=(0.6)=1，2(x)=2(0.3)=0，
此时(2x)≠2(x)，
∴②错误；
③∵(12x−1)=4，
∴4−12≤12x−1<4+12，
即4−12≤12x−1 (1)4+12>12x−1 (2),
解(1)可得：x≥9，
解(2)可得：x<11，
∴方程组的解集为：9≤x<11；
故③正确；
④∵x≥0，m为非负整数，
∴(m+2016x)=m+(2016x)，
故④正确；
⑤令x=1.3，y=1.4，
则(x+y)=(2.7)=3，
(x)+(y)=(1.3)+(1.4)=1+1=2，
此时(x+y)≠(x)+(y)，
故⑤错误；
∴正确的结论有①③④．
故答案为①③④．
用举反例的方法说明命题“若a【答案】−1，0(答案不唯一)
【解析】
【分析】
本题考查了运用举反例的方法判断一个命题是假命题．解题关键是理解什么是“反例”：满足命题的题设但得不出命题的结论的例子．
【解答】
解：a=−1，b=0，则满足a∴ab=0，b2=0，
则ab=b2，
所以反例为a=−1，b=0．
故答案为−1，0．
已知(x−1)2021=a0+a1x1+a2x2+a3x3+⋯+a2021x2021，则a1+a2+⋯+a2021=________．
【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查了代数式求值，有理数的乘方，解题关键是运用赋值法求值.根据题意运用赋值法，当x=1时，a0+a1+a2+⋯+a2021=0；当x=0时，a0=−1，据此可得答案．
【解答】
解：∵(x−1)2021=a0+a1x1+a2x2+a3x3+⋯+a2021x2021，
∴当x=1时，(1−1)2021=a0+a1·11+a2·12+a3·13+⋯+a2021·12021，
∴a0+a1+a2+⋯+a2021=0，
∵(x−1)2021=a0+a1x1+a2x2+a3x3+⋯+a2021x2021，
∴当x=0时，a0=(−1)2021=−1，
∴a1+a2+⋯+a2021=1.
故答案为1．
当n为正整数时，−12n+1+−12n的值是________
【答案】0
【解析】
【分析】
本题主要考查求代数式的值，解答本题的关键是知道求代数式的值的方法．
【解答】
解：当n为正整数时，(−1)2n+1+(−1)2n=−1+1=0．
故答案为0．
如图，四个二次函数的图像对应的函数表达式分别为 ①y=ax2; ②y=bx2; ③y=cx2; ④y=dx2.则a、b、c、d的大小关系为 (用“>”连接)．
【答案】a>b>d>c
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征.采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小．令x=1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，利用数形结合思想，比较各对应点纵坐标的大小．
【解答】
解：令x=1，则四条抛物线的点从上到下坐标依次为(1,a)，(1,b)，(1,d)，(1,c)，
由图象可得：a>b>d>c．
故答案为a>b>d>c．
三、解答题
已知关于x、y的二元一次方程组：2x+9y=a ax−y=a+1，求出所有整数a，使得方程组有整数解(即x、y都是整数)，并求出所有的整数解．
【答案】解：2x+9y=a ①ax−y=a+1 ②，
②×9+ ①得2x+9ax=a+9a+9，
解得x=10a+99a+2，
①×a− ②×2得9ay+2y=a2−2a−2，
解得y=a2−2a−29a+2，
原方程组得x=10a+99a+2y=a2−2a−29a+2,
假设x=1时，可求得a=−7，y=−1；
同样设x为其他整数，a、y的值都不能为整数，
∴原方程组的整数解为x=1y=−1．
【解析】本题考查的是二元一次方程的解法．先用a表示的x、y的值，是解题的关键．先解方程组，求出用a表示的x、y的值，再尝试求得整数a，使x、y都是整数．
已知a，b，c，d都不等于零，并且ab=cd.根据分式的基本性质、等式的基本性质及运算法则，探究下列各组中的两个分式之间有什么关系？然后选择其中一组进行具体说明．
(1)ac和bd；
(2)a+bb和c+dd；
(3)a+ba−b和c+dc−d(a≠b,c≠d)．
【答案】解：取a=1，b=2，c=3，d=6，有12=36，
则(1)13=26;
(2)1+22=3+66=32;
(3)1+21−2=3+63−6=−3．
观察发现各组中的两个分式相等．
故推想，当a，b，c，d都不等于0，且ab=cd时，ac=bd，a+bb=c+dd，a+ba−b=c+dc−d．
【解析】
【分析】此题考查了分式的基本性质、等式的基本性质及运算法则．
(1)利用特殊取值法求解；
(2)根据等式性质求解；
(3)利用特殊取值法和分式的基本性质求解．
回答下列问题：
(1)比较2x与x2+1的大小，用等号或不等号
填空：
当x=2时，2x__________x2+1；
当x=1时，2x________x2+1；
当x=−1时，2x____________x2+1．
(2)任选取几个x的值，计算并比较2x与x2+1的大小．
(3)无论x取什么值，2x与x2+1总有这样的大小关系吗?试说明理由．
【答案】解：(1)<;=;<；
(2)当x=3时，2x(3)无论x取何值，2x与x2+1总有这样的大小关系．
理由如下：
∵x²+1−2x=(x−1)2≥0，
∴2x≤x²+1．
【解析】
【分析】
本题考查不等式的性质和完全平方公式的应用．
(1)根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；
(2)根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；
(3)根据完全平方公式，可得答案．
【解答】
解：(1)当x=2时，2x 当x=1时，2x= x2+1；
当x=−1时，2x< x2+1；．
故答案为<;=;<．
(2)见答案．
已知a+1a=5，求a2a4+a2+1的值．
【答案】解：∵a+1a=5，∴a+1a2=25，∴a2+1a2=23，∴a2a4+a2+1=1a2+1a2+1=124
【解析】若先求出a的值再代入求值，显然现在解不出．如果将a2a4+a2+1的分子、分母同时除以a2，再进一步求原式的值就简单很多．
已知x3=y4=z7≠0，求3x+y+zy的值．
【答案】解：设x3=y4=z7=k k≠0，
则x=3k，y=4k，z=7k，
则 3x+y+zy=9k+4k+7k4k=5．
【解析】略
用等号或不等号填空：
(1)比较2x与x2+1的大小：
当x=2时，2x ______x2+1；
当x=1时，2x______ x2+1；
当x=−1时，2x______ x2+1；
(2)任选取几个x的值，计算并比较2x与x2+1的大小；
(3)无论x取什么值，2x与x2+1总有这样的大小关系吗？试说明理由．
【答案】解：(1)<;=;<；
(2)当x=3时，2x(3)无论x取何值，2x与x2+1总有这样的大小关系．
理由如下：∵x²+1−2x=(x−1)2≥0，
∴2x≤x²+1．
【解析】
【分析】
本题考查不等式的性质和完全平方公式的应用．
(1)根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；
(2)根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；
(3)根据完全平方公式，可得答案．
【解答】
解：(1)当x=2时，2x 当x=1时，2x= x2+1；
当x=−1时，2x< x2+1；．
故答案为<;=;<．
(2)见答案．