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热点2-2 函数的最值(值域)及应用(8题型+满分技巧+限时检测)-2025年高考数学热点重点难点专题练习(新高考专用)
展开函数的值域是函数概念中三要素之一,是高考中的必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终。在高考试卷中的形式千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求,考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法,其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
【题型1 单调性法求函数的最值(值域)】
【例1】(2023·宁夏固原·高三校考阶段练习)函数的值域是( )
A. B. C. D.
【变式1-1】(2023·广东中山·高三校考阶段练习)函数,的值域为
【变式1-2】(2023·广东深圳·高三珠海市第一中学校联考阶段练习)已知函数,则的最大值为( )
A. B. C. D.
【变式1-3】(2023·河南焦作·高三博爱县第一中学校考阶段练习)已知函数,,则的最大值为( )
A. B. C. D.1
【变式1-4】(2023·海南海口·海南华侨中学校考二模)已知函数是上的单调函数,且,则在上的值域为( )
A. B. C. D.
【题型2 图象法求函数的最值(值域)】
【例2】(2023·全国·模拟预测)已知函数.
(1)画出的图像,并直接写出的值域;
(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围.
【变式2-1】(2023·河南新乡·高三校考阶段练习)对,用表示,中的较大者,记为,若函数,则的最小值为 .
【变式2-2】(2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)定义在上的函数满足,且当时,,当时,的值域为( )
A. B. C. D.
【变式2-3】(2023·北京·高三北京四中校考期中)已知,若实数,则在区间上的最大值的取值范围是( )
A. B. C. D.
【题型3 换元法求函数的最值(值域)】
【例3】(2023·广东河源·高三校联考开学考试)函数的最大值为 .
【变式3-1】(2023·山西吕梁·高三统考阶段练习)函数的最大值为( )
A.4 B.2 C. D.
【变式3-2】(2023·全国·高三专题练习)求函数的值域.
【变式3-3】(2023·全国·高三专题练习)求函数的值域.
【题型4 分离常数法求函数的最值(值域)】
【例4】(2023·全国·高三专题练习)函数的值域( )
A. B.
C. D.
【变式4-1】(2023·全国·高三专题练习)求函数的值域.
【变式4-2】(2023·江苏镇江·高三吕叔湘中学校考阶段练习)若,则函数的值域是 .
【变式4-3】(2023·全国·高三对口高考)函数的值域是( )
A. B. C. D.
【题型5 判别式法求函数的最值(值域)】
【例5】(2023·河南平顶山·高三阶段练习)若函数的最大值为,最小值为,则( )
A.4 B.6 C.7 D.8
【变式5-1】(2022·陕西·高三校联考阶段练习)函数的值域是 .
【变式5-2】(2022·全国·高三专题练习)求函数的值域.
【变式5-3】(2023·广东茂名·统考二模)已知实数a,b满足,则的最小值是 .
【题型6 几何法求函数的最值(值域)】
【例6】(2023·河北·校联考三模)函数的值域是 .
【变式6-1】(2023·全国·高三专题练习)函数的值域为
【变式6-2】(2023·全国·高三专题练习)函数的值域为 .
【变式6-3】(2023·陕西铜川·校考一模)若,则函数的值域是 .
【题型7 导数法求函数的最值(值域)】
【例7】(2023·全国·模拟预测)已知函数,则的最小值为 .
【变式7-1】(2023·上海虹口·高三校考期中)函数在区间上的最大值是 .
【变式7-2】(2023·河南·高三校联考阶段练习)函数的最小值为 .
【变式7-3】(2023·广西玉林·校联考模拟预测)已知正实数x,y满足,则的最大值为( )
A. B.0 C.1 D.2
【题型8 已知函数的最值(值域)求参数】
【例8】(2023·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习)已知函数,若的值域为,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【变式8-1】(2023·上海青浦·统考一模)已知函数的值域为,则实数的取值范围为 .
【变式8-2】(2023·湖北武汉·统考一模)已知函数若的值域为,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【变式8-3】(2022·河北衡水·高三校联考阶段练习)已知的最小值为2,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
(建议用时:80分钟)
1.(2023·河北·校联考模拟预测)已知,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.(2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测)已知函数,若的最小值为,则( )
A. B. C. D.
3.(2023·全国·高三专题练习)已知,则的最大值是( )
A.1 B. C. D.
4.(2023·全国·高三专题练习)函数y=3-4的最小值为( )
A.-8 B.8 C.-10 D.10
5.(2023·全国·高三专题练习)若函数有最小值,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.(2023·安徽·高三校联考阶段练习)(多选)设函数,若表示不超过的最大整数,则的函数值可能是( )
A.0 B. C.1 D.2
8.(2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测)(多选)已知函数f(x)的定义域为A,若对任意,都存在正数M使得总成立,则称函数是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是( )
A. B.
C. D.
8.(2023·全国·高三专题练习)函数的值域为
9.(2023·全国·高三专题练习)函数在上的最大值为 .
10.(2023·全国·高三专题练习)求函数的值域为 .
11.(2023下·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)函数的最大值为 .
12.(2023·河北·高三校联考阶段练习)函数的最小值为 .
13.(2023·全国·高三专题练习)函数的值域是 .
14.(2021·全国·模拟预测)函数的值域为 .
15.(2023·陕西咸阳·高三统考期中)若对任意实数a,b规定,则函数的最大值为 .
18.(2023·全国·高三专题练习)已知,,,则的最小值为 .
18.(2023·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习)已知函数是定义域为的偶函数.
(1)求a的值;
(2)若,求函数的最小值.
18.(2023·海南·高三校联考阶段练习)已知函数(且,为常数)的图象经过点,.
(1)求的值;
(2)设函数,求在上的值域.满分技巧
函数单调性法:确定函数在定义域上的单调性,根据函数单调性求出函数值域(或最值)
(1)基本初等函数如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数可直接判断函数的单调性,从而求得值域;
(2)可根据单调性的运算性质判断函数的单调性。
(3)对于复合函数,可根据“同增异减”判断函数的单调性。
满分技巧
画出函数的图象,根据图象确定函数的最大值与最小值,常见于含绝对值的函数。
满分技巧
换元法:利用换元法将函数转化为易求值域的函数,常用的换元有
(1)或的结构,可用“”换元;
(2)(均为常数,),可用“”换元;
(3)型的函数,可用“”或“”换元;
满分技巧
分离常数法:
(1)形如的函数,可分离为,然后求值域;
(2)形如,将分子配成分母的一元二次,分子分母同时除以分母,分离为;
(3)形如,将分母配成分子的一元二次,分子分母同时除以分母,分离为
满分技巧
形如或的函数求值域,可将函数转化为关于的方程,利用二次项系数不为0,判别式或二次项系数为0,一次方程有解得出函数的值域。
满分技巧
分析代数式的结构,一般情况表示的斜率、截距、距离等几何意义。
满分技巧
对可导函数求导,令,求出极值点,判断函数单调性;
如果定义域是闭区间,则函数最值一定取在极值点处或区间端点处;
如果定义域是开区间且函数存在最值,则函数最值一定取在极值点处。
满分技巧
已知函数的最值求参数范围时,要视参数为已知数,结合函数值域(或最值)的求法,得到函数的最值(含有参数),再与给出的函数最值作比较,求出参数范围。
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