2023-2024学年安徽省六安市舒城县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年安徽省六安市舒城县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，能与 2合并的是( )
A. 12B. 18C. 0.2D. 27
2.下列各组数中，能组成直角三角形三边的是( )
A. 2，3，4B. 3，2， 5C. 3，4，5D. 4，5，6
3.把方程x2−4x−1=0转化成(x+m)2=n的形式，则m、n的值是( )
A. 2，5B. 4，3C. −2，5D. −4，3
4.关于x的一元二次方程x2−5x+m=0没有实数根，m可以为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
5.有一组数据2，a，4，6，7，它们的平均数为5，下列说法不正确的是( )
A. a=6B. 这组数据的众数是6
C. 这组数据的中位数为4D. 这组数据的方差为3.2
6.太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中的杂质x%，经过两次过滤可使水中的杂质减少到原来的36%，根据题意可列方程为( )
A. 1−2x=36%B. (1−x)2=36%
C. 2(1−x%)=36%D. (1−x%)2=36%
7.在下列命题中，是真命题的是( )
A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
8.一元二次方程ax2+bx+c=0满足b=2a，且方程有一个实数根为1，则另一个根是( )
A. 1B. −1C. 0D. −3
9.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于( )
A. 245B. 125C. 5D. 4
10.如图，等边三角形ABC的边长为4，E点为BC边上的动点，F为AE中点，则BF+CF的最小值为( )
A. 2+2 3
B. 2 7
C. 5
D. 3 3
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.化简： (3−π)2=__________.
12.若代数式 1−xx+1有意义，则x的取值范围是______.
13.如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGH，则∠CGB=______.
14.如图，在正方形网格中，若每个小方格的边长都为1，则△ABC的面积为______.
15.已知正方形ABCD中，AB=6，P为边CD上一点，DP=2，Q为边BC上一点，若△APQ为等腰三角形，则CQ的长为______.
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.解方程：3x(x−2)=x−2.
四、解答题：本题共6小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：( 3)2+(π+ 3)0+ 27+| 3−2|
18.(本小题10分)
如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的网格中，给出了以格点(网格的交点)为端点的线段AB.
(1)将线段AB向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段CD，其中A的对应点为C，请画出线段CD；
(2)以线段AB为一边，作一个菱形ABEF，且点E，F也为格点.(作出一个菱形即可)
19.(本小题10分)
如图，在矩形ABCD中，AB=5，点E是BC上一点，连接AE，将△ABE沿着AE折叠，点B恰好落在CD上的点F处，CF=1.
(1)求AD的长；
(2)求CE的长.
20.(本小题10分)
社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知空地长AD=52m，宽AB=28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路，已知铺花砖的面积为640m2.
(1)求道路的宽是多少米？
(2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10000元？
21.(本小题12分)
某校八年级学生开展“不忘初心，奋进新时代”主题读书活动，为了解主题活动开展的情况，随机抽取了一部分学生在活动中读书的数量进行了统计，绘制了如下统计图：
解答下列问题：
(1)m=______，补全条形统计图；
(2)所抽取的数据中，众数是______，中位数是______；
(3)该校八年级学生有2000名，请你估算此次主题读书活动中，读书的数量不少于3本的学生约为多少人？
22.(本小题12分)
问题情境：点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90∘，将BE绕点B按顺时针方向旋转90∘至BE′.延长AE交直线CE′于点F，连接DE.
(1)如图①，若F在线段EC的延长线上，求证：四边形BE′FE为正方形；
(2)如图②，若F恰为线段CE′的中点，请猜想线段DA、DE的数量关系并加以证明；
(3)解决问题：若AB=15，CF=3，请直接写出DE的长.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、 12=2 3，2 3与 2不能合并，故此选项不符合题意；
B、 18= 24， 24与 2能合并，故此选项符合题意；
C、 0.2= 15= 55， 55与 2不能合并，故此选项不符合题意；
D、 27=3 3，3 3与 2不能合并，故此选项不符合题意；
故选：B.
根据最简二次根式与同类二次根式的定义逐项计算判断即可．
此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
2.【答案】C
【解析】解：A、∵22+32≠42，∴不能组成直角三角形，不符合题意；
B、∵( 3)2+22≠( 5)2，∴不能组成直角三角形，不符合题意；
C、∵32+42=52，∴能组成直角三角形，符合题意；
D、∵42+52≠62，∴不能组成直角三角形，不符合题意．
故选：C.
根据勾股定理的逆定理依次判断各选项，即可进行解答．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵x2−4x−1=0，
∴x2−4x=1，
∴x2−4x+4=1+4，
∴(x−2)2=5，
∴m=−2，m=5，
故选：C.
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
本题主要考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握解一元二次方程-配方法是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意得Δ=(−5)2−4m<0，
解得m>254，
所以m可以取7.
故选：D.
利用根的判别式的意义得到Δ=(−5)2−4m<0，然后解不等式得到m的取值范围，从而对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
5.【答案】C
【解析】解：A、这组数据的平均数为：2+a+4+6+75=5，
解得：a=6，选项说法正确，不符合题意；
B、这组数据的众数为：6，选项说法正确，不符合题意；
C、这组数据的中位数是：6，选项说法错误，符合题意；
D、这组数据的方差为：15[(5−2)2+(5−6)2+(5−4)2+(5−6)2+(5−7)2]=3.2，选项说法正确，不符合题意；
故选：C.
A、根据平均数的定义进行计算；
B、根据众数的定义进行计算；
C、根据中位数定义进行计算；
D、根据方差的定义进行计算．
本题考查了平均数，中位数，众数和方差的意义，掌握平均数，中位数，众数和方差的定义是关键．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意得：(1−x%)2=36%.
故选：D.
利用经过两次过滤后水中的杂质=未经过滤的水中的杂质×(1−每次过滤可减少水中的杂质的百分数)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以C选项正确；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以D选项错误．
故选：C.
直接利用平行四边形以及矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析进而得出答案．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
8.【答案】D
【解析】解：设方程的另一根为t，
根据根与系数的关系得1+t=−ba，
∵b=2a，
∴1+t=−2aa=−2，
解得t=−3，
即方程的另一个根为−3.
故选：D.
设方程的另一根为t，则利用根与系数的关系得1+t=−ba，然后把b=2a代入求出t即可．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了一元二次方程的解．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形ABCD=12×AC×BD=AB×DH是解此题的关键．
根据菱形性质求出AO=4，OB=3，∠AOB=90∘，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，
∵AC=8，DB=6，
∴AO=4，OB=3，∠AOB=90∘，
由勾股定理得：AB= 32+42=5，
∵S菱形ABCD=12×AC×BD=AB×DH，
∴12×8×6=5×DH，
∴DH=245，
故选A.
10.【答案】B
【解析】解：分别取AB，AC的中点M，N，作直线MN，
由三角形中位线定理，知则MN与AE的交点为F，即点F是直线MN上的一个动点，
作点B关于MN的对称点B′，连接B′C，B′F，
则B′F=BF，
∴BF+CF=B′F+CF≥B′C，
∴BF+CF的最小值为B′C的长，
∵等边三角形ABC的边长为4，
∴等边三角形ABC的高为2 3，
∴由题意知B′B=2 3，
在Rt△B′CB中，
B′C= BC2+B′B2= 42+(2 3)2=2 7，
故选：B.
先确定点F的运动路线，再建立将军饮马模型，利用勾股定理求出即可．
本题考查轴对称-最短路线问题，解答时涉及等边三角形的性质，勾股定理，确定动点F的运动路线是解题的关键．
11.【答案】π−3
【解析】解： (3−π)2= (π−3)2=π−3.
故答案是：π−3.
二次根式的性质： a2=a(a≥0)，根据二次根式的性质可以对上式化简．
本题考查的是二次根式的性质和化简，根据二次根式的性质，对代数式进行化简．
12.【答案】x≤1且x≠−1
【解析】解：由题意可知：1−x≥0x+1≠0，
解得：x≤1且x≠−1，
故答案为：x≤1且x≠−1.
根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0是解题的关键．
13.【答案】84∘
【解析】解：如图，连接CG，
∵六边形ABCDEF是正六边形，五边形ABGHI是正五边形，
∴∠ABC=(6−2)×180∘6=120∘，∠ABG=(5−2)×180∘5=108∘，AB=BC=BG，
∴∠CBG=120∘−108∘=12∘，
∵BC=BG，
∴∠BGC=∠BCG=180∘−12∘2=84∘，
故答案为：84∘.
根据正五边形、正六边形的性质求出正五边形、正六边形的内角的度数，进而求出∠CBG，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可．
本题考查多边形的内角与外角，掌握正五边形，正六边形的性质以及等腰三角形的性质，三角形内角和定理是正确解答的关键．
14.【答案】13
【解析】解：△ABC的面积=8×4−12×3×2−12×6×4−12×1×8=13.
故答案为13.
用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积．
本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
15.【答案】4或2 6或143
【解析】解：如图，连接AP，AQ，
①当AP=AQ时，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=6，∠B=∠D=90∘，
在Rt△ABQ与Rt△ADP中，
AB=ADAQ=AP，
∴Rt△ABQ≌Rt△ADP(HL)
∴BQ=DP=2，
∴CQ=BC−BQ=6−2=4；
②当AP=PQ时，
设CQ=x，
PQ2=AP2=AD2+DP2=62+22=40，
∴CQ= PQ2−PC2= 40−42=2 6；
③当AQ=PQ时，
设CQ=x，则BQ=6−x，
AB2+BQ2=CQ2+CP2，
∴36+(6−x)2=x2+16
解得：x=143，
综上所述，CQ的长为4，2 6或143，
故答案为：4或2 6或143.
利用等腰三角形的性质和正方形的性质分类讨论：
①当AP=AQ时，根据全等三角形的判定定理可得Rt△ABQ≌Rt△ADP，利用全等三角形的性质可得BQ=DP=2，易得CQ的长；
②当AP=PQ时，利用勾股定理可得CQ的长；
③当AQ=PQ时，设CQ=x，则BQ=6−x，AB2+BQ2=CQ2+CP2，易得CQ的长．
本题主要考查了等腰三角形的性质和正方形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．
16.【答案】解：3x(x−2)=x−2，
移项得：3x(x−2)−(x−2)=0
整理得：(x−2)(3x−1)=0
x−2=0或3x−1=0
解得：x1=2或x2=13
【解析】移项后提取公因式x−2，利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是先移项，然后提取公因式，防止两边同除以x−2，这样会漏根．
17.【答案】解：原式=3+1+3 3+2− 3
=6+2 3.
【解析】直接利用零指数幂的性质和绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：(1)如图，线段CD即为所求；
(2)如图，菱形ABEF即为所求(答案不唯一).
【解析】(1)利用平移变换的小册子分别作出A，B的对应点C，D即可；
(2)根据菱形的判定作出图形(答案不唯一).
本题考查作图-应用与设计作图，平移变换等知识，解题的关键是理解题意正确作出图形．
19.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，AB=5，
∴CD=AB=5，∠D=90∘，
∵CF=1，
∴DF=CD−CF=5−1=4，
∵将△ABE沿AE折叠，点B落在CD上的点F处，
∴AF=AB=5，
∴AD= AF2−DF2= 52−42=3，
∴AD的长为3.
(2)∵BC=AD=3，
∴FE=BE=3−CE，
∵∠C=90∘，
∴CE2+CF2=EF2，
∴CE2+12=(3−CE)2，
解得CE=43，
∴CE的长为43.
【解析】(1)由矩形的性质得CD=AB=5，∠D=90∘，因为CF=1，所以DF=CD−CF=4，由折叠得AF=AB=5，则AD= AF2−DF2=3；
(2)因为BC=AD=3，所以FE=BE=3−CE，由勾股定理得CE2+12=(3−CE)2，求得CE=43.
此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，正确地求出AF的长及DF的长是解题的关键．
20.【答案】解；(1)根据道路的宽为x米，根据题意得，
(52−2x)(28−2x)=640，
整理得：x2−40x+204=0，
解得：x1=34(舍去)，x2=6，
答：道路的宽为6米；
(2)设月租金上涨a元，停车场月租金收入为10000元，
根据题意得：(200+a)(50−a5)=10000，
整理得：a2−50a=0，
解得a=500，
答：每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入为10000元．
【解析】(1)根据题意列出方程(52−2x)(28−2x)=640解答即可；
(2)设月租金上涨a元，停车场月租金收入为10125元，列出方程(200+a)(50−a5)=10125解答即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系列出方程是解答本题的关键．
21.【答案】35 3本 3本
【解析】解：(1)读4本的人数有：1830%×20%=12(人)，
读3本的人数所占的百分比是1−5%−10%−30%−20%=35%，
补图如下：
故答案为：35；
(2)根据统计图可知众数为3本，
中位数：3+32=3(本)，
故答案为：3本，3本；
(3)根据题意得：
2000×(35%+20%+10%)=1300(人)，
答：估算此次主题读书活动中，读书的数量不少于3本的学生数为有1300人．
(1)根据2本的人数和所占的百分比求出总人数，再乘以读4本人数所占的百分比求出读4本的人数；用整体1减去其它读书量所占的百分比求出读3本书所占的百分比，从而补全统计图；
(2)根据众数的定义求出本次所抽取的数据的众数即可；根据中位数的定义即可得出答案；
(3)用八年级的总人数乘以“读书量”不少于3本的学生人数所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22.【答案】解：(1)四边形BEFE是正方形，
理由：由旋转可知：∠EBE′=90∘，BE=BE，
∴∠CBE=∠ABE，
在△BEC和△AEB中，
BC=AB∠CBE=∠ABEBE′=BE，
∴△CBE=△ABE(SAS)，
∴∠E′=∠AEB=90∘，
又∵∠AEB+∠FEB=180∘，∠AEB=90∘，
∴∠FEB=90∘，
∴四边形BEFE是矩形．
∵BE=BE，
∴四边形BEFE是正方形；
(2)AD=DE.证明：如图，过点D作DH⊥AE，垂足为H，
则∠DHA=90∘，∠1+∠3=90∘，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠DAB=90∘，∠2=∠3=90∘，
∵∠AEB=∠DHA=90∘，
∴△AEB≌△DHA(AAS).
∴AH=BE.
∵BE=EF，
∴AH=EF，
∵∠ABC=∠EBE′=90∘，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AB=BC，BE=BE，
∴△AEB≌△CE′B(AAS)，
∵AE=CE，
∵AH=EF=CF，
∴AH=HE，
∵DH⊥AE，
∴AD=DE；
(3)作DH⊥AE于H，如图．
设BE的长为x，
∵四边形BEFE是正方形，
∴BE=BE=EF=x，由(2)可知，△AEB≌△DHA，
∴AE=CE′=3+x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2=AB2−BE2(x+3)2=122−x2，
解得x=9(负值舍去)，
∴AH=BE=9，DH=AE=12，
∴HE=AE−AH=12−9=3，
在Rt△DHE中，由勾股定理得：DE= DH2+HE2= 122+32=3 17.
【解析】(1)由旋转的性质可知：∠CBE=∠ABE，BE=BE，证明△CBE=△ABE，可得∠E′=90∘，再说明∠FEB=90∘可得四边形BE′FE是矩形，再结合BE=BE即可证明；
(2)过点D作DH⊥AE，垂足为H，证明△AEB≌△DHA和△AEB≌△CEB，根据全等三角形的性质即可解答；
(3)作DH⊥AE于H，由勾股定理可求得AE，再由△AEB≌△DHA可得DH=AE，AH=BE，进而求出HE，最后在Rt△DGE中，由勾股定理计算可得DE.
本题考查了正方形的性质、旋转变换、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，综合应用所学知识是解答本题的关键．