2023-2024学年安徽省宿州市泗县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2023-2024学年安徽省宿州市泗县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称轴图形的是( )
A. B. C. D.
2.若x+aay，则( )
A. x0B. xy，a>0D. x>y，a<0
3.若将分式3x2x+5y中的x，y都扩大10倍，则分式的值( )
A. 扩大为原来的10倍B. 缩小为原来的110C. 缩小为原来的1100D. 不改变
4.若正多边形的一个外角是60∘，则这个正多边形的内角和是( )
A. 540∘B. 720∘C. 900∘D. 1080∘
5.不等式组2x>4x2−1≤1的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D. V
6.如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3)，则不等式2xA. x<32
B. x<3
C. x>32
D. x>3
7.如图，在▱ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，如果∠BCE=35∘，则∠D的度数为( )
A. 55∘
B. 35∘
C. 25∘
D. 30∘
8.若关于x的方程x−1x−2=mx−2有增根，则m的值是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
9.用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假设( )
A. 三个内角都是锐角B. 三个内角都是钝角
C. 三个内角都不是锐角D. 三个内角都不是钝角
10.如图，∠AOB=60∘，C、D是边OA上的两点，且OD=8，CD=2，点P是OB上的一动点，连接PD，点Q是PD的中点，连接CQ，则CQ的最小值为( )
A. 1
B. 3
C. 32
D. 2
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.若不等式2ax|a−1|>5是关于x的一元一次不等式，则a=______.
12.把多项式xy2−9x分解因式的结果是______.
13.等腰三角形有一个角度数为70∘，则这个等腰三角形的底角的度数为______.
14.如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，∠DAC=45∘，AC=2，则BD的是______.
15.若不等式组x0无解，则实数a的取值范围是______.
16.若关于x的方程2x+mx−1=1的解是正数，则m的取值范围是______.
17.如图，在直角三角形ABC中，∠A=90∘，BD平分∠ABC，交AC于点D，若AD=2，BC=8，则△BCD的面积为______.
18.如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，∠BAC=30∘，∠CAD=15∘，AC=2 3+2，则BD的长为______.
三、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
先化简，再求值：(3xx−1−xx+1)÷xx2−1，其中x从不等式组x−2(x−1)≥16x+10>3x+1的解集中选取一个合适的数.
20.(本小题10分)
△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)将△ABC向右平移5个单位长度，同时向下平移4个单位长度得到△A1B1C1；
(2)将△ABC绕点A顺时针旋转90∘得到△AB2C2，连接A1C2，直接写出A1C2的长．
21.(本小题12分)
如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，连接AE，CF.求证：AE=CF.
22.(本小题12分)
端午节吃粽子，是中国传统习俗.某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销.根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同.根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
23.(本小题14分)
已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB=∠MON=90∘.
(1)如图1，连接AM，BN，求证：AM=BN；
(2)将△MON绕点O顺时针旋转，如图2，当点M恰好在AB边上时，求证AM2+BM2=2OM2.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故选：D.
根据中心对称图形以及轴对称图形的定义即可作出判断．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，正确理解定义是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵x+a∴由不等式的性质1，得x∵ax>ay，
∴a<0.
故选B.
由不等式的性质1，x主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】D
【解析】解：由题意得：3x×102x×10+5y×10=3x×10(2x+5y)×10=3x2x+5y，
∴若将分式3x2x+5y中的x，y都扩大10倍，则分式的值不变，
故选：D.
根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了多边形的内角和和外角和定理：n边形的内角和为(n−2)×180∘；n边形的外角和为360∘.据此解题.
【解答】
解：∵多边形的每个外角都是60∘，
∴这个多边形的边数36060=6，
∴这个多边形的内角和(6−2)×180∘=720∘.
故选B.
5.【答案】C
【解析】解：由2x>4得：x>2，
由x2−1≤1得：x≤4，
表示到数轴上如下：
，
故选：C.
先求出每个不等式的解集，后把解集表示到数轴上即可．
本题考查了一元一次不等式组的解法，解集的数轴表示，熟练求得不等式组的解集是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查的是用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系是解决问题的关键．
先根据函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3)，求出m的值，从而得出点A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x【解答】
解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3)，
∴3=2m，
m=32，
∴点A的坐标是(32,3)，
∴不等式2x故选A.
7.【答案】A
【解析】解：∵CE⊥AB，∠BCE=35∘，
∴∠B=90∘−35∘=55∘，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=55∘.
故选：A.
首先利用直角三角形的性质得出∠B的度数，再利用平行四边形的对角相等，进而得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：方程两边都乘(x−2)，得
x−1=m，
∵方程有增根，
∴最简公分母x−2=0，即增根是x=2，
把x=2代入整式方程，得m=1.
故选：B.
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x−2=0，所以增根是x=2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
9.【答案】C
【解析】解：反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，先假设三个内角都不是锐角，
故选：C.
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
10.【答案】B
【解析】解：在OD上取点M，使CM=CD，连接PM，如图所示，
∵点C为DM的中点，点Q为DP的中点，
∴CQ是△DMP的中位线，
∴CQ=12MP.
过点M作OB的垂线，垂足为N，
则当点P在点N处时，MP取得最小值，即为MN的长．
∵CD=MC=2，OD=8，
∴OM=8−2−2=4.
∵∠AOB=60∘，
∴∠OMN=30∘，
∴ON=12OM=2，
∴MN= 42−22=2 3，
则MP的最小值为2 3，
∴CQ的最小值为 3.
故选：B.
在OD上取点M，使CM=CD，进而得出CQ为△DMP的中位线，将CQ的最小值转化为PM的最小值，最后根据垂线段最短即可解决问题．
本题主要考查了三角形中位线定理及垂线段最短，熟知三角形的中位线定理是解题的关键．
11.【答案】2
【解析】解：由题意得：|a−1|=1，且2a≠0，
解得：a=2，
故答案为：2.
根据一元一次不等式的定义可得：|a−1|=1，且a−1≠0，再解即可．
此题主要考查了一元一次不等式的定义，关键是掌握含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
12.【答案】x(y+3)(y−3)
【解析】解：xy2−9x
=x(y2−9)
=x(y+3)(y−3)，
故答案为：x(y+3)(y−3).
先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
13.【答案】70∘或55∘
【解析】解：分两种情况：
①当70∘的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数=(180∘−70∘)÷2=55∘；
②当70∘的角为等腰三角形的底角时，其底角为70∘，
故它的底角度数是50∘或65∘.
故答案为：70∘或55∘.
由于不明确70∘的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分70∘的角是顶角和底角两种情况讨论．
本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，用分类讨论的思想进行分析是解题的关键．
14.【答案】2 5
【解析】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴AO=CO=1，
∵∠DAC=45∘，
∴∠ACB=45∘，
∵AB⊥AC，
∴AB=AC=2，
∴OB= 12+22= 5，
∴BD=2BO=2 5，
故答案为：2 5.
利用平行四边形的性质和勾股定理易求AO的长，进而可求出BO，BD的长．
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．
15.【答案】a≤2
【解析】解：由x−2>0得：x>2，
又x∴a≤2，
故答案为：a≤2.
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到及不等式组的解集可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】m<−2且m≠−4
【解析】解：∵2x+mx−2=1，
∴x=−m−2，
∵关于x的方程2x+mx−2=1的解是正数，
∴−m−2>0，
解得m<−2，
又∵x=−m−2≠2，
∴m≠−4，
∴m的取值范围是：m<−2且m≠−4.
故答案为：m<−2且m≠−4.
首先根据2x+mx−2=1，可得x=−m−2；然后根据关于x的方程2x+mx−2=1的解是正数，求出m的取值范围即可．
此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
17.【答案】8
【解析】解：过点D作DE⊥BC于E，如下图所示：

∵BD平分∠ABC，∠A=90，AD=2，
∴DE=AD=2，
∵BC=8，
∴S△BCD=12BC⋅DE=12×8×2=8，
故答案为：8.
过点D作DE⊥BC于E，由角平分线性质得DE=AD=2，再由三角形的面积公式求出△BCD的面积即可．
此题主要考查了角平分线性质，三角形的面积，熟练掌握角平分线性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．
18.【答案】2 2
【解析】解：作CE⊥AD交AD的延长线于点E，在AE上取点F，连接CF，使CF=AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAC=30∘，∠CAD=15∘，
∴CD//AB，AD//BC，
∴∠EDC=∠BAD=∠BAC+∠CAD=30∘+15∘=45∘，
∵∠FCA=∠CAD=15∘，∠E=90∘，
∴∠CFE=∠FCA+∠CAD=15∘+15∘=30∘，∠ECD=∠EDC=45∘，
∴CF=AF=2CE，DE=CE，
∴EF= CF2−CE2= (2CE)2−CE2= 3CE，
∵AE2+CE2=AC2，且AE= 3CE+2CE，AC=2 3+2，
∴( 3CE+2CE)2+CE2=(2 3+2)2，
解得CE= 2或CE=− 2(不符合题意，舍去)，
∴DE=CE= 2，AE= 3× 2+2× 2= 6+2 2，
∴BC=AD=AE−DE= 6+2 2− 2= 6+ 2，
作BG⊥AD于点G，则∠BGD=90∘，
∵BG//CE，GE//BC，
∴四边形BCEG是平行四边形，
∴BG=CE= 2，GE=BC= 6+ 2，
∴DG=GE−DE= 6+ 2− 2= 6，
∴BD= BG2+DG2= ( 2)2+( 6)2=2 2，
故答案为：2 2.
作CE⊥AD交AD的延长线于点E，在AE上取点F，连接CF，使CF=AF，由CD//AB，得∠EDC=∠BAD=∠BAC+∠CAD=45∘，而∠FCA=∠CAD=15∘，∠E=90∘，则∠CFE=30∘，∠ECD=∠EDC=45∘，所以CF=AF=2CE，DE=CE，则EF= 3CE，由勾股定理得( 3CE+2CE)2+CE2=(2 3+2)2，求得DE=CE= 2，则AE= 6+2 2，所以BC=AD= 6+ 2，作BG⊥AD于点G，则BG=CE= 2，GE=BC= 6+ 2，所以DG= 6，则BD= BG2+DG2=2 2，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、直角三角形中30∘角所对直角边等于斜边的一半、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：原式=(3xx−1−xx+1)÷xx2−1
=2x2+4xx2−1⋅x2−1x
=2x+4，
解不等式组x−2(x−1)≥16x+10>3x+1得，−3又∵x≠0和±1，
∴x=−2时，原式=0.
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式组确定其整数解，并结合分式有意义的条件确定x的值，继而代入计算即可得出答案．
本题主要考查分式的化简求值、解一元一次不等式组，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及解一元一次不等式组、分式有意义的条件．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△AB2C2即为所求，A1C2= 32+62=3 5.
【解析】(1)根据平移的性质即可将△ABC向右平移5个单位长度，同时向下平移4个单位长度得到△A1B1C1即可；
(2)根据旋转的性质即可将△ABC绕点A顺时针旋转90∘得到△AB2C2，进而求出A1C2的长．
本题考查了平移变换、旋转变换作图，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB//DC，OD=OB，
∴∠ABE=∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠ABF=∠CDEBE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF.
【解析】利用SAS证明△ABE≌△CDF后利用全等三角形对应边相等即可证得结论．
考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)设该商场节后每千克A粽子的进价是x元，则节前每千克A粽子的进价是(x+2)元，
由题意得：240x+2=200x，
解得：x=10，
经检验，x=10是原分式方程的解，且符合题意，
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；
(2)设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进(400−m)千克A粽子，
由题意得：(10+2)m+10(400−m)≤4600，
解得：m≤300，
设总利润为w元，
由题意得：w=(20−12)m+(16−10)(400−m)=2m+2400，
∵2>0，
∴w随着m的增大而增大，
∴当m=300时，w取得最大值=2×300+2400=3000，
答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．
【解析】(1)设该商场节后每千克A粽子的进价是x元，则节前每千克A粽子的进价是(x+2)元，根据节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
(2)设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进(400−m)千克A粽子，根据总费用不超过4600元，列出一元一次不等式，解得m≤300，再设总利润为w元，由题意列出w与m的函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】证明：(1)如图1所示，
∵∠AOB=∠MON=90∘，
∴∠AOB+∠AON=∠MON+∠AON，
即∠AOM=∠BON，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA=OB，OM=ON，
∴△AOM≌△BON(SAS)，
∴AM=BN；
(2)如图2所示，连接BN，
∵∠AOB=∠MON=90∘，
∴∠AOB−∠BOM=∠MON−∠BOM，
即∠AOM=∠BON，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA=OB，OM=ON，
在△AOM和△BON中，
OA=OB∠AOM=∠BONOM=ON，
∴△AOM≌△BON(SAS)，
∴∠MAO=∠NBO=45∘，AM=BN，
∴∠MBN=90∘，
∴MB2+BN2=MN2，
∵△MON是等腰直角三角形，
∴MN2=2ON2，
∴AM2+BM2=2OM2.
【解析】(1)通过代换得对应角相等，再根据等腰直角三角形的性质得对应边相等，利用“SAS”证明△AOM≌△BON，即可得到AM=BN；
(2)连接BN，根据等腰直角三角形的性质，利用“SAS”证明△AOM≌△BON，得对应角相等，对应边相等，从而可证∠MBN=90∘，再根据勾股定理，结合线段相等进行代换，即可得出结论．
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转等知识点，抓住图形旋转中不变的量，巧妙构造直角三角形是解决问题的关键．