热点7-3 双曲线及其应用（8题型+满分技巧+限时检测）-2025年高考数学热点重点难点专题练习（新高考专用）

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双曲线及其应用是高考数学的重点与难点，在近几年高考数学试卷中，双曲线的相关题型几乎年年都会考到，属于热点问题。题型比较丰富，选择题、填空题、解答题都出现过，主要通过双曲线的定义、方程及性质考查数学运算能力及转化思想，难度中等偏难。
【题型1 双曲线的定义及概念辨析】
【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．射线 B．直线 C．椭圆 D．双曲线的一支
【答案】A
【解析】设，由题意知动点M满足|，
故动点M的轨迹是射线.故选：A.
【变式1-1】（2023·四川绵阳·高三南山中学校考阶段练习）双曲线C：（，）的一条渐近线过点，，是C的左右焦点，且，若双曲线上一点M满足，则（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，所以，所以或（舍），
又因为双曲线的渐近线过点，所以，所以，
所以，所以，所以，
若在左支上，，符合要求，所以，
若在右支上，，不符合要求，
所以，故选：B.
【变式1-2】（2023·河北·模拟预测）已知双曲线的上、下焦点分别为，，的一条渐近线过点，点在上，且，则 .
【答案】11
【解析】由得双曲线的标准方程为：，
所以，所以双曲线的渐近线方程为：，
又的一条渐近线过点，所以，
因为点在上，，为双曲线的上、下焦点，
所以，
由，所以，
所以或（舍去）.
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知圆，圆，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设圆的半径为，
圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
因为圆与圆、圆外切，
则，所以，
所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，
又，则，
所以其轨迹方程为．
【变式1-4】（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）（多选）已知复数，，则下列结论正确的是（ ）
A．方程表示的在复平面内对应点的轨迹是圆
B．方程表示的在复平面内对应点的轨迹是椭圆
C．方程表示的在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支
D．方程表示的在复平面内对应点的轨迹是抛物线
【答案】AC
【解析】由复数模的几何意义知，表示复平面内点与点之间的距离为定值2，
则在复平面内对应点的轨迹是圆，故A正确；
由复数模的几何意义知，表示复平面内点到点和的距离之和为，
又，不满足椭圆的定义，故B不正确；
由复数模的几何意义知，表示复平面内点到点和的距离之差为1，
又，满足双曲线的定义，故C正确；
对于D，可化为，
表示复平面内点到点和的距离相等，轨迹是直线，故D不正确，故选：AC.
【题型2 利用定义求距离和差最值】
【例2】（2023·天津南开·统考一模）已知拋物线上一点到准线的距离为是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】D
【解析】拋物线的准线为，
则点到准线的距离为，
所以，则，故，
设是双曲线的右焦点，
则，则，
故，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为.故选：D.
【变式2-1】（2023·江西赣州·统考一模）已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线得到,,，左焦点，
设右焦点.当的周长最小时，取到最小值，
所以只需求出的最小值即可.
===.故选：C.
【变式2-2】（2023·四川南充·校考模拟预测）已知是离心率为的双曲线的右支上一点，则到直线的距离与到点的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知双曲线，可知，则，
所以，分别为的左、右焦点，
则，即，
设到直线的距离为，到直线的距离为，且，
则.故选：A.
【变式2-3】（2022·天津南开·高三统考阶段练习）已知双曲线，点F是C的右焦点，若点P为C左支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】A
【解析】由双曲线,可得，,
设双曲线左焦点为，不妨设一条渐近线为，即，
作，垂足为E，即，
作,垂足为H，则，
因为点P为C左支上的动点，
所以，可得，
故，
由图可知，当三点共线时，即E和H点重合时，取得最小值，
最小值为，
即的最小值为，故选：A．
【变式2-4】（2023·山东泰安·统考二模）已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为A，左，右焦点分别为，，点P在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，
则由三角形的面积为可得，即，
又双曲线一条渐近线方程为，故，即，
故，故，解得，
故，双曲线.
又由双曲线的定义可得，
当且仅当共线且在中间时取得等号.
此时直线的方程为，即，
联立可得，解得，
由题意可得在中间可得，
代入可得，故.故选：B
【题型3 双曲线标准方程的求解】
【例3】（2023·全国·高三对口高考）与有相同渐近线，焦距，则双曲线标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】（1）若焦点在轴上，设所求双曲线方程为，
因为与双曲线有相同渐近线，
所以，设该双曲线的焦距为，
又因为焦距，所以，所以，
联立，解得，则双曲线方程为；
（2）若焦点在轴上，设所求双曲线方程为，
因为与双曲线有相同渐近线，
所以，设该双曲线的焦距为，
又因为焦距，所以，所以，
联立，解得，
则双曲线方程为，
所以双曲线的标准方程为：或.
综上，双曲线标准方程为.故选：D
【变式3-1】（2023·湖北荆州·高三松滋市第一中学校考阶段练习）双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，所以.
设,则，
所以，所以.
因为,所以，
所以，所以，所以，
因为，所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为，故选：D
【变式3-2】（2023·天津宁河·高三芦台第一中学校考期末）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由抛物线的焦点为，
因为双曲线与抛物线的焦点重合，
可得双曲线的右焦点为，即，可得，
又由双曲线的一条渐近线方程为，抛物线的准线方程为，
因为抛物线准线与一条渐近线交于点，可得，
即交点为，代入渐近线方程，可得，可得，
将代入，可得，所以，
所以双曲线的方程为.故选：D.
【变式3-3】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知双曲线C：的渐近线方程为，左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若的周长为36，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以，
则双曲线方程为，，，
所以直线为，设，
由，得，则，
所以，
因为，，
所以，
因为的周长为36，所以，
所以，得，
所以双曲线方程为，故选：D
【变式3-4】（2023·四川乐山·统考三模）设为坐标原点，，是双曲线：的左、右焦点．过作圆：的一条切线，切点为，线段交于点，若，的面积为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由圆的方程知，，
又∵，
∴在直角中，，且.
在中，，
的面积，∴.
在中，，
由正弦定理，，
∴，
∴由双曲线定义，，
又∵，，∴，
∴，即.
∵为直角，∴易知为钝角，
∴由知，，
在中，由余弦定理，，
∴，
∴，
整理得，∴.
又∵，将代入，解得.
∴双曲线的方程为：.故选：D.
【题型4 双曲线的焦点三角形问题】
【例4】（2023·全国·校联考模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于两点，且，若双曲线的实轴长为8，那么的周长是（ ）
A．5 B．16 C．21 D．26
【答案】D
【解析】由题意可知：，即，
所以的周长.故选：D.
【变式4-1】（2023·重庆·高三重庆八中校考期中）设双曲线的左､右焦点分别为，点在的右支上，且，则的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，
由双曲线定义可得，，，
由余弦定理得，
即，解得，
又，解得，
故.故选：C
【变式4-2】（2023·四川成都·高三校考期中）设、分别是双曲线：的左、右两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A．5 B．10 C． D．20
【答案】A
【解析】由，
所以是以原点为圆心，为半径的圆与双曲线的交点，
又，即它们也在点所在的圆上，且为直径，
所以为直角三角形，，
如上图，，且，
所以，
则，故的面积为.故选：A.
【变式4-3】（2023·广东湛江·高三统考阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程是分别为双曲线的左、右焦点，过点且垂直于轴的垂线在轴上方交双曲线于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得：因为该双曲线的一条渐近线方程是，则，
又由，可得，
由过点且垂直于轴的垂线在轴上方交双曲线于点，可知M的横坐标为，
代入椭圆方程即可得：，，
又有，可知，
所以.故选：D
【变式4-4】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的内切圆周长为 .
【答案】
【解析】如图所示：
设内切圆半径为，切点分别为，
由题意，则，所以，
由双曲线定义有；
又因为，即，所以，
因此，
从而直角三角形的内切圆半径是
，
所以的内切圆周长为.
【题型5 求双曲线的离心率与范围】
【例5】（2023·天津北辰·高三统考期中）双曲线的左、右焦点分别为，以为圆心，为半径的圆与的左支的一个公共点为，若原点到直线的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图：∵原点到直线的距离等于实半轴的长，
∴直线的距离为，
又∵以为圆心，为半径的圆与的左支的一个公共点为，
∴，
由双曲线定义的，
∴直线的距离为，
故，即，
∴，解得（舍去）或.故选：A.
【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，，点是其右支上一点．若，，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由双曲线的几何性质，可知点是线段的中点，则，
即，
所以，解得：，
所以，故，
由，解得：，
所以，故B项正确.故选：B.
【变式5-2】（2023·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为为坐标原点，圆交双曲线的左支于点，直线交双曲线的右支于点，若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则，因为为的中点，
所以，则由双曲线的定义可知，
因为圆交双曲线的左支于点，所以，
所以，即，
则化简可得，即，
则，所以，
所以，即，
则化简可得，即，故选：D.
【变式5-3】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线C的右支上一点，且，，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，
∴，
又，∴．
设，则，，
∴，
∴，则，
∴．
∴，则，
设，则，
∴在上单调递增，∴，∴，
∴，∴，
∴，故选：B．
【变式5-4】（2023·河南洛阳·高三洛阳市第八中学校考开学考试）已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为，
设，则点到渐近线的距离.
由双曲线的定义可得，故，
所以，
即的最小值为，
因为恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
所以，，即，即，
所以，，即，解得.故选：A.
【题型6 双曲线的中点弦问题】
【例6】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过点的直线交双曲线E于A、B两点.若的中点坐标为，则E的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，
则，两式相减得，
即，化简得，
又，解得，
所以双曲线的方程为： .故选：D.
【变式6-1】（2024·陕西宝鸡·校考一模）设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则的中点，设直线的斜率为，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故C正确；
对于选项D：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故D错误；故选：C.
【变式6-2】（2023·陕西渭南·统考二模）已知直线过双曲线的左焦点，且与的左､右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设,
由均在上，为的中点，
得，则，
∴，∴，
设直线的倾斜角为，则，不妨设为锐角，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴直线的倾斜角为，则.
∴，∴，解得，
∴由对称性知直线的斜率为.故选：D
【变式6-3】（2023·上海·高三七宝中学校考二模）不与轴重合的直线经过点，双曲线：上存在两点A，B关于对称，AB中点M的横坐标为，若，则的值为 .
【答案】
【解析】设，
则，两式相减得，
即，
即 ，所以，
因为是AB垂直平分线，有，所以，
即，化简得，故，则.
【变式6-4】（2023·全国·校联考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，若，则的两条浙近线的斜率之积为 .
【答案】
【解析】设，
因为是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，
所以①，②，③，④，
所以，②③得，整理得
所以，
因为双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，所以，，
因为，
所以，即，整理得：，
所以，整理得，
所以，即，
所以，整理得，
因为的两条浙近线分别为，
所以，的两条浙近线的斜率之积为
【题型7 直线与双曲线相交弦长】
【例7】（2023·山东临沂·统考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左、右两支分别交于点，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，
由双曲线的定义得，解得，则，
设，，，
联立，消去x得，
由韦达定理得：，
由，得，解得，
所以，，
解得，则，故选：D
【变式7-1】（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）已知双曲线：，若直线的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若，则点P的坐标为 .
【答案】
【解析】双曲线双曲线：的渐近线方程为，
而直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为，可设直线的方程为，
与双曲线方程联立，化简可得，
由，得或．
设，，则，，
则，所以，
，
解得：（舍去）或，
所以直线的方程为，令，可得.
故点P的坐标为.
【变式7-2】（2023·江苏苏州·校联考三模）已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于、两点，已知，若这样的直线有条，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】记，若直线与轴重合，此时，；
若直线轴时，将代入双曲线方程可得，此时，
当时，则，此时，；当，可得，则，
所以，双曲线的实轴长和通径长不可能同时为；
当直线与轴不重合时，记，则点，
设直线的方程为，其中，设点、，
联立可得，
由题意可得，可得，
，
由韦达定理可得，，
所以，，
即，
所以，关于的方程由四个不等的实数解.
当时，即当时，可得，
可得，整理可得，因为，解得；
当时，即当，可得，
可得，整理可得，可得.
综上所述，.
【变式7-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线l交C的右支于M，N两点，且当l垂直于x轴时，l与C的两条渐近线所围成的三角形的面积为4.
（1）求C的方程；
（2）证明：，求.
【答案】（1）；（2）证明见解析，
【解析】（1）根据题意有，C的渐近线方程为，
将代入两个渐近线方程得到交点坐标为，，
l与C的两条渐近线所围成的三角形的面积为，
所以，C的方程为.
（2）设，，其中，，
由（1）可知，，
当轴时，显然MN与不垂直.
当l不垂直于x轴时，设l的方程为时，
代入C的方程有：，
故，，
，，
当时有：①，
由得到，代入，
整理有②，
由①，②可得.
所以.
【变式7-4】（2023·山东青岛·高三统考开学考试）已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）直线经过点，与交于，两点，线段中点为第一象限，且纵坐标为，求的面积.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设点的坐标为，
因为，，所以，化简得：
所以的方程为：.
（2）当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；
设，，直线方程为，
与联立得：，
由且，解得且，
由韦达定理得，
因为线段中点在第一象限，且纵坐标为，
所以，解得或（舍去），
所以直线为，
所以，
所以，
点到直线的距离，
所以.
【题型8 直线与双曲线综合问题】
【例8】（2023·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考阶段练习）如图，双曲线C：－＝1的中心O为坐标原点，离心率，点 在双曲线C上．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若直线l与双曲线C交于P，Q两点，且，求＋的值．
【答案】（1）－＝1；（2）
【解析】（1）因为，所以，从而，
所以双曲线C的标准方程为－＝1，即，
因为点在双曲线C上，所以，解得，
所以双曲线C的标准方程为－＝1
（2）设，
设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，
联立与－＝1，得，
所以，同理有，
所以.
【变式8-1】（2023·湖北·高三天门中学校联考期中）已知双曲线C：的右焦点为，过F且斜率为的直线交C于A，B两点，且当时，A的横坐标为3.
（1）求C的方程；
（2）设O为坐标原点，过A且平行于x轴的直线与直线交于点D，P为线段的中点，直线交于点Q，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）当时，：，把代入得，即，
将A代入C的方程有，①，
且由双曲线的几何性质可知②，
由①，②得，，，
故C的方程为.
（2）设，，且：，
由，得，
则，，①
所以，②
.③
直线的方程为，故，.
的方程为，
与方程联立有：，
将①代入得，即.
方法1：所以，，
要证，只需证，即证，④
由②③知④成立，所以.
方法2：由题设可知A，B，F，Q四点共线，
且，
故，即.
由可知，，
故，.
【变式8-2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是的左顶点，的离心率为2.设过的直线交的右支于、两点，其中在第一象限.
（1）求的标准方程；
（2）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；否则，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，
【解析】（1）由题可得，故可得，则，
故的标准方程为.
（2）当直线斜率不存在时，
对曲线，令，解得，
故点的坐标为，此时，
在三角形中，，故可得，
则存在常数，使得成立；
当直线斜率存在时，不妨设点的坐标为，，
直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，，
假设存在常数，使得成立，即，
则一定有：，也即；
又；；
又点的坐标满足，则，
故；
故假设成立，存在实数常数，使得成立；
综上所述，存在常数，使得恒成立.
【变式8-3】（2023·广东广州·高三统考阶段练习）已知在平面直角坐标系中，动点到的距离与它到直线的距离之比为，的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点作直线与曲线交于不同的两点、（、在轴右侧），在线段上取异于点、的点，且满足，证明：点恒在一条直线上.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意可得，整理可得.
所以，曲线的方程为.
（2）证明：如下图所示：
因为，设，则，
设点、、，
由可得，
即，所以，，
由可得，
即，所以，，
所以， ，，
所以，，即，
所以，点在定直线上.
【变式8-4】（2023·云南大理·统考一模）已知双曲线：，其渐近线方程为，点在上.
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的两条直线AP，AQ分别与双曲线交于P，Q两点（不与点A重合），且两条直线的斜率之和为1，求证：直线PQ过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）∵，，
依题意，解得：，，
所以双曲线C的方程为
（2）依题意可知斜率存在，
设方程为，，，
则，即①，
所以
设直线AP，AQ的斜率分别为，，由题意知：，故有：
，
整理得
当，，过舍去，
当，，过点，
此时，将代入①得，得，满足题意.
∴直线PQ过定点
（建议用时：60分钟）
圆锥曲线练习
1．（2023·陕西汉中·统考一模）已知双曲线的一条渐近线的斜率为2，则（ ）
A．－4 B．4 C． D．
【答案】A
【解析】根据,得到,
则焦点在轴，故渐近线为，则，故.故选：A
2．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的离心率为，且双曲线上的点到焦点的最近距离为2，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由离心率，得，
由双曲线上的点到焦点的最近距离为2，得，
根据这两个方程解得，则，得，
所以双曲线的方程为.故选：B.
3．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与的右支交于点，若为等腰三角形，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】A
【解析】设双曲线的右焦点为，连接，
由题意可得，则有，，
若为等腰三角形，则（线段与显然不相等），
所以，
又为的中点，所以，
则有．
由双曲线的定义得，
所以，
设点到轴的距离为，则．故选：A．
4．（2023·广东佛山·统考一模）已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，O为坐标原点，点P是双曲线C上的一点，，且的面积为4，则实数（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】因为的面积为4，所以的面积为8.
又，所以，
所以为直角三角形，且.
设，，
所以，，
所以，
所以，
又，所以.故选：C.
5．（2023·山西临汾·校考模拟预测）已知双曲线（，）的离心率为，圆与C的一条渐近线相交，且弦长不小于4，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线的半焦距为，
则，解得，
且双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线为，
因为圆的圆心为，半径，
可知圆关于x轴对称，不妨取渐近线为，即，
则圆心到渐近线的距离，可得，
又因为圆与双曲线C的一条渐近线相交弦长为，
由题意可得，解得，
所以a的取值范围是.故选：D.
6．（2023·全国·模拟预测）已知直线过双曲线的右焦点，且与双曲线右支交于，两点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，则，．
由，得．
直线l的方程为，即，
代入双曲线的方程中，得，即，
∴，，
∴，，
∴，整理得．
又，∴．故选:B．
7．（2023·安徽滁州·校考一模）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，离心率分别为，，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且 .若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，
在双曲线的右支上，由双曲线的定义，由椭圆定义，
可得，，
又，由余弦定理得，
可得，
得，即，
可得，即，
又时，可得，即，
亦即，得.故选：B
8．（2023·安徽·高三怀远第一中学校联考阶段练习）（多选）在平面直角坐标系xOy中，A、B两点的坐标分别为、，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则点P的轨迹为直 B．若，则点P的轨迹为圆
C．若，则点P的轨迹为椭圆 D．若，则点P的轨迹为双曲线
【答案】AD
【解析】选项A：设点，，
化简可得：，所以点P的轨迹为直线，故A正确；
选项B：当或不存在时，动点为，
当、存在时，设点，，
设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
当时，由可得：，即，
所以，即，
化简可得：，
同理当时，由可得：，即，
所以，即，
化简可得：，
因此点P轨迹为圆上的一段弧()或上的一段弧()，故B错误；
选项C：由，可知点P轨迹为线段AB，故C错误；
选项D：由，根据双曲线的定义可知，
点P轨迹为双曲线，且，即，
所以点P轨迹方程为，故D正确．故选：AD.
9．（2023·广东广州·统考模拟预测）（多选）已知双曲线的左、右焦点别为，，过点的直线l与双曲线的右支相交于两点，则（ ）
A．若的两条渐近线相互垂直，则 B．若的离心率为，则的实轴长为
C．若，则 D．当变化时，周长的最小值为
【答案】ACD
【解析】依题意，，
A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以，故A正确；
B选项，若的离心率为，解得，
所以实轴长，故B错误；
C选项，若，则，
整理得，故C正确；
D选项，根据双曲线的定义可知，，
两式相加得，
所以周长为，
当时，取得最小值，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以周长的最小值为，故D正确.故选：ACD
10．（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）（多选）双曲线的一条渐近线方程为，半焦距为，则下列论述错误的是（ ）
A．双曲线的离心率为3
B．顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为
C．直线与双曲线有两个不同的交点
D．过点有两条直线与双曲线相切
【答案】ABD
【解析】由题易得，所以错误；
顶点到渐近线的距离为与焦点到渐近线的距离，距离之比为，B错误；
因为直线与渐近线平行，所以直线与双曲线的左支仅有1个交点，
与右支没有交点.又直线与直线都过点，
且直线的倾斜角比直线的倾斜角小，
直线与双曲线有两个不同的交点，正确；
因为，所以点位于双曲线右支的右侧位置，
显然过点的直线不可能与双曲线相切，D错误.故选:ABD.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知方程表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为方程表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线，
则，解得.
所以实数的取值范围为.
12．（2023·全国·高三专题练习）以为中点的双曲线的弦所在直线的方程为 .
【答案】
【解析】设是双曲线的弦的中点，且，
则，
因为在双曲线上，所以，
两式相减，得，
故，所以，
故以中点的双曲线的弦所在的直线方程为，即，
联立，消去，得，
因为，
所以以为中点的双曲线的弦所在的直线方程为.
13．（2023·广西·高三南宁三中校联考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，过且与轴垂直的弦长为12．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过作直线与双曲线交于两点，问在轴上是否存在点，使为定值，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，
【解析】（1）由题意知：，，，
故，故，解得或，
，，则，
故双曲线的标准方程为.
（2）假设存在点满足条件，设其坐标为，设，，
当斜率存在时，设方程为，
，
即，且，
，，
，，
，
当为定值时，，则，
此时，
当斜率不存在时，，，，，，
成立，
存在满足条件的点，其坐标为，此时为0.
14．（2023·海南·校联考模拟预测）已知抛物线（）的焦点F到双曲线的渐近线的距离是．
（1）求p的值；
（2）已知过点F的直线与E交于A，B两点，线段的中垂线与E的准线l交于点P，且线段的中点为M，设，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）E的焦点为，
双曲线的渐近线方程为，不妨取，即．
由点到直线的距离公式得，得．
（2）由（1）知，，：．
设直线的方程为，
联立消去x并整理，得，
设，，则，，
，
∴．
易得M点的坐标为，
∴的中垂线方程为，
令得，∴，
从而，
∴，
∴实数的取值范围为．
15．（2023·河北保定·高三校联考开学考试）已知双曲线：的离心率为2，其左、右焦点分别为，，点为的渐近线上一点，的最小值为.
（1）求的方程；
（2）过的左顶点且斜率为的直线交的右支于点，与直线交于点，过且平行于的直线交直线于点，证明：点在定圆上.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）设双曲线的右焦点，一条渐近线的方程为，
因为的最小值为，
所以右焦点到渐近线的距离为，所以，
又因为离心率，所以，
所以的方程为：.
（2）由题得，的左顶点，右焦点，
所以直线为线段的垂直平分线，
所以的斜率分别为，
所以直线的直线方程为与联立有，
，
设，则有，即
所以，
当轴时，，则有
为等腰直角三角形，
所以,故直线的方程为：，故，
当不垂直于轴时，，
所以，，
所以，
所以，
因为，所以
所以为定值，
所以点在定圆上.满分技巧
（1）在双曲线定义中若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：
（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
（2）若常数满足约束条件：，
则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
（3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
（4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
满分技巧
利用定义||PF1|-|PF2||＝2a转化或变形，借助三角形性质及基本不等式求最值
满分技巧
1、由双曲线标准方程求参数范围
（1）对于方程，当时表示双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线.
（2）对于方程，当时表示双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线.
（3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。
2、待定系数法求双曲线方程的五种类型
（1）与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；
（2）若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x或y＝－eq \f(b,a)x，则可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；
（3）与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1共焦点的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2－k)－eq \f(y2,b2＋k)＝1(－b2＜k＜a2)；
（4）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn＞0)或者eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(mn＜0)；
（5）与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2－λ)－eq \f(y2,λ－b2)＝1(b2＜λ＜a2)
满分技巧
求双曲线中的焦点三角形面积的方法
（1） = 1 \* GB3 ①根据双曲线的定义求出；
= 2 \* GB3 ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式；
= 3 \* GB3 ③通过配方，利用整体的思想求出的值；
= 4 \* GB3 ④利用公式求得面积。
（2）利用公式求得面积；
（3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题。
满分技巧
1、求双曲线的离心率或其范围的方法
（1）求a，b，c的值，由eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)直接求e.
（2）列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范围．
（3）因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算．
（4）通过特殊位置求出离心率．
2、双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：
当k>0时，k＝eq \f(b,a)＝eq \f(\r(c2－a2),a)＝ eq \r(\f(c2,a2)－1)＝eq \r(e2－1)；当k<0时，k＝－eq \f(b,a)＝－eq \r(e2－1).
满分技巧
解决中点弦问题的两种方法：
1、根与系数关系法：联立方程，消元，利用根与系数的关系进行舍而不求，从而简化运算；
2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过双曲线上两点、，其中中点为，则有.
证明：设、，则有，上式减下式得，
∴，∴，∴.
满分技巧
求弦长的两种方法：
（1）交点法：将直线的方程与双曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
（2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被双曲线截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：