初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习几何模型正方形的存在性问题

这是一份初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习几何模型正方形的存在性问题，共13页。试卷主要包含了方法突破，典例精析，中考真题对决等内容，欢迎下载使用。

作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：
（1）有一个角为直角的菱形；
（2）有一组邻边相等的矩形；
（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形．
依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．
从未知量的角度来说，正方形可以有4个“未知量”，因其点坐标满足4个等量关系，考虑对角线性质，互相平分（2个）垂直（1个）且相等（1个）．
比如在平面中若已知两个定点，可以在平面中确定另外两个点使得它们构成正方形，而如果要求在某条线上确定点，则可能会出现不存在的情况，即我们所说的未知量小于方程个数，可能无解．
从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为：
（1）2个定点+2个全动点；
（2）1个定点+2个半动点+1个全动点;
甚至可以有：（3）4个半动点．
不管是哪一种类型，要明确的是一点，我们肯定不会列一个四元一次方程组求点坐标！
常用处理方法：
思路1：从判定出发
若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；
若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；
若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．
思路2：构造三垂直全等
若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．
总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑从矩形的判定出发，观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系．
正方形的存在性问题在中考中出现得并不多，正方形多以小题压轴为主．
例：在平面直角坐标系中，A（1,1），B（4,3），在平面中求C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是正方形．
如图，一共6个这样的点C使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．
至于具体求点坐标，以为例，构造△AMB≌△，即可求得坐标．至于像、这两个点的坐标，不难发现，是或的中点，是或的中点．
题无定法，具体问题还需具体分析，如上仅仅是大致思路．
二、典例精析
例一：两动点：构造等腰直角定第3点
如图，抛物线与轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在过A、B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）抛物线：；
（2）已知A（-1，0）、B（3，0），故构造以AB为斜边的等腰直角△APB，如下：
若四边形APBQ是正方形，易得P点坐标为（1，2）或（1，-2），
当P点坐标为（1，2）时，易得抛物线解析式为；
当P点坐标为（1，-2）时，易得抛物线解析式为．
综上所述，抛物线解析式为或．
【小结】看到两个定点，不管题目如何描述第3个点的位置，均可通过构造等腰直角三角形确定第3个点，再求得第4个点．
例二：两定两动：抛物线+抛物线
如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形ABCD放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2）、点B（1，0），抛物线经过点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在点P与点Q（点C、D除外）使四边形ABPQ为正方形？若存在求出点P、Q两点坐标，若不存在说明理由．
【分析】
（1）C（3，1）；
（2）抛物线：；
（3）考虑A、B、P构成等腰直角三角形且∠B为直角，故可作出点P如下：
构造三垂直全等：△AMB≌△BNP，
即可求得P点坐标为（-1，-1），将点P代入抛物线解析式，成立，
即点P在抛物线上．
根据点P构造点Q，通过点的平移易得点Q坐标为（-2，1），
代入抛物线解析式，成立，即点Q也在抛物线上，
故存在，点P坐标为（-1，-1），点Q坐标为（-2，1）．
【小结】本题数据设计得巧妙，由A、B确定的点P恰好在抛物线上，由A、B、P确定的点D恰好也在抛物线上，故存在这样的一组P、Q，当然若适当调整数据，则答案完全可以变成不存在．
三、中考真题对决
1.（2017·雅安）如图，已知抛物线的图象经过点A（1，0），B（-3，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点P在直线BD上，当PE=PC时，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，作PF⊥x轴于F，点M为x轴上一动点，点N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F、N、G、M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标．
【分析】
（1）抛物线：；
（2）求CE的直线解析式或设P点坐标表示PE=PC，
可得P点坐标为．
（3）考虑FN⊥FM，故四边形为MFNG，
若要成为正方形，则GN∥FM，GM⊥x轴，即四边形MFNG为矩形．
设FN长度为m，则NG=FN=m，故G点横坐标为m-2，
代入解析式得：，
故，
解得：，（舍），，（舍）．
则M点坐标为或．
【小结】根据题目描述可知四边形是矩形，考虑四边形的边均与坐标轴平行或垂直，故构造一组邻边相等求得点坐标．
2.（2017·枣庄）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．
【分析】
（1）抛物线：；
（2）考虑MN∥x轴且MN为对角线，故MN与PQ互相垂直平分且相等，
根据垂直可知：PQ⊥x轴；
根据平分可知：；
根据相等可知：设MN与PQ交于H点，则MN=2PH．
设M点坐标为，则N点坐标为，
，，
由MN=2PH，可得，
解得：或．
当或时，，此时Q点坐标为；
当或时，，此时Q点坐标为．
综上所述，Q点坐标为或．
【小结】考虑到本题对角线是与坐标轴平行或垂直，故构造对角线垂直平分且相等，
3.（2018·南充删减）如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与轴交于点A，B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若M、N为抛物线上两个动点，分别过点M、N作直线BC的垂线段，垂足分别为D、E．是否存在点M、N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．
【分析】
（1）抛物线：；
（2）由题意可得：MN∥BC，四边形MNED是矩形，若要变为正方形，可考虑①对角线互相垂直；②有一组邻边相等．
思路1：考虑对角线
连接ME，则△MDN为等腰直角三角形，∠MED=45°，
即ME⊥x轴，
设M点坐标为，
则E点坐标为，
①当M点在E点上方时，可推得N点坐标为，
将点N坐标代入抛物线：，
得：，
化简得：
，
解得：，（舍）
此时ME=2，正方形边长为；
②当M点在E点下方时，同理可解：m=6．
此时ME=18，正方形边长为．
综上，正方形边长为或．
思路2：考虑邻边相等
考虑M、N两点均未知，但MN∥BC，
故可设直线MN解析式为y=-x+b，
联立方程：，
化简为：，
MN=
∵MN=MD，
∴
解得：，
代入得边长为或．
【小结】其实只要能将计算进行下去，在已知矩形的前提下，无论选边还是选对角线，都能解决问题．
4．（2021•抚顺）直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，于点，轴于点．当时，求点的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，直线与相交于点，点在抛物线上，过作轴，交直线于点．是平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．
解：（1）令，则，
，
令，则，
，
抛物线经过点，，
，
，
抛物线解析式为；
（2）设，
轴交于点，
，
，
，
，
，
，
连接，延长交轴于点，
四边形是平行四边形，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
点横坐标为，
，
，
，
解得或（舍，
；
（3）令，则，
解得或，
，
设的解析式为，将、代入，
，
，
，
，
，
联立，
解得，
，
以点，，，为顶点的四边形是正方形，
①如图2，图3，当时，点在上，点在上，
点在抛物线上，
或，
当时，，
，
的中点为，则的中点也为，
；
当时，，
，
，
的中点为，则的中点也为，
；
②如图4，图5，当时，此时轴，
，或，，
当，时，，
；
当，时，，
；
综上所述：当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，点坐标为或或或．