安徽省皖中名校联盟合肥市第八中学2023-2024学年高一下期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份安徽省皖中名校联盟合肥市第八中学2023-2024学年高一下期末考试数学试卷（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．
请将答案正确填写在答题卡上．
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案涂在答题卡上）
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知为一条直线，为两个不重合的平面，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译密码的概率为，乙能破译密码的概率为，则这份密码被成功破译的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 在平行四边形中，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 正四棱台的上、下底面的边长分别为，且侧棱与底面所成角是60°，则这个棱台的体积是（ ）
A. B. C. D.
6. 在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知定义在上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，，过点作，垂足为点，将沿直线翻折，使点与点间的距离为3，此时四面体的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把正确答案涂在答题卡上）
9. 合肥市某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试（满分10分），其中男生540人，女生360人．现在按性别进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本．样本中有8位女生的测试成绩，分别是6，7，7，7，8，9，10，10，样本中男生测试成绩的平均数为7.5，则（ ）
A. 样本中有12位男生的测试成绩
B. 样本中女生测试成绩的第75百分位数是9
C. 样本中女生测试成绩的标准差为
D. 样本中所有学生测试成绩的平均数为7.75
10. 已知正四棱锥底面边长为，二面角为，平面与平面的交线为，且正四棱锥的五个顶点都在球的球面上，则（ ）
A. 四棱锥的体积为36
B. 直线与平面所成角的正切值为
C. 直线∥平面
D. 球的体积为
11. 已知函数，其中，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
B. 若，曲线与曲线在区间上的交点个数为6
C. 若在上有且仅有5个零点，则的取值范围是
D. 若在上有且仅有5个零点，则在单调递增
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分．把答案填在答题卡的相应位置．）
12 已知，则_______．
13 已知平面向量满足，则_______．
14. 2023年11月，国家自然资源部公布了四川省9座名山的高度数据，其中最高的是贡嘎山，它的高度数据为7508.9米，三角高程测量法是测量山体高度的方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，三点在同一水平面上的投影，满足，．由点测得点的仰角为，由点测得A点的仰角为，则的高度为_______．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 合肥八中STEAM项目生物实验基地里种植了一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对生物基地里部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示：
（1）求值，并通过上述频率分布直方图估计该种观赏花卉的平均高度；
（2）若从高度在和的花卉中按分层随机抽样抽取6株花卉，再在这6株花卉中随机抽取2株，求抽取的2株花卉的高度在和内各一株的概率．
16. 已知函数，若锐角的内角所对的边分别为，且．
（1）求角；
（2）求的取值范围：
17. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，点是的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．"意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且．
（1）求角A；
（2）设点为的费马点，，求实数的最小值．
19. 如图，在矩形中，是线段上的一动点，将沿着折起，使点A到达点的位置，满足点平面，且点在平面内的射影落在线段上．

（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积的最大值；
（3）设二面角的平面角为，为虚数单位，为复数，当三棱锥的体积取得最大值时，求的大小
合肥八中2023-2024学年第二学期高一年级期末检测
数学试题卷
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．
请将答案正确填写在答题卡上．
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案涂在答题卡上）
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由复数乘法可得，再结合除法运算分析求解.
【详解】因为，由可得，
所以.
故选：A.
2. 已知为一条直线，为两个不重合的平面，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据线面、面面之间的基本关系，结合充分条件和必要条件的定义即可下结论.
【详解】若，则或与相交；
若，则α内必存在一条直线m平行于l，则，则，
所以当，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译密码的概率为，乙能破译密码的概率为，则这份密码被成功破译的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对立事件结合独立事件概率乘法公式运算求解.
【详解】记甲、乙能破译密码分别为事件，
由题意可知：，可得，
所以这份密码被成功破译的概率为.
故选：B.
4. 在平行四边形中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量加减法法则结合图形可得答案.
【详解】由图可得：，又，.
则，即.
故选：C
5. 正四棱台的上、下底面的边长分别为，且侧棱与底面所成角是60°，则这个棱台的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，过A点作平面垂线，垂足为E，则台体高为AE，后由侧棱与底面所成角是60°结合题目数据可得台体高，后由台体体积计算公式可得答案.
【详解】如图，连接，设交于O，交于.
过A点作平面垂线，垂足为E，则台体高为AE.因正四棱台的上、下底面的边长
分别为，则，，
得.因侧棱与底面所成角是60°，则.
则.又上表面积为4，下表面积为16.
则台体体积为：.
故选：B
6. 在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】做辅助线，分析可知异面直线与所成角为（或其补角），结合余弦定理分析求解.
【详解】取的中点，连接，
设正方体的棱长为2，则，
因为分别为的中点，则∥，且，
可知异面直线与所成角为（或其补角），
在中，由余弦定理可得，
所以面直线与所成角的余弦值为.
故选：A.
7. 已知定义在上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数为的偶函数，得出该函数在上为减函数，结合性质得出，，，比较的大小关系，结合函数的单调性可得出、、的大小关系．
【详解】由函数为的偶函数，且在上是增函数，
则该函数在上为减函数，且有，
则，，，
因为，，，
即，由于函数在上为减函数，
所以，可得
故选：C．
8. 在中，，过点作，垂足为点，将沿直线翻折，使点与点间的距离为3，此时四面体的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图，根据余弦定理求出BC，根据正弦定理求出的外接圆半径，结合球的性质和勾股定理求出球的半径，利用球的表面积公式计算即可.
【详解】如图，
将沿直线翻折，得到满足题意的几何体为三棱锥，
因为,过点作，则
在中，，，
由余弦定理，得，所以，
设的外接圆圆心为D，半径为r，则，
由正弦定理，得，解得，即，
易知平面，又AM是球O的弦，，，
所以，
得球的半径为，
所以球的表面积为.
故选：D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把正确答案涂在答题卡上）
9. 合肥市某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试（满分10分），其中男生540人，女生360人．现在按性别进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本．样本中有8位女生的测试成绩，分别是6，7，7，7，8，9，10，10，样本中男生测试成绩的平均数为7.5，则（ ）
A. 样本中有12位男生的测试成绩
B. 样本中女生测试成绩的第75百分位数是9
C. 样本中女生测试成绩的标准差为
D. 样本中所有学生测试成绩的平均数为7.75
【答案】AC
【解析】
【分析】根据分层抽样定义、百分位数的概念、标准差和平均数的定义依次计算即可.
【详解】A：设样本中有位男生的测试成绩，则，解得，故A正确；
B：，所以样本中女生测试成绩的第75百分位数为，故B错误；
C：女生的平均数为，
所以样本中女生测试成绩的标准差为
，故C正确；
D：由选项A和C知，样本中所有学生测试成绩的平均数为，故D错误.
故选：AC
10. 已知正四棱锥的底面边长为，二面角为，平面与平面的交线为，且正四棱锥的五个顶点都在球的球面上，则（ ）
A. 四棱锥的体积为36
B. 直线与平面所成角的正切值为
C. 直线∥平面
D. 球的体积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】做辅助线，根据二面角分析可知，，.对于A：根据锥体的体积公式分析求解；对于B：分析可知直线与平面所成角为，即可得结果；对于C：根据线面平行的判定定理和性质定理分析证明；对于D：根据正四棱锥的结构特征求球的半径，进而可得体积.
【详解】设，连接，
因为为正四棱锥，可知平面.
取的中点，连接，
因为，则，
则二面角的平面角为，
可得，，.
对于选项A：四棱锥的体积为，故A错误；
对于选项B：由平面可知：直线与平面所成角为，
所以直线与平面所成角的正切值为，故B正确；
对于选项C：因为∥，平面，平面，
可知∥平面，
又因为平面平面，平面，所以∥，
且平面，平面，所以∥平面，故C正确；
对于选项D：设正四棱锥的外接球的半径为，
因为点为正方形的中心，且平面，
可知，则，即，解得，
所以球的体积为，故D正确；
故选：BCD.
11. 已知函数，其中，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
B. 若，曲线与曲线在区间上的交点个数为6
C. 若在上有且仅有5个零点，则的取值范围是
D. 若在上有且仅有5个零点，则在单调递增
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，由三角函数图象变换规律分析判断，对于B，作出两函数在上的图象，观察图象判断，对于C，由求出，再结合函数有5个零点，列不等式组可求出的取值范围进行判断，对于D，由求出的范围，再结合选项C中的取值范围分析判断即可.
【详解】对于A，当时，，
将的图象向左平移个单位长度，得，
即得到的图象，所以A正确，
对于B，当时，，周期，在上是3个周期，
先作出在上的图象，然后向右平移两次，每次平移一个周期可得在上的图象，
再在同一坐标系中作出在的图象，
由图可知曲线与曲线在区间上的交点个数为6，所以B正确，
对于C，当时，，
若在上有且仅有5个零点，则，
解得，所以C错误，
对于D，当时，，
由选项C可知，则，
所以，
所以，
所以在单调递增，所以D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：此题考查正弦函数的图象与性质，考查三角函数图象变换规律，考查函数的零点，解题的关键是正确运用正弦函数的图象与性质，考查数形结合的思想，属于较难题.
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分．把答案填在答题卡的相应位置．）
12. 已知，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的乘方运算可得，结合复数的几何意义即可求解.
【详解】，
所以.
故答案为：
13. 已知平面向量满足，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】由向量数量积坐标计算公式与模长计算公式结合题意可得答案.
【详解】由，则.
又，则，结合，.
则.
故答案为：.
14. 2023年11月，国家自然资源部公布了四川省9座名山的高度数据，其中最高的是贡嘎山，它的高度数据为7508.9米，三角高程测量法是测量山体高度的方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，三点在同一水平面上的投影，满足，．由点测得点的仰角为，由点测得A点的仰角为，则的高度为_______．
【答案】
【解析】
【分析】在中，利用正弦定理求，，再根据直角三角形结合相应角度运算求解.
【详解】因，
，
分别过做，垂足分别为，
在中，则，
由正弦定理，
可得，，
在，，
则，
在中，，
则，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：1.对于特殊角三角函数值常借助于三角恒等变换求解；
2.高度测量问题，要注意利用相应的角度和高度，通过做辅助线转化运算.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 合肥八中STEAM项目生物实验基地里种植了一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对生物基地里部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示：
（1）求的值，并通过上述频率分布直方图估计该种观赏花卉的平均高度；
（2）若从高度在和的花卉中按分层随机抽样抽取6株花卉，再在这6株花卉中随机抽取2株，求抽取的2株花卉的高度在和内各一株的概率．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由图中矩形所表示频率之和为1可得，后由频率分布直方图均值计算公式可得答案；
（2）由题结合分层抽样性质可得6株花卉中，两株，设为；四株，设为，后由列举法可得答案.
【小问1详解】
因图中矩形所表示频率之和为1，
则；
平均高度为：；
【小问2详解】
由（1）可得对应频率为0.15，对应频率为0.3.
则由分层抽样性质知6株花卉中，高度在的花卉抽两株，设为；
高度在的花卉抽四株，设为.
则抽取的总情况为：，共15种.
则2株花卉的高度在和内各一株的情况有：
共8种，
则事件抽取的2株花卉的高度在和内各一株的概率.
16. 已知函数，若锐角的内角所对的边分别为，且．
（1）求角；
（2）求的取值范围：
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数得，再根据即可求解；
（2）由（1）知，，可得，由为锐角三角形，可求出角的范围，由正弦定理，可得，再利用两角差的余弦公式、同角三角函数的商数关系可得，最后结合角的范围即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以,
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以，
因为角，为锐角，
所以，
解得，
由正弦定理，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以的取值范围为.
17. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，点是的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）连接交于点，连接，证明，即可得证线面平行；
（2）用等体积法求点面距，进而可得线面夹角．
【小问1详解】
连接交于点，连接，
因为底面为正方形，则为的中点，
且点是的中点，可得，
又因为平面，平面，所以平面.
【小问2详解】
因为平面，平面，则，
又因为为正方形，则，
且，，平面，所以平面，
由平面，所以
因为点是的中点，，，则，
可得，，，
则，可知，
所以，
设点到平面的距离为，
由，可得，
即，解得，
即点到平面的距离为．
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．"意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且．
（1）求角A；
（2）设点为的费马点，，求实数的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案；
（2）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案.
小问1详解】
因为，则，
由正弦定理可得，可得.
【小问2详解】
点为的费马点，则，
设，
则由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去），
故实数的最小值为.
【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解.
19. 如图，在矩形中，是线段上的一动点，将沿着折起，使点A到达点的位置，满足点平面，且点在平面内的射影落在线段上．

（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积的最大值；
（3）设二面角的平面角为，为虚数单位，为复数，当三棱锥的体积取得最大值时，求的大小
【答案】（1）证明见详解
（2）
（3）1
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，，结合线面垂直的判定定理分析证明；
（2）作，根据题意可得平面，设，可得，进而可得最值；
（3）分析可知，结合复数的三角表示运算求解.
【小问1详解】
因为平面，平面，则，
且，，，平面，
所以平面.
【小问2详解】
在矩形中作，垂足为点，折起后得，

由平面，平面，可得，
且，平面，，可得平面，
由平面，可得，可知A，，三点共线，
则与相似，可得，
设，则，，，
可得，，
要使点射影落在线段上，则，可知，
所以，
可知当时，三棱锥的体积取到最大值.
【小问3详解】
因为，，可知是二面角的平面角，
则，，
当三棱锥的体积取得最大值时，，此时，即，
即，
设，，
则
，
所以．
【点睛】关键点点睛：第三问，根据复数三角表示可知，进而可得结果.