重难点2-1 指对幂比较大小（8题型+满分技巧+限时检测）-2025年高考数学热点重点难点专题练习（新高考专用）

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函数“比大小”是非常经典的题型，难度不定，方法无常，很受命题者的青睐。每年高考基本都会出现，难度逐年上升。高考命题中，常常在选择题中出现，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。这类问题的解法可以从代数和几何方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。
【题型1 直接利用单调性比较大小】
【例1】（2023·内蒙古鄂尔多斯·高三期末）已知则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于是上的减函数，则，所以，
由于是上的增函数，则，所以，
由于是上的增函数，则，所以，
所以，故选：A.
【变式1-1】（2024·广东湛江·高三统考期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，，所以.故选：A
【变式1-2】（2024·天津·高三统考期末）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，易知函数在R上是增函数，
又，所以，
又易知在上是减函数，所以，
综上，，故选：B.
【变式1-3】（2024·四川攀枝花·统考二模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易知在上单调递增，则，即，
而由单调递增，得，即，
又单调递增，故则，故选：A
【题型2 作差作商法比较大小】
【例2】（2023·四川成都·校联考一模）若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，
令，
而，即，所以，
又因为，所以.故选：D
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数在R上单调递增，所以．
又，所以．
因为，故在上单调递减，
所以，所以，
所以实数的大小关系为，故选：B．
【变式2-2】（2023·山东青岛·高三莱西市第一中学校联考期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
因为当时，，所以，则，
，
因为，所以，即，，
综上，，故选：B.
【变式2-3】（2022·全国·高三统考阶段练习）已知，则正数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，由，得
，
因此，即；
由，得，于是，
所以正数的大小关系为，故选:A.
【题型3 中间值/估值法比较大小】
【例3】（2024·天津红桥·高三统考期末）设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，，，，
所以，故选：C
【变式3-1】（2023·河北石家庄·高三校联考期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，故．故选：D.
【变式3-2】（2023·山西吕梁·高三校联考阶段练习）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为，所以，
又因为，所以，所以．故选：B
【变式3-3】（2024·广东肇庆·统考模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】幂函数在上单调递增，故，
又，所以，故选：A.
【题型4 含变量式子比较大小】
【例4】（2023·安徽淮南·高三校考阶段练习）设，，，其中，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，，
因为，所以，所以，，，
虽然是单调递增函数，但是，无法比较大小，
所以a，b的大小无法确定，排除AB，
，（因为，所以取不到等号），故D正确．故选：D．
【变式4-1】（2023·河南·模拟预测）（多选）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】对于A，由，得，又单调递增，
所以，故A正确；
对于B，由于在上不单调，
所以与的大小关系无法确定，故B错误；
对于C，由，得，
又单调递增，所以，故C正确；
对于D，由，得，
又单调递增，所以，故D错误．故选：AC．
【变式4-2】（2023·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）（多选）已知，，则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】A选项，因为，所以，
令，，
则，
因为，所以恒成立，
故在上单调递减，故，
则，故A错误；
B选项，由A选项可知，
，故B正确；
CD选项，由AB选项可知，，C正确，D错误.故选：BC
【变式4-3】（2023·江苏镇江·高三统考期中）已知，，，.则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，∴，，
令，，，
∴在单调递减，所以，∴，∴.
，
令，，
，在单调递减，，∴，
∴，∴，故选：A.
【题型5 构造函数比较大小】
【例5】（2023·陕西·高三校联考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，所以，则，
因为，，
令，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，则，所以，则．故选：A.
【变式5-1】（2023·福建泉州·高三福建省德化第一中学校联考阶段练习）设，，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，
因为在R上单调递增，故在R上单调递减，
所以，即，A错误，
因为在R上单调递减，故，B正确；
由于，即，故，C错误；
，当且仅当时取等号，但，故，D错误，故选：B
【变式5-2】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，令函数，求导得，
则函数在上单调递减，，因此，
由，得，有，令函数，
求导得，当且仅当时取等号，即函数在单调递增，
，即，因此，所以.故选：A
【变式5-3】（2023·全国·高三课时练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，
令，，则，
令，，则，
令，，则在上恒成立，
故在上单调递增，
又，故在上恒成立，
将中换为可得，，
即，故在上恒成立，
所以在上单调递增，
由复合函数单调性可知在上单调递增，
故，即，故选：D
【题型6 数形结合比较大小】
【例6】（2024·全国·模拟预测）已知，则实数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，其在R上单调递减，
又，
由零点存在性定理得，则在上单调递减，
画出与的函数图象，
可以得到，
又在R上单调递减，画出与的函数图象，
可以看出，
因为，故，故，
因为，故，
由得，．
综上，．故选：D．
【变式6-1】（2023·福建·高三校联考阶段练习）已知正实数，，满足，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，可知在单调递增，
由，得所以，
由题，，，
令则，所以有，
在平面直角坐标系中分别作出，，，，
由图像可得，则A错误；
对于B，则，即，
由图像可知，所以，B错误；
对于C，，即，因为，
所以，则，故C正确；
对于D，因为，
即且，所以，D错误；故选：C
【变式6-2】（2023·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知函数，，的零点分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，即，解得，则，
令，即，令，即，
根据指数函数与对数函数的图象关于对称，
所以它们分别与交点的横坐标互为相反数，且，
所以，故A错误，，所以B错误；
所以，故C错误，
因为，所以，故D正确，故选：D.
【变式6-3】（2022·内蒙古呼和浩特·统考二模）若，，，则x、y、z由小到大的顺序是 .
【答案】
【解析】依题意，，，，，
因此，成立的x值是函数与的图象交点的横坐标，
成立的y值是函数与的图象交点的横坐标，
成立的z值是函数与的图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，
观察图象得：，即，所以x、y、z由小到大的顺序是.
【题型7 放缩法比较大小】
【例7】（2024·全国·模拟预测）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】显然，且，
令，则对任意恒成立，
则在内单调递增，可得，即；
所以，且，可知；
令，则对任意恒成立，
则在内单调递增，可得，即；
所以，可知；
又因为，所以，故选：C．
【变式7-1】（2023·云南大理高三模拟）若，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，，
，，，
，，
，故选：．
【变式7-2】设，则的大小关系为___________．（从小到大顺序排）
【答案】
【解析】，
由函数切线放缩得，因此．
【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）在必修第一册教材“8.2.1几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当或时，；当时，，请比较，，的大小关系
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，，所以，
对于，令，则故
当或时，，所以，即
所以，
将两边同时取底数为4的指数得
因为，所以，故选：B.
【题型8 泰勒展开式比较大小】
【例8】（2023·江苏连云港·高三海州高级中学校考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】法一、根据题意，构造函数，
则.
由泰勒展开式，，，
所以
，
而，
所以，即；
法二、因为，
所以.
令，则，所以函数在上单调递增，
所以当时，，即有成立，
所以，得，所以；
因为，所以令，
则，
所以函数在定义域内单调递增，
所以当时，，即有成立，
所以，即，所以，又，所以.
综上，，故选：D
【变式8-1】已知，则（ ）
【答案】A
【解析】设，则，，
，计算得，故选A．
【变式8-2】（2023·广东广州·高三华南师大附中校考），，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，，
因为，所以，
由泰勒展开得，
，
所以，
故，综上所述a，b，c的大小关系是.故选：C
【变式8-3】（2023·云南昆明·高三校考阶段练习）设，，，这三个数的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
∵，而在上单调递增，∴
且时，，以下是证明过程：
令，，
，令，
故，令，
故，令，
则，令，
故，令，
故在上恒成立，
故在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
∴，
∴，∴，故选：C．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·陕西西安·高三校联考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，
因此可得，故，故选：D
2．（2023·吉林·统考一模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由单调递减可知：，即；
由单调递增可知：，即所以.故选：D.
3．（2023·安徽铜陵·高三统考阶段练习）设 ，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由指数函数在定义域上为单调递增函数，所以，
又由对数函数 在上为单调递减函数，所以，
所以，即，故选：D.
4．（2023·江苏连云港·高三统考期中）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，，，故最小，
又，
因为，所以，
则有，∴，故选：C.
5．（2023·浙江·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，，，即，
而，所以.故选：C
6．（2023·四川遂宁·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，则，所以；
由，且，则，所以；
由，且，则，所以；
由，且，根据函数在上单调递增，则；
综上可得，所以，故选：D.
7．（2023·广东·校联考二模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以.，
因为，且，
所以，所以，所以.故，故选：A
8．（2023·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
因为，， 所以，
又，，
易知，所以，即，所以．故选：C．
9．（2023·天津滨海新·高三塘沽二中校考阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，即，
因为，，所以，则，
所以，即，所以.故选：C
10．（2023·广东·高三茂名市第一中学校联考阶段练习）已知正数a，b，c满足，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，
,故A错误；
，，故BC错误，D正确．故选：D.
11．（2023·江西·统考模拟预测）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，所以．故选：C．
12．（2023·全国·模拟预测）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，．
取，则，，．
设，则，
所以在上单调递增，则，即，所以．
令，则，
所以在上单调递增，则，
所以，即，所以．故选：A
13．（2023·四川·高三南江中学校联考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，是函数的零点，
因为，
由，则，且，
由零点存在性定理知，；
由题意知，是函数的零点，
因为，
且，
由零点存在性定理知，，故，
由，得，
作出函数的大致图象，
如图所示，数形结合由图可知．
综上，.故选：A.
14．（2023·广东汕头·高三金山中学校考阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以．
令，则，所以函数在上单调递增，
所以当时，，即有成立，
所以，得，所以.
因为，所以令，
则，所以函数在上单调递增，
所以当时，，即有成立，
所以，即，所以，即.
综上：，故选：A.
15．（2024·江苏南通·高三统考期末）已知函数及其导函数的定义域均为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】方法一：∵，∴,
设则在单调递减，所以，
， 即，故C正确．
方法二：设又，C正确．故选：C
16．（2022·黑龙江双鸭山·高三校考期末）设，其中是自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】记，则，
当时，，单调递增，
又，且，
所以，即.故选：A
17．（2023·海南·高三校联考阶段练习）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，，，
设函数，则，
当时，，单调递减，
因为，所以，所以.故选：A
18．（2023·云南大理·统考一模）已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，，有.
故函数在单调递增，故，
即，所以，即，
令，则，，有.
故函数在单调递减，故，即，
所以，即.
综上：.故选：D
19．（2024·湖南邵阳·统考一模）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
两边取对数得：，
令，
则，
令，则，
可知在上单调递增，
因为，则，可知恒成立，
则，即，可得，
则在上单调递增，可得，
可得，即，
又因为在上单调递增，所以.故选：D.
20．（2023·全国·校联考模拟预测）设，，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先来证明当时，.
令，，则，
所以函数在上单调递增，可得，即得；
令，，则，
所以函数在上单调递增，可得，即得；
所以当时，.
因为，
由，因为，所以，则，所以，
又，所以，
所以.故选：D.满分技巧
当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较
（1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
（2）指数相同，底数不同，如和，利用幂函数的单调性；
（3）底数相同，真数不同，如和，利用指数函数的单调性；
（4）除了指对幂函数，其他函数（如三角函数、对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小。
满分技巧
（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法
满分技巧
中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小；
估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值；
满分技巧
当比较的几个数都含参数时，可尝试把参数取一个具体的实数，通过估算来比较大小。也可通过函数的单调性，结合图象进行比较。
满分技巧
构造函数，运用函数的单调性比较：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律
（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小；
（2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。
满分技巧
当比较的几个数都可转化为两个函数的零点时，可数形结合，通过函数图象的交点来比较大小。
满分技巧
1、放缩法的解题思路：
（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
（2）指数和幂函数结合来放缩；
（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩；
（4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。
2、常见放缩不等式
（1）；
（2）；；
（3）
满分技巧
常见函数的麦克劳林展开式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）