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重难点6-1 空间角与空间距离的求解(8题型+满分技巧+限时检测)-2025年高考数学热点重点难点专题练习(新高考专用)
展开空间角与空间距离问题一直是高考数学必考点与热点考向。通常小题及解答题的第2小问考查,难度中等。在高考复习过程中除了掌握空间向量法,还需多锻炼几何法的应用。
【题型1 几何法求异面直线夹角】
【例1】(2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期中)在正方体中,,,,分别为,,,的中点,则异面直线与所成角的大小是( )
A. B. C. D.
【变式1-1】(2022·全国·高三专题练习)如图,是圆锥的顶点,是底面直径,点在底面圆上.若为正三角形,且,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【变式1-2】(2024·广东·高三校联考开学考试)如图,在直三棱柱中,所有棱长都相等,,,分别是棱,,的中点,则异面直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
【变式1-3】(2022·全国·模拟预测)已知正方形的边长为2,把沿折起,使点A与点E重合,若三棱锥的外接球球心O到直线的距离为,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.0
【变式1-4】(2023·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习)在正四棱台中,,点是底面的中心,若该四棱台的侧面积为,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【题型2 向量法求异面直线夹角】
【例2】(2023·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习)如图,在直三棱柱中,,且,,分别是棱,的中点,则异面直线与所成角的正弦值是( )
A. B. C. D.
【变式2-1】(2023·安徽·高三校联考期末)已知是圆锥底面的直径,为底面圆心,为半圆弧的中点,,分别为线段,的中点,,,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【变式2-2】(2024·江西·高三统考期末)已知圆柱的底面半径为1,高为2,,分别为上、下底面圆的直径,四面体的体积为,则直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【变式2-3】(2024·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试)三棱锥中,平面,,.,点是面内的动点(不含边界),,则异面直线与所成角的余弦值的取值范围为( )
A. B. C. D.
【变式2-4】(2023·广东汕头·高三潮阳实验学校校考阶段练习)正四棱锥的侧棱长为,底面的边长为,E是的中点,则异面直线与所成的角为( )
A. B. C. D.
【题型3 几何法求直线与平面夹角】
【例3】(2022·全国·高三专题练习)在正方体中,棱的中点分别为,,则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
【变式3-1】(2024·山西运城·高三统考期末)已知四棱锥的底面是边长为4的正方形,,,则直线与平面夹角的正弦值为( )
A. B. C. D.
【变式3-2】(2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校联考期末)过正四棱锥的高的中点作平行于底面的截面,若四棱锥与四棱台的表面积之比为,则直线与底面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【变式3-3】(2023·全国·高三校联考阶段练习)如图,在三棱台中,平面,,,.
(1)求证:平面平面;
(2)求与平面所成角正弦值.
【变式3-4】(2023·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习)如图,在四棱锥中,,,,,,,.
(1)求证:平面平面;
(2)若为上一点,且,求直线与平面所成角的正弦值.
【题型4 向量法求直线与平面夹角】
【例4】(2023·福建福州·高三校联考期中)正四棱柱中,,四面体体积为,则与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
【变式4-1】(2023·上海嘉定·高三校考期中)在正方体中,是中点,点在线段上,若直线与平面所成的角为,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【变式4-2】(2023·四川南充·统考一模)如图,在四棱锥中,平面,,,.
(1)求证:平面;
(2)若,二面角的正切值为,求直线与平面所成角的正弦值.
【变式4-3】(2023·四川雅安·统考一模)如图,在正方体中,点是线段上的动点(含端点),点是线段的中点,设与平面所成角为,则的最小值是( )
A. B. C. D.
【变式4-4】(2024·江苏南通·高三海安高级中学校考开学考试)如图,己知三棱台的高为1,,为的中点,,,平面平面.
(1)求证:平面;
(2)求与平面所成角的大小.
【题型5 几何法求平面与平面夹角】
【例5】(2024·全国·模拟预测)已知三棱锥的外接球半径为,,,,则平面与平面的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【变式5-1】(2024·全国·高三专题练习)如图,三棱锥中,且为正三角形,分别是的中点,若截面侧面,则此棱锥侧面与底面夹角的余弦值为 .
【变式5-2】(2024·北京海淀·高三统考期末)在正四棱锥中,,二面角的大小为,则该四棱锥的体积为( )
A.4 B.2 C. D.
【变式5-3】(2024·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考期末)将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图,在正双三棱锥中,两两互相垂直,则二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【变式5-4】(2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测)如图,在三棱柱中,点在平面内的射影D在线段AC上,,,.
(1)证明:;
(2)设直线到平面的距离为,求二面角的大小.
【题型6 向量法求平面与平面夹角】
【例6】(2024·浙江宁波·高三余姚中学校联考期末)如图,在三棱锥中,,,平面,平面平面,是的中点.
(1)求证:;
(2)求平面与平面的夹角.
【变式6-1】(2024·云南昆明·统考一模)如图,在三棱锥中,平面,是线段的中点,是线段上一点,,.
(1)证明:平面平面;
(2)是否存在点,使平面与平面的夹角为?若存在,求;若不存在,说明理由.
【变式6-2】(2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习)如图所示,在四棱锥中,平面平面ABCD,底面ABCD为矩形,,,,点M在棱PC上且.
(1)证明:M为PC的中点;
(2)求平面PBD与平面MDB的夹角.
【变式6-3】(2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习)如图,在三棱柱中,,,为的中点,平面平面.
(1)证明:平面;
(2)若,二面角的余弦值为,求平面与平面夹角的余弦值.
【变式6-4】(2024·江苏南通·高三统考期末)已知是圆锥的底面直径,C是底面圆周上的一点,,平面和平面将圆锥截去部分后的几何体如图所示.
(1)证明:平面;
(2)求二面角的余弦值.
【题型7 几何法解决空间距离问题】
【例7】(2024·河北·高三校联考期末)已知正方形的边长为1,将正方形绕着边旋转至分别为线段上的动点,且,若,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【变式7-1】(2024·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习)如图,已知圆柱的底面半径和母线长均为1,分别为上、下底面圆周上的点,若异面直线所成的角为,则( )
A.1 B. C.1或2 D.2或
【变式7-2】(2024·重庆·高三西南大学附中校联考开学考试)如图,在正四棱柱中,为的中点,则中点到平面的距离为 .
【变式7-3】(2024·陕西·高三校联考开学考试)如图,在三棱台中,,,.
(1)证明:;
(2)求点到平面的距离.
【变式7-4】(2023·广东·统考二模)半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体,如图所示的多面体就是一个半正多面体,其中四边形和四边形均为正方形,其余八个面为等边三角形,已知该多面体的所有棱长均为2,则平面与平面之间的距离为( )
A. B. C. D.
【题型8 向量法解决空间距离问题】
【例8】(2024·广西·模拟预测)如图,在棱长为2的正方体中,为线段的中点,为线段的中点.直线到平面的距离为( ).
A. B. C. D.
【变式8-1】(2024·北京昌平·高三统考期末)如图,在棱长为1的正方体中,为线段上的点,且,点在线段上,则点到直线距离的最小值为( )
A. B. C. D.1
【变式8-2】(2023·河北邢台·高三宁晋中学校联考开学考试)已知四棱台中,底面为正方形,,,,⊥底面.
(1)证明:.
(2)求到平面的距离.
【变式8-3】(2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习)如图,四边形是圆柱的轴截面,点在底面圆上,,点是线段的中点
(1)证明:平面;
(2)若直线与圆柱底面所成角为,求点到平面的距离.
【变式8-4】(2024·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考期末)如图,将圆沿直径折成直二面角,已知三棱锥的顶点在半圆周上,在另外的半圆周上,.
(1)若,求证: ;
(2)若,,直线与平面所成的角为,求点到直线的距离.
(建议用时:60分钟)
1.(2023·全国·高三校联考阶段练习)已知四棱锥底面是矩形,其中,,侧棱底面,E为的中点,四棱锥的外接球表面积为,则直线与所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
2.(2023·上海虹口·高三校考期中)如图所示,在正方体中,E为线段上的动点,则下列直线中与直线CE夹角为定值的直线为( )
A.直线 B.直线 C.直线 D.直线
3.(2024·陕西渭南·统考一模)在正三棱柱中,,是的中点,则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
4.(2023·山东青岛·高三统考期中)《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为塹堵,在塹堵中,若,若为线段中点,则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
5.(2023·山东济宁·高三济宁一中校考阶段练习)如图1,某广场上放置了一些石凳供大家休息,这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的,它的所有棱长均相同,数学上我们称之为半正多面体(semiregular slid),亦称为阿基米德多面体,如图2,设,则平面与平面之间的距离是( )
A. B. C. D.
6.(2024·山东德州·高三统考期末)(多选)在棱长为1的正方体中,下列结论正确的是( )
A.点到的距离为 B.面与面的距离为
C.直线与平面所成的角为 D.点到平面的距离为
7.(2023·江苏镇江·高三校考阶段练习)(多选)如图,已知正方体的棱长为2,点P是线段的中点,点Q是线段上的动点(不含端点),则下列结论正确的是( )
A.平面 B.Q到平面的距离为
C.与所成角的取值范围为 D.三棱锥外接球体积的最小值为
8.(2023·广西·模拟预测)如图,已知在矩形和矩形中,,,且二面角为,则异面直线与所成角的正弦值为 .
9.(2024·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期末)如图, 在圆台 中,,点C是底面圆周上异于A、B的一点,, 点D是的中点, 为平面与平面的交线, 则交线与平面所成角的大小为 .
10.(2022·全国·高三专题练习)如图,在四棱锥中,平面平面,四边形为矩形,为的中点.
(1)求异面直线与所成的角;
(2)求二面角的余弦值.
11.(2024·重庆九龙坡·高三重庆实验外国语学校校考开学考试)如图.在四棱锥中,已知底面为矩形,侧面是正三角形,面底面,是棱的中点.
(1)证明:;
(2)若,且二面角的大小为,求异面直线与所成角的正切值.
12.(2024·山西临汾·统考一模)如图,在三棱柱中,,,,二面角的大小为.
(1)求四边形的面积;
(2)在棱上是否存在点,使得直线与平面所成的角的正弦值为?若存在,求出的长;若不存在,说明理由.满分技巧
1、求异面直线所成角一般步骤:
(1)平移:选择适当的点,线段的中点或端点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线.
(2)证明:证明所作的角是异面直线所成的角.
(3)寻找:在立体图形中,寻找或作出含有此角的三角形,并解之.
(4)取舍:因为异面直线所成角的取值范围是,所以所作的角为钝角时,应取它的补角作为异面直线所成的角.
2、可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:
(1)直接平移法(可利用图中已有的平行线);
(2)中位线平移法;
(3)补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).
满分技巧
异面直线所成角:若分别为直线的方向向量,为直线的夹角,则.
满分技巧
1、垂线法求线面角(也称直接法):
(1)先确定斜线与平面,找到线面的交点B为斜足;找线在面外的一点A,过点A向平面做垂线,确定垂足O;
(2)连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影;投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角;
(3)把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形)。
3、公式法求线面角(也称等体积法):
用等体积法,求出斜线PA在面外的一点P到面的距离,利用三角形的正弦公式进行求解。
公式为:sinθ=ℎl,其中θ是斜线与平面所成的角,ℎ是垂线段的长,l是斜线段的长。
方法:已知平面内一个多边形的面积为S,它在平面内的射影图形的面积为S射影,
平面和平面所成的二面角的大小为,则COSθ=S射影S.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。
满分技巧
直线与平面所成角:设是直线的方向向量,是平面的法向量,直线与平面的夹角为.则.
满分技巧
1、定义法(棱上一点双垂线法):提供了添辅助线的一种规律
(1)方法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.
(2)具体演示:如图所示,以二面角的棱a上的任意一点O为端点,
在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA,OB,则∠AOB为此二面角的平面角
2、三垂线法(面上一点双垂线法)----最常用
(1)方法:自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线,再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足),斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角,即为二面角的平面角
(2)具体演示:在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB,垂足为B,再过点B向棱a作垂线BO,垂足为O,连接AO,则∠AOB就是二面角的平面角。
3、垂面法(空间一点垂面法)
(1)方法:过空间一点作与棱垂直的平面,截二面角得两条射线,这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
(2)具体演示:过二面角内一点A作AB⊥α于B,作AC⊥β于C,
面ABC交棱a于点O,则∠BOC就是二面角的平面角。
4、射影面积法求二面角
满分技巧
平面与平面的夹角:若分别为平面的法向量,为平面的夹角,则.
满分技巧
点面距的求解方法
1、定义法(直接法):找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线,求出垂线段的长度;
2、等体积法:通过点面所在的三棱锥,利用体积相等求出对应的点线距离;
3、转化法:转化成求另一点到该平面的距离,常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离.
满分技巧
点到平面的距离:已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点,是平面外一点,过点作则平面的垂线,交平面于点,则点到平面的距离为(如图).
注意:线面距、面面距均可转化为点面距离,用求点面距的方法进行求解。
直线与平面之间的距离:,其中,是平面的法向量。
两平行平面之间的距离:,其中,是平面的法向量。
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重难点5-1 数列通项公式的求法(8题型+满分技巧+限时检测)-2025年高考数学热点重点难点专题练习(新高考专用): 这是一份重难点5-1 数列通项公式的求法(8题型+满分技巧+限时检测)-2025年高考数学热点重点难点专题练习(新高考专用),文件包含重难点5-1数列通项公式的求法8题型+满分技巧+限时检测原卷版docx、重难点5-1数列通项公式的求法8题型+满分技巧+限时检测解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共37页, 欢迎下载使用。
重难点3-2 解三角形的综合应用(8题型+满分技巧+限时检测)-2025年高考数学热点重点难点专题练习(新高考专用): 这是一份重难点3-2 解三角形的综合应用(8题型+满分技巧+限时检测)-2025年高考数学热点重点难点专题练习(新高考专用),文件包含重难点3-2解三角形的综合应用8题型+满分技巧+限时检测原卷版docx、重难点3-2解三角形的综合应用8题型+满分技巧+限时检测解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共52页, 欢迎下载使用。