初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习将军饮马模型

这是一份初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习将军饮马模型，共52页。

三角形中的最值（将军饮马模型）问题在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。
【模型描述】
如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？
【模型抽象】
如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？
这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．
【模型解析】
作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB
当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）
【模型展示】
【模型】一、两定一动之点点
在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．
此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．
【精典例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．
【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．
当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．
【模型】二、两定两动之点点
在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。
【模型】三、一定两动之点线
在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。
此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）
题型精讲
题型一：两定一动模型
【例1】如图，点C的坐标为（3，y），当△ABC的周长最短时，求y的值．

【解析】解：解：（1）作A关于x=3的对称点A′，连接A′B交直线x=3与点C．
∵点A与点A′关于x=3对称，∴AC=A′C．∴AC+BC=A′C+BC．
当点B、C、A′在同一条直线上时，A′C+BC有最小值，即△ABC的周长有最小值．
∵点A与点A′关于x=3对称，∴点A′的坐标为（6，3）．
设直线BA′的解析式y=kx+b，将点B和点A′的坐标代入得：k＝，b＝−．
∴y=x-．
将x=3代入函数的解析式，∴y的值为
【例2】如图，正方形ABCD中，AB＝7，M是DC上的一点，且DM＝3，N是AC上的一动点，求|DN－MN|
的最小值与最大值．
【解析】解：当ND=NM时，即N点DM的垂直平分线与AC的交点，|DN-MN|=0，
因为|DN-MN|≤DM，当点N运动到C点时取等号，此时|DN-MN|=DM=3，
所以|DN-MN|的最小值为0，最大值为3
【例3】如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点,,．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点坐标（请在图1中探索）；
（3）在第四象限的抛物线上是否存在点，使四边形是以为对角线且面积为的平行四边形？若存在，请求出点坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索）
【答案】（1），函数的对称轴为：；（2）点；（3）存在，点的坐标为或．
【解析】
解：根据点,的坐标设二次函数表达式为：，
∵抛物线经过点，
则，解得：，
抛物线的表达式为： ，
函数的对称轴为：；
连接交对称轴于点，此时的值为最小，
设BC的解析式为：，
将点的坐标代入一次函数表达式：得：
解得：
直线的表达式为：，
当时，，
故点；
存在，理由：
四边形是以为对角线且面积为的平行四边形，
则 ，
点在第四象限，故：则，
将该坐标代入二次函数表达式得：
，
解得：或，
故点的坐标为或．
题型二：一定两动模型
【例4】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．
【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．
当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．
【例5】如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB
上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）

A．140°B．100°C．50°D．40°
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，
连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，
根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2，
∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故选：B．
【例6】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．
（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；
（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．
【答案】（1）结论：CF=2DG，理由见解析；（2）△PCD的周长的最小值为10+2．
【详解】
（1）结论：CF=2DG．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，
∵DE=AE，
∴AD=CD=2DE，
∵EG⊥DF，
∴∠DHG=90°，
∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，
∴∠CDF=∠DEG，
∴△DEG∽△CDF，
∴==，
∴CF=2DG．
（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，
此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．
由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH==，
∴EH=2DH=2，
∴HM==2，
∴DM=CN=NK==1，
在Rt△DCK中，DK===2，
∴△PCD的周长的最小值为10+2．
【例7】如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；
（3）试求出AM+AN的最小值．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+x+4；D点坐标为（3，5）；（2）M点的坐标为（0，）或（0，）；（3）AM+AN的最小值为．
【详解】
（1）把A（﹣3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣5ax+c得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4；
∵AC=BC，CO⊥AB，
∴OB=OA=3，
∴B（3，0），
∵BD⊥x轴交抛物线于点D，
∴D点的横坐标为3，
当x=3时，y=﹣×9+×3+4=5，
∴D点坐标为（3，5）；
（2）在Rt△OBC中，BC==5，
设M（0，m），则BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，
∵∠MCN=∠OCB，
∴当时，△CMN∽△COB，则∠CMN=∠COB=90°，
即，解得m=，此时M点坐标为（0，）；
当时，△CMN∽△CBO，则∠CNM=∠COB=90°，
即，解得m=，此时M点坐标为（0，）；
综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，）；
（3）连接DN，AD，如图，
∵AC=BC，CO⊥AB，
∴OC平分∠ACB，
∴∠ACO=∠BCO，
∵BD∥OC，
∴∠BCO=∠DBC，
∵DB=BC=AC=5，CM=BN，
∴△ACM≌△DBN，
∴AM=DN，
∴AM+AN=DN+AN，
而DN+AN≥AD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），
∴DN+AN的最小值=，
∴AM+AN的最小值为．
题型三：两定两动模型
【例8】如图，在矩形中， ， ，为的中点，若为边上的两个动点，且，若想使得四边形的周长最小，则的长度应为__________.
【答案】
【详解】
解：如图，在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．
∵E为CD的中点，∴CE=2
∴GH=DF=5，EH=2+4=6，∠H=90°，
∵BC//GH
∴,
∴,
∴，
∴CQ=，
∴BP=CB-PQ-CQ=7-2-．
故答案为．
【例9】如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=______．
【答案】16．
【详解】
作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，连接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB∥PC，∴四边形ABCP是平行四边形，∴PA=BC，CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案为16．
题型四：两定点一定长
【例10】在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA＝6，OC＝4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF＝2.当四边形BDEF的周长最小时，求点E的坐标．

【解析】如图，将点D向右平移2个单位得到D'(2，2)，作D'关于x轴的对称点D"(2，－2)，连接BD"交x轴于点F，将点F向左平移2个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，且四边形BDEF周长最小.
理由：
∵四边形BDEF的周长为BD＋DE＋EF＋BF，BD与EF是定值.
∴BF＋DE最小时，四边形BDEF周长最小，
∵BF＋ED＝BF＋FD'＝BF＋FD"＝BD"
设直线BD"的解析式为y＝kx＋b，把B(6，4)，D"(2，－2)代入，
得6k＋b＝4，2k＋b＝－2，解得k＝ EQ \F(3,2)，b＝－5，∴直线BD"的解析式为y＝ EQ \F(3,2)x－5．
令y＝0，得x＝ EQ \F(10,3)，∴点F坐标为( EQ \F(10,3)，0)．∴点E坐标为( EQ \F(4,3)，0)．
【例11】村庄A和村庄B位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如
何选择，才使A与B之间的距离最短？
A
B
l2
l1
【解答】
设l1和l2为河岸，作BD⊥l2，取BB'等于河宽，连接AB'交l1于C1，作C1C2⊥l2于C2，
则A→C1→C2→B为最短路线，即A与B之间的距离最短.
题型一 将军饮马中两定一动模型与最值问题
【专题说明】
1、如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
在中，，AD是的中线，可得点B和点D关于直线AD对称，连结CE，交AD于点P，此时最小，为EC的长，故选B.
2、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AB＝8，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值_____．
【答案】10
【详解】
解：如图：
连接DE交AC于点P，此时PD＝PB，
PB+PE＝PD+PE＝DE为其最小值，
∵四边形ABCD为正方形，且BE＝2，AB＝8，
∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝8，AE＝AB-BE＝6，
在Rt△ADE中，根据勾股定理，得
DE＝
＝
＝10．
∴PB+PE的最小值为10．
故答案为10．
3、如图，在平面直角坐标系中，矩形的边交轴于点，轴，反比例函数的图象经过点，点的坐标为，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点为轴上一动点，当的值最小时，求出点的坐标．
【答案】（1）；（2）
【详解】
解：（1）∵是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵轴，
∴，
∴，
∵
∴，即
把点 代入的得，
∴反比例函数的解析式为：．
答：反比例函数的解析式为：．
（2）过点作垂足为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
则点关于轴的对称点，直线与轴的交点就是所求点，此时最小，
设直线AB1的关系式为，将 ,，代入得，
解得：，，
∴直线的关系式为，
当时，，
∴点
答：点的坐标为．
4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；
（3）符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣），
【详解】
解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
即y=ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a=2，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y=px+q，
把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y=3x+3；
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），
∵MB=MB′，
∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，
而BD的值不变，
∴此时△BDM的周长最小，
易得直线DB′的解析式为y=x+3，
当x=0时，y=x+3=3，
∴点M的坐标为（0，3）；
（3）存在．
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，
∵直线AC的解析式为y=3x+3，
∴直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，
把C（0，3）代入得b=3，
∴直线PC的解析式为y=﹣x+3，
解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）；
过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，
把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣，
∴直线PC的解析式为y=﹣x﹣，
解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，﹣）.
综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣）.
5、如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点,,．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点坐标（请在图1中探索）；
（3）在第四象限的抛物线上是否存在点，使四边形是以为对角线且面积为的平行四边形？若存在，请求出点坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索）
【答案】（1），函数的对称轴为：；（2）点；（3）存在，点的坐标为或．
【详解】
解：根据点,的坐标设二次函数表达式为：，
∵抛物线经过点，
则，解得：，
抛物线的表达式为： ，
函数的对称轴为：；
连接交对称轴于点，此时的值为最小，
设BC的解析式为：，
将点的坐标代入一次函数表达式：得：
解得：
直线的表达式为：，
当时，，
故点；
存在，理由：
四边形是以为对角线且面积为的平行四边形，
则 ，
点在第四象限，故：则，
将该坐标代入二次函数表达式得：
，
解得：或，
故点的坐标为或．
题型二 将军饮马中一定两动模型与最值问题
【专题说明】
【模型展示】
【模型】三、一定两动之点线
在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。
此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）
【精典例题】
1、如图，在边长为的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为____.
【答案】
【详解】
如图，过C点作BD的平行线，以为对称轴作B点的对称点，连接交直线于点
根据平移和对称可知，当三点共线时取最小值，即，又，
根据勾股定理得，，故答案为
2、点P是定点，在OA、OB上分别取M、N，使得PM+MN最小。
【解法】作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（垂线段最短）
3、点P是定点，在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．
【解法】分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．
3、如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；
（3）试求出AM+AN的最小值．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+x+4；D点坐标为（3，5）；（2）M点的坐标为（0，）或（0，）；（3）AM+AN的最小值为．
【详解】
（1）把A（﹣3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣5ax+c得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4；
∵AC=BC，CO⊥AB，
∴OB=OA=3，
∴B（3，0），
∵BD⊥x轴交抛物线于点D，
∴D点的横坐标为3，
当x=3时，y=﹣×9+×3+4=5，
∴D点坐标为（3，5）；
（2）在Rt△OBC中，BC==5，
设M（0，m），则BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，
∵∠MCN=∠OCB，
∴当时，△CMN∽△COB，则∠CMN=∠COB=90°，
即，解得m=，此时M点坐标为（0，）；
当时，△CMN∽△CBO，则∠CNM=∠COB=90°，
即，解得m=，此时M点坐标为（0，）；
综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，）；
（3）连接DN，AD，如图，
∵AC=BC，CO⊥AB，
∴OC平分∠ACB，
∴∠ACO=∠BCO，
∵BD∥OC，
∴∠BCO=∠DBC，
∵DB=BC=AC=5，CM=BN，
∴△ACM≌△DBN，
∴AM=DN，
∴AM+AN=DN+AN，
而DN+AN≥AD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），
∴DN+AN的最小值=，
∴AM+AN的最小值为．
4、如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．
（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；
（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．
【答案】（1）结论：CF=2DG，理由见解析；（2）△PCD的周长的最小值为10+2．
【详解】
（1）结论：CF=2DG．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，
∵DE=AE，
∴AD=CD=2DE，
∵EG⊥DF，
∴∠DHG=90°，
∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，
∴∠CDF=∠DEG，
∴△DEG∽△CDF，
∴==，
∴CF=2DG．
（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，
此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．
由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH==，
∴EH=2DH=2，
∴HM==2，
∴DM=CN=NK==1，
在Rt△DCK中，DK===2，
∴△PCD的周长的最小值为10+2．
5、如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（ ）
A．B．C．9D．
【答案】A
【详解】
解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P′，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于AC对称，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE=CD=3，∴BE==．故选A．
6、如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______．
【答案】（，）．
【详解】
解：作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM+PN最小，∵OA垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等边三角形，∵点M是ON的中点，∴N′M⊥ON，∵点N（3，0），∴ON=3，∵点M是ON的中点，∴OM=1.5，∴PM=，∴P（，）．故答案为：（，）．
题型三 将军饮马中两定两动模型与最值问题
【专题说明】
【模型展示】
【模型】二、两定两动之点点
在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。
【精典例题】
1、如图所示抛物线过点，点，且
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值；
（3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为3∶5两部分，求点的坐标.
【答案】（1），对称轴为直线；（2）四边形的周长最小值为；（3）
【详解】
（1）∵OB=OC，∴点B（3，0），
则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，
故-3a=3，解得：a=-1，
故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3…①；
对称轴为：直线
（2）ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC=、DE=1是常数，
故CD+AE最小时，周长最小，
取点C关于函数对称点C（2，3），则CD=C′D，
取点A′（-1，1），则A′D=AE，
故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，
四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=+1+A′D+DC′=+1+A′C′=+1+；
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，
直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，
则BE：AE，=3：5或5：3，
则AE=或，
即：点E的坐标为（，0）或（，0），
将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，
解得：k=-6或-2，
故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3…②
联立①②并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）．
2、如图，在矩形中， ， ，为的中点，若为边上的两个动点，且，若想使得四边形的周长最小，则的长度应为__________.
【答案】
【详解】
解：如图，在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．
∵E为CD的中点，∴CE=2
∴GH=DF=5，EH=2+4=6，∠H=90°，
∵BC//GH
∴,
∴,
∴，
∴CQ=，
∴BP=CB-PQ-CQ=7-2-．
故答案为．
3、如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=______．
【答案】16．
【详解】
作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，连接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB∥PC，∴四边形ABCP是平行四边形，∴PA=BC，CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案为16．
4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为
A．3B．4C．D．
【分析】此处E点为折点，可作点C关于AD的对称，对称点C’在AB上且在AB中点，化折线段CE+EF为C’E+EF，当C’、E、F共线时得最小值，C’F为CB的一半，故选C．
5、如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是
A．B．2C．D．4
【分析】此处M点为折点，作点N关于BD的对称点，恰好在AB上，化折线CM+MN为CM+MN’．
因为M、N皆为动点，所以过点C作AB的垂线，可得最小值，选C．
【突破易错·冲刺满分】2021-2022中考数学期末突破易错挑战满分
易错05 二次函数中将军饮马模型问题
【易错1例题】二次函数中将军饮马模型问题
1．（2021·广西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B（点A在B的左侧），与轴交于点C．
（1）若OB=OC=3，求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）在（1）的条件下，设点P在抛物线的对称轴上，求PA+PC的最小值和点P的坐标．
【答案】（1），对称轴为直线；（2）最小值为，点P坐标(2，1)．
【分析】
（1）根据题意得到B、C两点坐标，利用待定系数法及对称轴公式求解即可；
（2）连接BC交对称轴于点P，根据对称性及两点之间线段最短可知此时PA+PC最小，根据勾股定理可求出最小值，再由B、C两点坐标求出解析式，从而求得点P坐标．
【详解】
解：（1）由题意知，B(3，0)，C(0，3)，
将B、C坐标代入可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线；
（2）∵点A，B关于直线对称，
∴连接BC交对称轴于点P，此时PA+PC=PB+PC的值最小，最小值为BC，
在中，OB=OC=3，
∴，
∵B(3，0)，C(0，3)，
∴直线BC的解析式为，
把x=2代入得：y=1，
∴点P(2，1)，
∴PA+PC的最小值为，点P的坐标为(2，1)．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求表达式，轴对称最短，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质及待定系数法求解析式是解题的关键．
【专题训练】
一、解答题
1．（2021·科尔沁左翼中旗教研室九年级期末）如图，抛物线交轴于 A(1，0)，B，交轴于点C，对称轴是直线
（1）求抛物线的解析式
（2）求抛物线顶点坐标
（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使PA＋PC最小，若存在，求出点P的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】（1）；（2）(2，－1)；（3）存在，P(2，1)
【分析】
（1）根据对称轴公式先求解出b，再代入A的坐标求解出c，从而得出解析式；
（2）将（1）中的解析式化为顶点式即可得出结论；
（3）将A对称至B，连接BC，与对称轴的交点即为P，再根据直线BC的解析式与对称轴求解P的坐标即可．
【详解】
（1）根据对称轴公式，可得：，解得：，
即抛物线的解析式为：，
将A(1，0)代入得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）
∴顶点坐标 (2，－1)；
（3）存在．连接BC交直线x＝2于点P，
此时 PA＋PC＝PB＋PC＝BC最小，点P即为所求 ，
由C(0，3)，B(3，0)，
解得直线BC：y＝－x＋3
当x＝2时：y=1，
∴P(2，1)．
【点睛】
本题考查求二次函数的解析式以及化顶点式，最短路径问题，熟练掌握最短路径问题的处理方法是解题关键．
2．（2020·四川凤鸣初中九年级月考）已知，抛物线y=-x²+bx+c经过点A(-1，0)和C(0，3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小?如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．
【答案】（1）；（2）存在，当的值最小时，点的坐标为；（3）点的坐标为、、或
【分析】
（1）由点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标；
（3）设点的坐标为，则，，，分、和三种情况，利用勾股定理可得出关于的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出的值，进而即可得出点的坐标．
【详解】
解：（1）将、代入中，
得：，解得：，
抛物线的解析式为．
（2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示．
当时，有，
解得：，，
点的坐标为．
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线．
设直线的解析式为，
将、代入中，
得：，解得：，
直线的解析式为．
当时，，
当的值最小时，点的坐标为．
（3）设点的坐标为，
则，，．
分三种情况考虑：
①当时，有，即，
解得：，，
点的坐标为或；
②当时，有，即，
解得：，
点的坐标为；
③当时，有，即，
解得：，
点的坐标为．
综上所述：当是直角三角形时，点的坐标为、、或．
【点睛】
本题考查待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点的位置；（3）分、和三种情况，列出关于的方程．
3．（2021·河北石家庄市·九年级期末）如图，抛物线：与抛物线：开口大小相同、方向相反，它们相交于，两点，且分别与轴的正半轴交于点，点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使的值最小？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由；
（3）是直线上方抛物线上的一个动点，连接，，运动到什么位置时，面积最大？并求出最大面积．
【答案】（1）；（2）存在，点；（3）当点时，最大值为
【分析】
（1）根据、图象开口方向相同、方向相反可求得a=﹣1，先求得点B坐标，进而可求得点A坐标，将点A坐标代入即可求解；
（2）作点关于对称轴的对称点，连接交函数的对称轴于点，此时的值最小，进而求解即可；
（3）过点作轴的平行线交于点，设点，则点，则，利用二次函数求最值的方法求解即可．
【详解】
解：（1）令：，则或2，即点，
∵、开口大小相同、方向相反，则，
则点，将点的坐标代入：得：，解得：，
故抛物线的解析式为：；
（2）存在符合条件的点
联立、表达式并解得：或3，
故点，
作点关于对称轴的对称点，
连接交函数的对称轴于点，
此时的值最小为线段的长度，
设直线的表达式为y=kx+t，
将A（4，0）、（1，3）代入得：
，解得：，
∴直线的表达式为y=﹣x+4，
当x=2时，y=﹣2+4=2，
故此时点；
（3）直线的表达式为：，
过点作轴的平行线交于点，
设点，则点，
则，
∵，故，
故当点时，最大值为．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式、三角形的面积公式、坐标与图形、将军饮马模型，熟练掌握二次函数的图象与性质，记住常见模型和解题技巧，会做辅助线将三角形分解成两个三角形求解是解答的关键．
4．（2021·青海九年级期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，其中的坐标为，与轴交于点，并经过点，是它的顶点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）用配方法将二次函数的解析式化为的形式，并写出顶点的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；；（3）存在，
【分析】
（1）用待定系数法求解，把已知三点代入二次函数解析式，解方程组即可．
（2）利用配方法将抛物线方程转化为顶点式，直接写出点M的坐标．
（3）如图中，由A、B关于对称轴对称，连接BC交对称轴于P，连接PA，此时PA+PC的值最小．求出直线BC的解析式，即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵，，三点在抛物线上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵，
∴顶点坐标为．
（3）存在，理由如下：
∵点和点关于抛物线的对称轴对称，
∴连结与对称轴交于点，此时的值最小，
设直线的解析式为，
，
解得，
则直线的解析式为，
当时，，则．
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
5．（2020·盐城市初级中学九年级期中）如图，二次函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标是（2,9），且经过点D（3，8）．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得BM+DM最短？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC、CD、DB，求四边形ABDC的面积．
【答案】（1）；（2）存在，点M的坐标为；（3）30．
【分析】
（1）根据顶点坐标可设抛物线的顶点式，再将点D的坐标代入即可得；
（2）先求出点D关于对称轴对称的点的坐标，从而可得，再根据两点之间线段最短可得当点在一条直线上时，最短，然后利用待定系数法求出直线的函数解析式，最后将点M的横坐标代入即可得；
（3）如图（见解析），先根据抛物线的解析式分别求出点的坐标，再根据即可得．
【详解】
（1）抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，解得，
故抛物线的函数解析式为；
（2）存在，求解过程如下：
二次函数的对称轴为，
当时，，解得或，
则，
点关于对称轴对称的点的坐标为，
由对称性得：，
则，
由两点之间线段最短可知，当点在一条直线上时，最短，
设直线的函数解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的函数解析式为，
点M在对称轴上，
点M的横坐标为2，
将代入得：，
则点M的坐标为；
（3）如图，过点D作，交x轴于点E，
对于二次函数，
当时，，
即，
，
，
则，
，
，
，
故四边形ABDC的面积为30．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的对称性、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．
6．（2021·湖南九年级一模）材料：对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决如下问题：
如图所示，已知抛物线C：的图象与x轴交于O、A两点，且过点，
（1）求抛物线C的解析式和点A的坐标；
（2）若将抛物线C的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线的图象．
①求抛物线的焦点坐标和准线方程．
②设M为抛物线位于第一象限内图象上的任意一点，MN⊥x轴于点N，求MN+MA的最小值，并求出取得这个最小值时点M的坐标．
【答案】（1）；（2）①焦点坐标，准线方程；②最小值，此时
【分析】
（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，令y=0，即可求得点A的坐标；
（2）①把求得的解析式配方后，即可求得平移后的解析式，根据材料中焦点与准线方程的定义，即可求得焦点坐标和准线方程；
②设抛物线的焦点为F，将MN延长交直线于点P，根据阅读材料中的结论可得MF =MN+1，即MN+MA=MF+MA－1，从而把求MN+MA的最小值问题转化为求MF+MA的最小值问题，根据两点间线段最短即知，当A、M、F三点共线时，MF+MA最小，求出此时直线AF的解析式，与抛物线解析式联立，可求得点M的坐标．
【详解】
解：（1）由抛物线C：的图象过点，
故得：
解得： ，
于是抛物线C的解析式为
令
于是点A的坐标为（4，0）
（2）由（1）得抛物线C：，
它经过平移后可得抛物线C′的解析式为．
①根据阅读材料中的结论，，故
所以抛物线的焦点坐标为（0，1），准线方程为
②如图，设抛物线的焦点为F，将MN延长交直线于点P，根据阅读材料中的结论可得MF=MP=MN+NP=MN+1，则MN=MF−1，于是MN+MA=MF+MA－1
要使MN+MA最小只需MF+MA最小即可．根据两点间线段最短可得 （A、M、F三点共线时取“=”）
即MF+MA最小值为AF．
在Rt△FOA中，OF=1，OA=4，由勾股定理可得：
于是MN+MA的最小值为．
设此时直线AF的解析式为，由它过点可得：
，解得：
故直线AF的解析式为：
由，
解得：（舍去）
将代入，
得：
于是MN+MA取得最小值时点M的坐标为
【点睛】
本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数解析式，两点间线段最短，二次函数的性质，解方程组，函数图象的平移等知识，本题给出一段材料，关键读懂材料中的焦点、准线方程的含义，用好材料中提供的结论；求MN+MA的最小值时，根据材料中的结论，转化为求MA+MF的最小值，体现了数学中的转化思想，这是最值问题中常用的方法．
模型
作法
结论
当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小．
连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点．
PA＋PB的最小值为AB
当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小．
作点B关于直线l的对称点B'，
连接AB'交直线l于点P，点P即为所求作的点．
PA＋PB的最小值为AB'
当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最大．
连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点．
的最大值为AB
当两定点A、B在直线l异侧时，在直线
l上找一点P，使得最大．
作点B关于直线I的对称点B'，连接AB'并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点．
的最大值为AB'
当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最小．
连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P，点P即为所求作的点．
的最小值为0
模型
作法
结论
点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得△PCD周长最小．
分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求．
△PCD周长的最小值为P′P″
点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PD＋CD最小．
作点P关于OB的对称点P′，过P′作P′C⊥OA交OB于D，点C、点D即为所求．
PD＋CD的最小值为P′C
模型
作法
结论
点P、Q在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得四边形PQDC周长最小．
分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P′、Q′，连接P′Q′，分别交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求．
PC＋CD＋DQ的最小值为P′Q′，所以四边形PQDC周长的最小值为PQ＋P′Q′
模型
作法
结论
B
A
l
d
如图，在直线l上找M、N两点
(M在左)，使得AM＋MN＋NB最
小，且MN＝d.
B
A
l
M
N
A′
A"
将A向右平移d个单位到A′，作A′
关于l的对称点A"，连接A"B与直线l交于点N，将点N向左平移d个单位即为M，点M，N即为所求.
AM＋MN＋NB的最小值为A"B＋d
A
B
l2
l1
如图，l1∥l2，l1、l2间距离为d，
在l1、l2分别找M、N两点，使
得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB最小．
A
B
l2
l1
A′
N
M
将A向下平移d个单位到A，连接A′B交直线l2于点N，过点N作MN⊥l1，连接AM.点M、N即为所求．
AM＋MN＋NB的最小值为A'B＋d.
这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转化为两点之间线段最短问题。
一定两动型可转化为两点之间线段最短和点到直线的垂线段最短问题，进而求最值。关键是作定点（或动点）关于动折点所在直线的对称点，通过等量代换转化问题。
运用平移变换，把保持平移后的线段与原来线段平行且相等的特性下，把无公共端点的两线段移动到具有公共端点的新位置，从而转化为两点之间线段最短问题求解最值。