数学（安徽专用）-2024年新九年级开学摸底考试卷

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分 测试范围：八下+二次函数与反比例函数）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本大题10小题，每小题4要，共40分）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是
A．B．C．D．
【分析】最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念解答即可．
【解答】解：选项被开方数是小数，可以化成分数，有分母，不符合题意；
选项的被开方数含分母，不符合题意；
选项是最简二次根式，符合题意；
选项的被开方数中有能开的尽方的因数4，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了最简二次根式的概念，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
2．已知函数，当时，，那么这个函数的解析式是
A．B．C．D．
【分析】把时，代入反比例函数解析式进行计算即可得解．
【解答】解：当时，，
，
解得，
这个函数的解析式是．
故选：．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，把已知数据代入进行计算即可得解，比较简单．
3．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是
A．B．且C．D．且
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
△，
即：，
解得：，
关于的一元二次方程中，
则的取值范围是且．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
4．在长为，宽为的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度设道路的宽度为，则可列方程
A．B．
C．D．
【分析】根据余田的面积为468列出方程即可．
【解答】解：设入口的宽度为，由题意得：
．
故选：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
5．化简二次根式得
A．B．C．D．
【分析】先判断出，再由二次根式的性质即可得出结论．
【解答】解：二次根式有意义，
，
故选：．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
6．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为
A．B．C．1D．2
【分析】由勾股定求出，，，得到，，，由，推出是直角三角形，由三角形面积公式得到的面积，代入有关数据，即可求出的长．
【解答】解：由勾股定理得：，，，
，，，
，
是直角三角形，
，
的面积，
，
．
故选：．
【点评】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是由勾股定理的逆定理推出是直角三角形．
7．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为
A．B．
C．D．
【分析】根据二次函数图象开口向上得到，再根据对称轴确定出，根据与轴的交点确定出，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【解答】解：二次函数图象开口方向向上，
，
对称轴为直线，
，
与轴的正半轴相交，
，
的图象经过第一三象限，且与轴的负半轴相交，
反比例函数图象在第一三象限，
只有选项图象符合．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与轴的交点坐标等确定出、、的情况是解题的关键．
8．如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为
A．5B．6C．8D．10
【分析】连接，设交于点．证明四边形是菱形，再利用勾股定理求解．
【解答】解：连接，设交于点．
平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
由作图可知：，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，，
，
故选：．
【点评】本题考查作图基本作图，角平分线的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是证明四边形是菱形．
9．如图，把含的直角三角板绕点顺时针旋转至如图，使在上延长交于，若，则的长为
A．4B．C．D．6
【分析】根据旋转的性质得到，，设，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，可得，由列方程即可得到答案．
【解答】解：把含的直角三角板绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
，
设，则，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
10．如图，已知抛物线、、为常数，且的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个
①；
②；
③；
④若方程两根为，，则．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴的交点坐标、根与系数的关系等知识，逐个判断即可．
【解答】解：抛物线开口向上，
，
对称轴为，、同号，
，
与轴的交点在和之间，
，
，
故①不正确；
对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
与轴交于另一点，
，，
故②不正确；
由题意可得，方程的两个根为，，
又，即，
，
，
因此，
故③正确；
若方程两根为，，则直线与抛物线的交点的横坐标为，，
直线过一、二、三象限，且过点，
直线与抛物线的交点在第一、第三象限，
由图象可知．
故④正确；
综上所述，正确的结论有③④，
故选：．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，根与系数的关系，抛物线与轴的交点，掌握二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．函数的自变量的取值范围是 且 ．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
12．若、是一元二次方程的两个根，则的值是 6 ．
【分析】利用一元二次方程的解，可得出，利用根与系数的关系，可得出，再将其代入中，即可求出结论．
【解答】解：是一元二次方程的根，
，
．
，是一元二次方程的两个根，
，
．
故答案为：6．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，反比例函数的图象经过对角线的中点，分别交边，于，，则的面积为 ．
【分析】根据题意先求出反比例函数解析式，利用解析式得到，，，根据计算即可．
【解答】解：对角线的中点，且点，
，
点在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为：，
当时，；当时，，
，，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数值几何意义是关键．
14．在平行四边形中，，，，点在边上，如图，将平行四边形沿直线折叠，点落在边上．
①的长为 2 ；
②已知是直线上的动点，则的最小值为 ．
【分析】（1）根据折叠和平行四边形的性质求出是等边三角形，即可得到的长；
（2）用转化的思想，得到直线是和点到点的最短距离，再利用勾股定理求出的长，即是答案．
【解答】解：（1）由折叠可得到：，，
，
，
又，
是等边三角形，
，
故答案为：2．
（2）如图，
连接，，作，在四边形中，
由折叠得到：，
四边形是菱形，
则，
的长是和点到点最短的距离，
即是的最小值．
在直角三角形中，
，
，
，
，
在直角三角形中，
，
，
，（舍去），
则的最小值为．
【点评】本题考查了折叠、直角三角形和菱形在平行四边形中的应用，以及两点到直线最短距离的应用，关键用转化的思想找到是两点到直线的最短距离．
三、解答题（本大题共16分，每小题8分）
15．计算：．
【分析】先去绝对值，求立方根，再计算二次根式乘法，最后算加减法．
【解答】解：原式
．
【点评】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握实数运算法则是关键．
16．解方程：．
【分析】利用因式分解法把原方程化为或，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：，
或，
所以，．
【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
四、解答题（本大题共16分，每小题8分）
17．已知关于的方程，
（1）求证：方程恒有两不等实根；
（2）若，是该方程的两个实数根，且，求的值．
【分析】（1）先计算根的判别式的值，再利用非负数的性质判断△，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）根据根与系数的关系得到，，则由，然后解关于的方程即可．
【解答】（1）证明：△，
方程恒有二不等实根；
（2）解：由根与系数的关系得，，
，
，
，
解得．
故的值是．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．也考查了根的判别式．
18．如图，在长方形中，，在上存在一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上，设此点为，若的面积为，求折叠的面积．
【分析】根据三角形的面积求得的长，再根据勾股定理求得的长，即为的长；设，则，．根据勾股定理列方程求得的值，进而求得的面积．
【解答】解：由折叠的对称性，得，．
由，，
得．
在中，由勾股定理，得
．
所以．
设，则，，，
在中，，
即．
解得．
故．
【点评】此题主要是能够根据轴对称的性质得到相等的线段，能够熟练根据勾股定理列方程求得未知的线段．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．观察下列各式，，
按照上述三个等式及其变化过程，
①猜想 ， ；
②试猜想第个等式为 ；
③证明②式成立．
【分析】①注意观察左边的被开方数是一个整数分数，其分数的分子是1，分母比其整数大2．右边的结果根号外的比左边的整数大1，根号内的是左边的分数．
②观察给出的例子得出规律：．
③根据完全平方公式和二次根式的性质即可证明．
【解答】解：①猜想，；
②根据规律，可以表示为：，
③验证如下：
左边右边，等式成立；
【点评】本题考查了完全平方公式和二次根式的性质．解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的规律．本题的规律为：从1开始，一个数加上的倒数再开方等于乘以的倒数再开方．
20．2023年12月18日凌晨，甘肃省积石山发生6.2级地震，牵动全国人民的心习近平总书记第一时间作出重要指示，要求全力开展搜救，尽最大努力保障人民群众生命财产安全，为了进一步宣传防震减灾科普知识，增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织全校学生进行“防震减灾知识测试”，现随机抽取名学生的测试成绩（单位：分）进行整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．
请根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1） 40 ，本次抽取的学生测试成绩的中位数是 分，并补全条形统计图；
（2）求本次抽取的学生测试成绩的平均数；
（3）若参加本次知识测试的共有600名学生，请你估计测试成绩不低于95分的学生有多少名？
【分析】（1）用“95分”的人数除以它的占比可得的值；根据中位数的定义可得答案；用的值分别减去其它分数的人数可得85分的人数，再补全统计图即可；
（2）根据加权平均数公式计算即可；
（3）用总人数乘样本中成绩不低于95分的学生的占比即可．
【解答】解：（1）由题意得，，
把本次抽取的学生测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为90分、90分，故中位数是（分，
85分的人数为：，补全条形统计图如下：
故答案为：40，90；
（2）（分，
答：本次抽取的学生测试成绩的平均数为91.25分；
（3）（名，
答：估计测试成绩不低于95分的学生大约有270名．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数以及用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
六、（本题满分12分）
21．如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接，，求的面积；
（3）如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）求得点的坐标，然后根据求得即可；
（3）过点作轴的平行线，作于，于，设，，通过证得，得到，，代入，即可求得的值，从而求得点的坐标．
【解答】解：（1）点，点在反比例函数上，
，
，，
反比例函数为，点，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数为：；
（2）令，则，
，
；
（3）如图2，过点作轴的平行线，作于，于，
设，，
，
，，
把线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，恰好也落在这个反比例函数的图象上，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
恰好也落在这个反比例函数的图象上，
，
解得或（舍去），
．
【点评】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，反比例函数图象上点的坐标特征，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．
（本题满分12分）
22．如图，已知、、三点的坐标分别为、、，抛物线的图象经过、两点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）过点作线段的平行线，交抛物线于点，连接，试判断四边形的形状；
（3）点为线段上一动点，过点作轴的平行线，交该抛物线于点，当线段的长最大时，求点的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求函数的解析式；
（2）利用待定系数法求出的解析式，再求出直线的解析式，联立可知点的坐标，即可得出结论；
（3）设，则，则，根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）将点，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）四边形是菱形，理由如下：
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
联立解得或5，
，
，
，
四边形是平行四边形，
、、三点的坐标分别为、、，
，
四边形是菱形；
（3）设，则，
，
当时，线段的长最大时，
点的坐标为，．
【点评】本题是二次函数综合题，考查待定系数法，平行四边形的判定，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的判定及性质是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23．在菱形中，．
（1）如图1，点为线段的中点，连接，，若，求线段的长；
（2）如图2，为线段上一点不与，重合），以为边，构造如图所示等边三角形，线段与交于点，连接，，为线段的中点，连接，，求证：．
【分析】（1）如图1，连接对角线，先证明是等边三角形，根据是的中点，由等腰三角形三线合一得：，利用勾股定理依次求和的长；
（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，先证明是等边三角形，再由是等边三角形，得条件证明，则，根据是的中位线，得，由等量代换可得结论．
【解答】解：（1）如图1，连接，则平分，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
是的中点，
，
由勾股定理得：，
，
，
在中，，
；
（2）如图2，延长至，使，连接、，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
．
【点评】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线、三角形全等的性质和判定、等边三角形的性质和判定，本题证明是关键，并与三角形中位线相结合，解决问题；第二问有难度，注意辅助线的构建．