2023-2024学年安徽省六安市霍邱县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年安徽省六安市霍邱县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式是最简二次根式的是( )
A. 12B. 13C. a2D. 53
2.用配方法解一元二次方程x2−8x+9=0，变形后的结果正确的是( )
A. (x−4)2=−7B. (x−4)2=25C. (x+4)2=7D. (x−4)2=7
3.如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了( )m的路，却踩伤了花草．
A. 5B. 4C. 3D. 2
4.某餐厅供应单价为10元、18元、25元三种价格的盒饭，如图是该餐厅某月三种盒饭销售情况的扇形统计图，根据该统计图可算得该餐厅这个月销售盒饭的平均单价为( )
A. 17元
B. 18元
C. 19元
D. 20元
5.根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是( )
A. B.
C. D.
6.教练想从甲、乙、丙、丁四名运动员中选拔一人参加400m比赛，故先在队内举行了一场选拔比赛.下表记录了这四名运动员选拔赛成绩的平均数x−与方差S2：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应选( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
7.不能用镶嵌的道理密铺地面的正多边形组合是( )
A. 正三角形和正六边形B. 正三角形和正方形
C. 正方形和正八边形D. 正六边形和正八边形
8.某市计划用未来两年的时间使城区绿化面积“翻一番”(“翻一番”表示为原来的2倍)，若平均每年城区绿化面积的增长率为a%，则下列所列方程中正确的是( )
A. (1+a%)2=2B. 1+2a%=2
C. 1+(1+a%)+(1+a%)2=2D. (1+a%)2=1
9.已知m为实数，且m= 2x−1+1，下列说法：①x≥12；②当x=5时，m的值是4或−2；③m≥1；④ 2x−1>0.其中正确的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
10.如图①，在矩形ABCD中，AB>AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿A→B→C运动，设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AB边的长为( )
A. 6B. 6.4C. 7.2D. 8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.正五边形的一个外角等于______ ∘.
12.若m为方程x2−2x−2=0的根，则多项式−4m2+8m+3的值为______.
13.《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是______.
14.已知实数a，b满足(2a2+b2+1)(2a2+b2−1)=80，试求2a2+b2的值.
解：设2a2+b2=m.原方程可化为(m+1)(m−1)=80，即m2=81，解得m=±9.
∵2a2+b2≥0，∴2a2+b2=9.上面的这种方法称为“换元法”，请根据以上阅读材料，解决问题.
(1)若实数x，y满足(2x2+2y2−1)(x2+y2)=3，则3x2+3y2−2的值为______.
(2)若一元二次方程a(x+m)2+n=0的两根分别为−5，3，则方程a( x2+3x+m+1)2+n=0(a≠0)的根是______.
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算： 12−3 3−| 3−2|−(− 2)0.
16.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90∘，AD=4，DC=2 21，求AB的长.
17.(本小题8分)
已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AF=CE.求证：四边形BFDE是平行四边形.
18.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+6x+c=0有两个实数根．
(1)求c的取值范围；
(2)若方程x2+6x+c=0的两个根的差为2，求c的值．
19.(本小题10分)
图①，图②是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点(又称为“格点”)上.
(1)请在图①中画一个以A，B为顶点，面积为6的平行四边形，另外两顶点C，D在格点上.
(2)请在图②中画一个以A，B为顶点的菱形，另外两顶点C，D在格点上，并求出此菱形的边长.
20.(本小题10分)
如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门(建在EF处，另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
21.(本小题12分)
甲，乙两个小区各有300户居民，为了解两个小区3月份用户使用燃气量情况，小明和小丽分别从中随机抽取30户进行调查，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a.甲小区用气量频数分布表如下：
b.乙小区用气量频数分布直方图如下(数据分成5组：5≤x<10，10≤x<15，15≤x<20，20≤x<25，25≤x<30)
c.乙小区用气量的数据在15≤x<20这一组的是：
15 15 16 16 16 17 17 18 18 18 18 19
d.甲，乙两小区用气量的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m和n的值；
(2)在甲小区抽取的用户中，记3月份用气量高于他们的平均用气量的户数为p1.在乙小区抽取的用户中，记3月份用气量高于他们的平均用气量的户数为p2.比较p1，p2的大小，并说明理由；
(3)估计甲乙两小区中用气量不小于20立方米的总户数.
22.(本小题12分)
观察下列一组等式的化简，然后解答后面的问题：
1 2+1=1×( 2−1)( 2+1)( 2−1)= 2−1；
1 3+ 2=1×( 3− 2)( 3+ 2)( 3− 2)= 3− 2；
1 4+ 3=1×( 4− 3)( 4+ 3)( 4− 3)= 4− 3=2− 3；
(1)发现：从上述化简中找出规律1 n+1+ n=______(n为正整数)；
(2)应用：利用这一规律计算：(1 2+ 1+1 3+ 2+1 4+ 3+⋯+1 2024+ 2023)×( 2024+1)；
(3)拓展：12 1+1 2+13 2+2 3+14 3+3 4+⋯+12029 2028+2028 2029.
23.(本小题14分)
已知矩形纸片ABCD，AB=a，BC=b(a>b).如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD边上的点A′处，折痕DE交边AB于点E.再将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，使点C落在AD边上的点C′处，点B落在点B′处，折痕EF交边DC于点F，连结EC′，如图2.
(1)求证：AC′=B′E.
(2)若a=8，b=6，求折痕EF的长.
(3)当EC′=EF时，求出a，b之间应满足的数量关系.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、 12= 4×3=2 3，不是最简二次根式；
B、 13是最简二次根式；
C、 a2=|a|，不是最简二次根式；
D、 53，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式；
故选：B.
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2.【答案】D
【解析】解：x2−8x+9=0，
x2−8x+16=−9+16，
(x−4)2=7，
故选：D.
首先移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．
本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，AC=2，BC=4，
∴AB= AC2+BC2= 52+122=13(m)，
则AC+BC−AB=5+12−13=4(m)，
故选：B.
在Rt△ABC中，直接利用勾股定理得出AB的长，再利用AC+BC−AB进而得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：25×20%+10×30%+18×50%=17，
∴该餐厅这个月销售盒饭的平均单价为17元．
故选：A.
根据加权平均数的计算方法，分别用单价乘以相应的百分比，计算即可得解；
本题考查扇形统计图及相关计算，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
5.【答案】C
【解析】解：A、由同旁内角互补，两直线平行判定上下一组对边平行，不能判定左右一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故A不符合题意；
B、由同旁内角互补，两直线平行判定左右一组对边平行，不能判定上下一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故B不符合题意；
C、由同旁内角互补，两直线平行判定上下一组对边平行，并且上下一组对边相等，判定四边形是平行四边形，故C符合题意；
D、四边形的左右一组对边相等，但上下一组对边不一定相等，不能判定四边形是平行四边形，故D不符合题意．
故选：C.
由平行四边形的判定方法，即可判定．
本题考查平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．
6.【答案】B
【解析】解：∵乙和丁的用时较小，
∴从乙和丁中选择一人参加比赛，
∵s乙2∴选择乙参赛，
故选：B.
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7.【答案】D
【解析】解：A、正六边形的内角是120∘，正三角形内角是60∘，能组成360∘，所以能镶嵌成一个平面，故本选项不合题意；
B、正三角形的内角为60∘，正方形的内角为90∘，能组成360∘，所以能镶嵌成一个平面，故本选项不合题意；
C、正方形的内角是90∘，正八边形内角是135∘，能组成360∘，所以能镶嵌成一个平面，故本选项不符合题意；
D、正六边形的内角是120∘，正八边形内角是135∘，不能组成360∘，所以不能镶嵌成一个平面，故本选项符合题意．
故选：D.
根据平面镶嵌的同一个顶点处的各内角的和等于360∘对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题主要考查了平面镶嵌，正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360∘.
8.【答案】A
【解析】解：依题意得(1+a%)2=2.
故选：A.
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，据此列出方程选择答案即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
9.【答案】B
【解析】解：∵m= 2x−1+1成立，
∴ 2x−1≥0，2x−1≥0，
∴m= 2x−1+1≥1，x≥12，
故①③正确，④不正确；
②当x=5时，m= 10−1+1=3+1=4，
故②不正确；
故正确的有2个，
故选：B.
根据二次根式成立的条件，二次根式的性质，即可一一判定．
本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式的相关知识是解决本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：从图象看，当点P到达点B时，△AOP的面积为6，此时△AOP的高为12BC，
∴△AOP的面积=12×AB×(12BC)=6，
解得AB⋅BC=24①，
而从图②看，AB+BC=10②，
由①②并解得AB=6，BC=4，
故选：A.
由图象可知：①当点P到达点B时，△AOP的面积为6，②AB+BC=10，利用三角形的面积公式进行计算即可．
本题考查动点问题的函数图象．通过函数图象得到相关信息和数据是解题的关键．
11.【答案】72
【解析】解：正五边形的一个外角=360∘5=72∘，
故答案为：72.
根据多边形的外角和是360∘，即可求解．
本题考查多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和是360∘是关键．
12.【答案】−5
【解析】解：把x=m代入x2−2x−2=0，得
m2−2m−2=0，
则m2−2m=2.
所以−4m2+8m+3=−4(m2−2m)+3=−4×2+3=−5.
故答案为：−5.
根据一元二次方程的解的定义，将x=m代入已知方程后即可求得所求代数式的值．
本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．还考查了代数式求值．
13.【答案】36步
【解析】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了4t步，甲走了6t步，甲斜向北偏东方向走了(6t−10)步，
由勾股定理得：102+(4t)2=(6t−10)2，
整理得：t2−6t=0，
解得：t1=6，t2=0(不合题意，舍去)，
∴6t=6×6=36，
即甲走的步数是36步，
故答案为：36步．
设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了4t步，甲走了6t步，甲斜向北偏东方向走了(6t−10)步，根据勾股定理列出方程，解之取符合题意的值即可．
本题考查了勾股定理以及一元二次方程的应用，根据勾股定理列出一元二次方程是解题的关键．
14.【答案】52 x1=−4，x2=1
【解析】解：设x2+y2=m，则2x2+2y2=2m，
∴(2x2+2y2−1)(x2+y2)=3可转化为：(2m−1)⋅m=3，
整理得：2m2−m−3=0，
即(2m−3)(m+1)=0，
∴2m−3=0，m+1=0，
由2m−3=0，解得：m=32，
由m+1=0，解得：m=−1，
当m=32时，x2+y2=32，
∴3x2+3y2−2=3(x2+y2)−2=3×32−2=52，
当m=−1时，x2+y2=−1<0，不合题意，舍去；
∴3x2+3y2−2的值为52；
(2)∵一元二次方程a(x+m)2+n=0的两根分别为−5，3，
∴a(−5+m)2+n=0①，a(3+m)2+n=0②，
①-②，得：a(−5+m)2−a(3+m)2=0，
∵a≠0，
∴(−5+m)2−(3+m)2=0，
∴(−5+m+3+m)(−5+m−3−m)=0，
即(−2+2m)×(−8)=0，
∴−2+2m=0，
∴m=1，
将m=1代入①，得：a(−5+1)2+n=0，
∴n=−16a，
将m=1，n=−16a代入a( x2+3x+m+1)2+n=0(a≠0)，得：a( x2+3x+2)2−16a=0，
∵a≠0，
∴( x2+3x+2)2=16，
∴ x2+3x+2=4或 x2+3x+2=−4，
由 x2+3x+2=4，得： x2+3x=2，
∴x2+3x=4，即x2+3x−4=0，
∴x1=−4，x2=1，
由 x2+3x+2=−4，得： x2+3x=−6，该方程无实数解，
∴原方程的解为：x1=−4，x2=1，
(1)设x2+y2=m，则2x2+2y2=2m，原方程可转化为(2m−1)⋅m=3，再解这个方程得m=32，m=−1，进而得x2+y2=32，x2+y2=−1<0，不合题意，舍去，据此可得3x2+3y2−2的值；
(2)先根据一元二次方程a(x+m)2+n=0的两根分别为−5，3，得a(−5+m)2+n=0①，a(3+m)2+n=0②，由此解出m=1，n=−16a，进而得a( x2+3x+2)2−16a=0，再根据a≠0得( x2+3x+2)2=16，进而得 x2+2x+2=4或 x2+3x+2=−4，然后由 x2+2x+2=4，得 x2+3x=2，进而得x2+3x=4，据此可解出x，再由 x2+3x+2=−4，得： x2+3x=−6，该方程无实数解，由此可得出原方程的解．
此题主要考查了换元法解方程，解无理方程，理解换元法，理解一元二次方程的解，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，以及解无理方程的方法和步骤是解决的关键．
15.【答案】解：原式=2 3−3 3+ 3−2−1
=−3.
【解析】根据实数的运算方法进行计算即可．
本题考查实数的运算，掌握实数的运算方法是正确解答的关键．
16.【答案】解：如图，作BF⊥CD于点F，BE⊥DA交DA的延长线于点E，则∠E=∠BFC=90∘，
∵∠E=∠D=∠BFD=90∘，
∴四边形BEDF是矩形，
∵∠ABC=∠ADC=90∘，
∴∠C+∠BAD=360∘−2×90∘=180∘，
∴∠BAE+∠BAD=180∘，
∴∠BAE=∠C，
在△ABE和△CBF中，
∠BAE=∠C∠E=∠BFCAB=CB，
∴△ABE≌△CBF(AAS)，
∴BE=BF，AE=CF，
∴四边形BEDF是正方形，
∴DE=DF，
∵AD=4，DC=2 21，
∴4+AE=2 21−CF=2 21−AE，
∴AE= 21−2，
∴BE=DE= 21−2+4= 21+2，
∴AB= AE2+BE2= ( 21−2)2+( 21+2)2=5 2，
∴AB的长为5 2.
【解析】作BF⊥CD于点F，BE⊥DA交DA的延长线于点E，可证明△ABE≌△CBF，得BE=BF，AE=CF，再证明四边形BEDF是正方形，则DE=DF，所以4+AE=2 21−CF=2 21−AE，求得AE= 21−2，BE=DE= 21+2，则AB= AE2+BE2=5 2，也可以用另一种作辅助线的方法，即连接AC，求得AC=10，则2AB2=102，求得AB=5 2.
此题重点考查同角的补角相等、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．此外，此题还有另一种解法：连接AC，求得AC=10，则2AB2=102，求得AB=5 2.
17.【答案】证明：如图：连接BD，交AC于O点．
∵四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC、BD的交点．
∴AO=CO.
又∵点E、F在对角线AC上，且AF=CE，
∴AF−AO=CE−CO，即FO=EO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，
∵FO=EO，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【解析】连接BD，交AC于O点．由平行四边形的性质可得AO=CO，进而得到FO=EO；最后根据对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明结论．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．
18.【答案】解：(1)根据题意得Δ=62−4c≥0，
解得c≤9；
故c的取值范围是c≤9；
(2)由根与系数的关系关系可得：x1+x2=−6，x1⋅x2=c，
∵方程x2+6x+c=0的两个根的差为2，
∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1⋅x2=4，
即36−4c=4，
解得：c=8.
故c的值为8.
【解析】(1)根据判别式的意义得到Δ=62−4c≥0，然后解不等式即可；
(2)根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，根据方程x2+6x+c=0的两个根的差为2，则(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1⋅x2=4，代入两根之和与两根之积，即可求得c的值．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根；也考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
19.【答案】解：(1)∵四边形ACBD面积为6，
∴平行四边形的底可为3，高可为2，
如图所示(答案不唯一)；
(2)∵四边形ACBD为菱形，
∴四边形ACBD对角线垂直平分，
∴作出AB的垂直平分线，
即垂直平分线与方格相交的顶点即为所求的点，
如图所示，
在直角△ABD中，
BD= 32+12= 10，
∴菱形的边长为 10.
【解析】(1)作一个底为3，高为2的平行四边形即可；
(2)作出AB的垂直平分线，即垂直平分线与方格相交的顶点即为所求的点．
本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
20.【答案】解：(1)设矩形ABCD的边AB=xm，则边BC=70−2x+2=(72−2x)m.
根据题意，得x(72−2x)=640，
化简，得x2−36x+320=0解得x1=16，x2=20，
当x=16时，72−2x=72−32=40；
当x=20时，72−2x=72−40=32.
答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈；
(2)答：不能，
理由：由题意，得x(72−2x)=650，
化简，得x2−36x+325=0，
Δ=(−36)2−4×325=−4<0，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到650m2.
【解析】(1)根据BC=栅栏总长−2AB+2，再利用矩形面积公式即可求出；
(2)先利用矩形面积公式得到x(72−2x)=650，再根据Δ=(−36)2−4×325=−4<0，进行判断即可.
本题考查了一元二次方程的应用，找到周长等量关系是解决本题的关键．
21.【答案】解：(1)根据甲小区用气量频数分布表可知m=30−3−6−10−3=8，
将乙小区用气量的数据从小到大排列，处在中间位置的两个数是16和17，因此中位数n=16+172=16.5，
答：表中m和n的值分别为8和16.5；
(2)p1>p2，理由：
甲小区中位数高于平均数，则p1至少为15户，
乙小区高于平均数的户数p2=5+6+2=13(户)，
∴p1>p2；
(3)由题意得：300×8+330+300×6+230=110+80=190(户)，
答：估计甲乙两小区中用气量不小于20立方米的总户数为190户．
【解析】(1)根据甲小区用气量频数分布表可以求出m的值，根据中位数的定义可以求出n的值；
(2)根据中位数以及平均数的定义进行判断即可；
(3)求出甲乙两小区中用气量不小于20立方米的用户所占的百分比即可求出答案．
本题考查频数(率)分布表、频数分布直方图、平均数、中位数，掌握平均数和中位数的意义是解答本题的关键．
22.【答案】 n+1− n
【解析】解：(1)由已知等式可得1 n+1+ n= n+1− n，
故答案为： n+1− n；
(2)原式=( 2−1+ 3− 2+ 4− 3+⋅⋅⋅+ 2024− 2023)×( 2024+1)
=( 2024−1)×( 2024+1)
=( 2024)2−1
=2024−1
=2023；
(3)∵12 1+1 2=2 1−1 22=1− 22；
13 2+2 3=3 2−2 36= 22− 33；
14 3+3 4=4 3−3 412= 33− 44；
⋅⋅⋅
12029 2028+2028 2029= 20282028− 20292029
∴原式=1− 22+ 22− 33+ 33− 44+⋅⋅⋅+ 20282028− 20292029
=1− 20292029.
(1)利用“相邻两正整数的算术平方根的和的倒数等于它们的算术平方根的差”求解；
(2)先分母有理化，再合并同类二次根式，然后利用平方差公式计算；
(3)先把每个式子化为两数之差，然后合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．也考查了数字规律型问题的解决方法．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADA′=90∘，
由折叠的性质可知：∠A=∠DA′E=90∘，AE=A′E，
∴四边形AEA′D是矩形，
∵AE=A′E，
∴四边形AEA′D是正方形；
在矩形ABCD中，AD=BC，∠A=∠B=90∘，
由折叠的性质可知BC=B′C′，∠B=∠B′=90∘，
∴AE=B′C′，
∵EC′=C′E，
在△AEC′与△B′C′E中，
EC′=C′EAE=B′C′，
∴△AEC′≌△B′C′E(HL)，
∴AC′=B′E；
(2)解：过点E作EM⊥CD于点D，如图所示：
∵∠B=∠C=∠CME=90∘，
∴四边形EBCM是矩形，
∴BE=CM，BC=EM=6，
∵AC′=B′E=BE，AD=AE=6，AB=8，
∴BE=2=B′E=AC′=CM，
∴C′D=4，
设CF=C′F=x，则DF=8−x，
在Rt△DC′F中，由勾股定理得：x2=42+(8−x)2，
解得：x=5，
∴FM=CF−CM=3，
∴EF= FM2+EM2=3 5，
∴折痕EF的长为3 5；
(3)解：∵AE=AD=AB−BE，
∴BE=AB−AD=a−b=AC′，
过点E作EN⊥CD于点N，连接EC，如图所示：
由折叠可知EC=EC′=EF，C′F=CF，
∴FN=CN=BE=a−b，
∴CF=2CN=2a−2b=C′F，
∴DF=CD−CF=2b−a，
∵AC′=BE=a−b，
∴DC′=AD−AC′=2b−a，
∴DF=DC′=2b−a，
∴△DC′F是等腰直角三角形，
∴C′F= 2DF，
即2a−2b= 2(2b−a)，
∴a= 2b.
【解析】(1)由题意易得四边形AEA′D是矩形，然后根据折叠的性质可求证；
(2)过点E作EM⊥CD于点D，推出四边形EBCM是矩形，BE=CM，BC=EM=6，进而BE=2=B′E=AC′=CM，设CF=C′F=x，则DF=8−x，在Rt△DC′F中，由勾股定理得：x2=42+(8−x)2，解得x，根据勾股定理求出EF；
(3)过点E作EN⊥CD于点N，连接EC，推出△DC′F是等腰直角三角形，C′F= 2DF，求解即可．
本题是四边形综合题，主要考查折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、正方形的性质与判定及勾股定理，解题的关键是熟练掌握矩形的性质、等腰三角形的性质．甲
乙
丙
丁
平均数x−(秒)
51
50
51
50
方差S2(秒 2)
3.5
3.5
14.5
15.5
分组
5≤x<10
10≤x<15
15≤x<20
20≤x<25
25≤x<30
频数
3
6
10
m
3
小区
平均数
中位数
众数
甲
17.4
18
13
乙
17.1
n
18