2023-2024学年安徽省淮北市五校联考八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年安徽省淮北市五校联考八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.“长城是中华民族的骄傲”的英文是“TheGreatWallistheprideftheChinesenatin”.在这句英文中，字母“i”出现的频率是( )
A. 17B. 37C. 110D. 18
2.适量的运动有助于身体健康.经常运动的人在静息状态下心率的范围是60次/分∼80次/分.某校篮球队15名学生的心率测量数据如下表：
则这15名学生心率的中位数是( )
A. 65次/分B. 67.5次/分C. 70次/分D. 72.5次/分
3.已知 3x−6+ 6−3x+y=2024，则 2024xy的值为( )
A. 2024 3B. 2024 2C. 2024D. 2025
4.象棋是中国的传统棋种，如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是( )
A. 5B. 5C. 13D. 17
5.下列运算正确的是( )
A. 6− 4= 2B. 2 5×3 5=6 5
C. (3− 10)(3+ 10)=1D. 18− 8= 2
6.若关于x的一元二次方程(a−1)x2+x−12=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )
A. a≠1B. a>12且a≠1C. a≥12且a≠1D. a>1
7.生活中，可以用身体上的尺子：肘、拃、步长等来估计距离.某校教室新安装了一批屏幕为矩形的多媒体设备，某同学想知道屏幕有多大，他用手掌测量得多媒体屏幕的长是12拃，宽是5拃，请你帮他计算出多媒体屏幕的对角线长度大约是(1拃≈20cm)( )
A. 100cmB. 240cmC. 260cmD. 340cm
8.某校举办了运动会，在200m赛跑中，有5位同学的成绩如下表所示，其中有两个数据被墨水遮盖了，那么被遮盖的两个数据依次是( )
A. 30，4B. 30，2C. 32，4D. 32，2
9.如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF，CF.下列结论中错误的是( )
A. ∠DCF=12∠BCDB. EF=CF
C. ∠DFE=3∠AEFD. BC=BE
10.如图，在正方形ABCD中，M，N是对角线BD上的两点，且∠MAN=45∘.若BM=1，DN=2，则MN的长为( )
A. 5B. 3 5C. 2 5D. 5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.计算： 3× 8− 6=______.
12.睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容.为了了解学生的睡眠情况，张老师统计了八(3)班40名学生每天的睡眠时间，结果如下表所示.该班学生每天的平均睡眠时间是______h.
13.在△ABC中，∠C=90∘，AB=c，BC=a，AC=b.若b−a=6,c=3 6，则△ABC的面积为______.
14.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=120∘.
(1)菱形ABCD的面积为______.
(2)若点E，F分别在AB，CD上，且DF=BE，连接DE，AF，则DE+AF的最小值为______.
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
解方程.
(1)3x2+x−4=0.
(2)(3x−2)2=(2x−3)2.
16.(本小题8分)
计算.
(1) 6× 12+ 12− 27.
(2)( 7+ 5)( 7− 5)+( 3−2)2.
17.(本小题8分)
如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”．
(1)如图，在△ABC中，AB=AC= 5，BC=2，求证：△ABC是“美丽三角形”；
(2)在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=2 3，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长．
18.(本小题8分)
若关于x的一元二次方程(x−2)(x−3)=m有实数根x1，x2，且x1≠x2.
(1)求m的取值范围.
(2)若x12x2+x1x22=15，求m的值.
19.(本小题10分)
2023年10月4日，杭州第19届亚运会龙舟项目在温州龙舟运动中心开赛.某商店为满足龙舟爱好者的需求，特推出了龙舟模型.已知该模型每件成本30元，当模型售价为50元时，10月售出300件，11月、12月销量持续走高，假如12月售出507件.
(1)求11月、12月这两个月的月平均增长率.
(2)为了让利于爱好者，商店决定在每月售出507件的基础上降价销售.已知模型单价每降低1元，可多售出5件.若要使该商店仍能获利5570元，则每件模型应降价多少元？
20.(本小题10分)
观察下列等式.
第1个等式：(22−1)2+42=52；
第2个等式：(32−1)2+62=102；
第3个等式：(42−1)2+82=172；
第4个等式：(52−1)2+102=262.
(1)请用含n(n为正整数，且n>1)的等式表示上面的规律，并证明其正确性.
(2)若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数(例如，3，4，5).现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用(1)中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由.
21.(本小题12分)
像( 5+2)( 5−2)=1, a⋅ a=a(a≥0),( b+1)( b−1)=b−1(b≥0)，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”.例如， 5与 5, 2+1与 2−1,2 3+3 5与2 3−3 5等都是互为“有理化因式”.进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号.
(1)化简：①23 2=______；②1 7− 5=______.
(2)计算：(1 2+1+1 3+ 2+1 4+ 3+⋯+1 2025+ 2024)( 2025+1).
(3)已知a= 2023− 2022,b= 2024− 2023,c= 2025− 2024，试比较a，b，c的大小，并说明理由.
22.(本小题12分)
为了“弘扬载人航天精神，厚植爱国主义情怀”，某校团委从八、九年级学生中各抽取10名进行航天知识竞赛.为便于统计成绩，采用了取整数的计分方式，满分10分.此次竞赛的成绩如下表所示：
(1)若八年级学生和九年级学生的平均成绩都是8分，则表中的a=______.
(2)八年级学生成绩的中位数是多少？
(3)若八年级学生成绩的方差是1.2，请求出九年级学生成绩的方差，并判断哪个年级学生的成绩更为稳定.
23.(本小题14分)
如图，在正方形ABCD中，P为BD的延长线上一点，连接PA，过点P作PE⊥PA，交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F.
(1)求证：△BEF为等腰直角三角形.
(2)求证：①CE= 2PD；
②BD=2PF.
(3)若BP=BE，求证：PF=( 2+1)DF.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得，总共有40个，字母“i”出现的次数为：4次，
故字母“i”出现的频率为440=110.
故选：C.
找出字母“i”出现的次数，及总的字母数，再由频率=频数总数即可得出答案．
本题考查了频数与频率，解答本题的关键是掌握频数是指每个对象出现的次数．
2.【答案】C
【解析】解：∵共有15名学生，中位数是第8个数，
∴这15名学生心率的中位数是70次/分；
故选：C.
根据中位数的定义直接求解即可．
本题考查了确定一组数据的中位数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意知：3x−6≥06−3x≥0.
所以x=2.
所以y=2024，
所以 2024xy= 2024×2×2024=2024 2.
故选：B.
根据二次根式有意义的条件求得x=2，则y=2024，然后代入求值即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
4.【答案】A
【解析】解：如图，当马走一步之后的落点与“帅”的距离最大，
∴当马走一步之后的落点与“帅”的最大距离为： 32+42=5，
故选：A.
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A. 6− 4= 6−2，所以A选项不符合题意；
B.2 5×3 5=6×5=30，所以B选项不符合题意；
C.(3− 10)(3+ 10)=9−10=−1，所以C选项不符合题意；
D. 18− 8=3 2−2 2= 2，所以D选项符合题意．
故选：D.
利用二次根式的减法运算对A选项进行判断；利用二次根式的乘法法则对B选项进行判断；利用平方差公式对C选项进行判断；利用二次根式的减法运算对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、减法法则是解决问题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：因为关于x的一元二次方程(a−1)x2+x−12=0有两个不相等的实数根，
所以Δ=12−4×(a−1)×(−12)>0，且a−1≠0，
解得a>12且a≠1.
故选：B.
利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵多媒体屏幕的长是12拃，宽是5拃，1拃≈20cm，
∴多媒体屏幕的长≈12×20=240(cm)，宽≈5×20=100(cm)，
∴多媒体屏幕的对角线长度≈ 2402+1002=260(cm)，
即多媒体屏幕的对角线长度约260cm，
故选：C.
根据勾股定理求出多媒体屏幕的对角线长度即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：丙的成绩为33×5−(32+34+36+33)=30，
方差为：15[(32−33)2+(34−33)2+(30−33)2+(36−33)2+(33−33)2]=4.
故选：A.
先根据算术平均数的定义求出丙的成绩，再依据方差的定义列式计算即可．
本题主要考查算术平均数和方差，解题的关键是掌握算术平均数和方差的定义．
9.【答案】D
【解析】解：∵AD=2AB，F是AD的中点，
∴AB=12AD，DF=AF=12AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，DC=AB=DF，
∴∠DFC=∠BCF，∠DFC=∠DCF，
∴∠DCF=∠BCF=12∠BCD，
故A不符合题意；
延长EF、CD交于点G，
∵CD//AB，
∴∠G=∠AEF，
在△DFG和△AFE中，
∠DFG=∠AFE∠G=∠AEFDF=AF，
∴△DFG≌△AFE(AAS)，
∴GF=EF，
∵CE⊥AB于点E，
∴∠ECG=∠BEC=90∘，
∴GF=EF=CF=12EG，
故B不符合题意；
∵∠DFC=∠DCF=∠G=∠AEF，
∴∠DFE=∠CFE+∠DFC=∠CFE+∠AEF，
∵∠CFE=∠DCF+∠G=∠AEF+∠AEF=2∠AEF，
∴∠DFE=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，
故C不符合题意；
∵BE⊥CE，
∴BC>BE，
故D符合题意，
故选：D.
由AD=2AB，F是AD的中点，得AB=DF=AF=12AD，由平行四边形的性质得AD//BC，DC=AB=DF，可证明∠DCF=∠BCF=12∠BCD，可判断A不符合题意；延长EF、CD交于点G，可证明△DFG≌△AFE，得GF=EF，因为∠ECG=∠BEC=90∘，所以GF=EF=CF=12EG，可判断B不符合题意；由∠DFC=∠DCF=∠G=∠AEF，推导出∠DFE=∠CFE+∠DFC=∠CFE+∠AEF=3∠AEF，可判断C不符合题意；由“垂线段最短”可证明BC>BE，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：如图，将△ABM绕点A逆时针旋转90∘得到△ADH，连接NH，
∵∠MAN=45∘，
∴∠MAN=∠HAN=45∘，
∵旋转，
∴AM=AH，∠ABM=∠ADH=45∘，DH=BM=1，
在△AMN和△AHN中，
AM=AH∠MAN=∠HANAN=AN，
∴△AMN≌△AHN(SAS)，
∴MN=HN，
∵∠NDH=∠ADN+∠ADH=45∘+45∘=90∘，
∴MN=HN= DH2+DN2= 5.
故选：D.
将△ABM绕点A逆时针旋转90∘得到△ADH，连接NH，证明△AMN≌△AHN(SAS)，可得MN=HN，最后利用勾股定理有MN=HN= DH2+DN2，即可解题．
本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定定理和正确作辅助线是解题关键．
11.【答案】 6
【解析】解：原式= 3×2 2− 6
=2 6− 6
= 6.
故答案为： 6.
先把 8化简，再进行二次根式的乘法运算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
12.【答案】9.1
【解析】解：8×6+9×24+10×1040=9.1(小时)，
即该班级学生每天的平均睡眠时间是9.1小时．
故答案为：9.1.
根据加权平均数的公式计算即可．
本题考查了加权平均数，掌握加权平均数的定义是解答本题的关键．
13.【答案】92
【解析】解：由题意，∵∠C=90∘，
∴BC2+AC2=AB2.
∴a2+b2=c2=(3 6)2=54.
又(b−a)2=b2−2ab+a2=36，
∴2ab=a2+b2−36=54−36=18.
∴ab=9.
∴S△ABC=12AC⋅BC=12ab=92.
故答案为：92.
依据题意，由∠C=90∘，从而BC2+AC2=AB2，则a2+b2=c2=(3 6)2=54，又(b−a)2=b2−2ab+a2=36，可得ab，进而求出S△ABC=12AC⋅BC=12ab的值，可以得解．
本题主要考查了勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
14.【答案】2 3 4
【解析】解：(1)如图，过点D作DH⊥AB于H，
∵四边形ABCD是菱形，AB=2，∠ABC=120∘，
∴AD=AB=2，∠DAB=60∘，
∴∠ADH=30∘，
∴AH=12AD=1，DH= 3AH= 3，
∴菱形ABCD的面积=AB⋅DH=2 3，
故答案为：2 3；
(2)如图，连接CE，作D关于直线AB的对称点N，连接CN，BN，NE，DB，可得DE=NE，DK=NK，DN⊥AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB//CD，AD//BC，
∵DF=BE，∠ABC=120∘，
∴AE=CF，∠DCB=∠DAB=60∘，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF=CE，
∴DE+AF=NE+CE≥CN，
当E，N，C三点共线时，此时取等于号，DE+AF最小，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120∘，
∴AB=AD，∠ABD=60∘，
∴△ABD为等边三角形，
∴AD=BD，
∵DN⊥AB，
∴AK=BK，
∵DK=NK，∠AKD=∠BKN，
∴△ADK≌△BNK(SAS)，
∴∠NBK=∠DAB=60∘，BN=AD=2，
∵∠ABC=120∘，△ADK≌△BNK，
∴∠NBK=∠DAB=60∘，BN=AD=2，
∵∠ABC=120∘，
∴∠NBK+∠ABC=180∘，
∴N，B，C三点共线，
当E，N，C三点共线时，E，B重合，
∵BN=BC=2，
∴CN=4，即DE+AF最小值为4.
故答案为：4.
(1)由菱形的性质可得AD=AB=2，∠DAB=60∘，由直角三角形的性质可求DH的长，即可求解；
(2)如图，连接CE，作D关于直线AB的对称点N，连接CN，BN，NE，DB，可得DE=NE，DK=NK，DN⊥AB，证明四边形AECF为平行四边形，可得AF=CE，则DE+AF=NE+CE≤CN，当E，N，C三点共线时，此时取等于号，DE+AF最小，证明当E，N，C三点共线时，E，B重合，从而可得答案．
本题主要考查了菱形的性质，轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，作出合适的辅助线是解本题的关键．
15.【答案】解：(1)3x2+x−4=0，
(x−1)(3x+4)=0，
则x−1=0或3x+4=0，
所以x1=1,x2=−43.
(2)(3x−2)2=(2x−3)2，
(3x−2)2−(2x−3)2=0，
(3x−2+2x−3)(3x−2−2x+3)=0，
(5x−5)(x+1)=0，
则5x−5=0或x+1=0，
所以x1=1，x2=−1.
【解析】(1)用因式分解法对所给方程求解即可．
(2)用因式分解法对所给方程求解即可．
本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
16.【答案】解：(1) 6× 12+ 12− 27
= 3+2 3−3 3
=0；
(2)( 7+ 5)( 7− 5)+( 3−2)2
=7−5+3−4 3+4
=9−4 3.
【解析】(1)先计算乘法，再计算加减即可；
(2)利用平方差公式，完全平方公式计算即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．
17.【答案】(1)证明：过点A作AD⊥BC于D，如图1，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=12BC=1，
由勾股定理得，AD= AB2−BD2=2，
∴AD=BC，即△ABC是“美丽三角形”；
(2)解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图2，
BC= BD2−CD2=3，
当BC边上的中线AE等于BC时，
AC2=AE2−CE2，即BC2−(12BC)2=(2 3)2，
解得，BC=4，
综上所述，BC=3或BC=4.
【解析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
(1)过点A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质求出BD，根据勾股定理求出AD，根据“美丽三角形”的定义证明；
(2)分AC边上的中线BD等于AC，BC边上的中线AE等于BC两种情况，根据勾股定理计算．
18.【答案】解：(1)由(x−2)(x−3)=m得，
x2−5x+6−m=0，
所以Δ=(−5)2−4×1×(6−m)=4m+1.
因为此方程有两个实数根且不相等，
所以4m+1>0，
解得m>−14，
故m的取值范围是：m>−14.
(2)因为方程x2−5x+6−m=0的两个实数根为x1，x2，
所以x1+x2=5，x1x2=6−m.
因为x12x2+x1x22=15，
所以x1x2(x1+x2)=15，
即(6−m)×5=15，
解得m=3，
故m的值为3.
【解析】(1)根据所给一元二次方程有实数根，利用根的判别式即可解决问题．
(2)利用根与系数的关系，用m表示出两根之和及两根之积即可解决问题．
本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的解及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．
19.【答案】解：(1)设11月、12月这两个月的月平均增长率为x，
根据题意得：300(1+x)2=507，
解得：x1=0.3=30%，x2=−2.3(不合题意，舍去)，
答：11月、12月这两个月的月平均增长率为30%；
(2)设当模型降价m元时，该商店获利5570元，
根据题意得：(50−30−m)(507+5m)=5570，
整理得：5m2+407m−4570=0，
解得：m1=10，m2=−91.4(不合题意，舍去).
答：每件模型应降价10元．
【解析】(1)设11月、12月这两个月的月平均增长率为x，根据10月售出300件，11月、12月销量持续走高，假如12月售出507件．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
(2)设当模型降价m元时，该商店获利5570元，根据该商店仍能获利5570元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20.【答案】解：(1)第1个等式：(22−1)2+42=52；
第2个等式：(32−1)2+62=102；
第3个等式：(42−1)2+82=172；
第4个等式：(52−1)2+102=262，
由题中等式的规律可得(n2−1)2+(2n)2=(n2+1)2，
证明：左边=n4−2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2=右边．
(2)它的三边长能为勾股数，理由如下：
∵35=36−1=62−1，
把n=6代入，得(62−1)2+(2×6)2=(62+1)2，
即352+122=372，
∴它的三边长能为勾股数，这组勾股数为35，12，37.
【解析】(1)(n2−1)2+(2n)2=(n2+1)2，证明见解析；
(2)它的三边长能为勾股数，为35，12，37；理由见解析．
本题考查了勾股数的定义，列代数式，数字类变化规律等知识点，能够根据题意得出(n2−1)2+(2n)2=(n2+1)2是解题的关键．
21.【答案】 23 7+ 52
【解析】解：(1)①23 2=2× 23 2× 2= 23 ②1 7− 5= 7+ 5( 7− 5)( 7+ 5)= 7+ 52.
故答案为： 23 7+ 52.
(2)(1 2+1+1 3+ 2+1 4+ 3+⋯+1 2025+ 2024)( 2025+1)
=[ 2−1( 2+1)( 2−1)+ 3− 2( 3+ 2)( 3− 2)+ 4− 3( 4+ 3)( 4− 3)+⋯+
2025− 2024( 2025+ 2024)( 2025− 2024)]( 2025+1)
=( 2−1+ 3− 2+ 4− 3+⋯+ 2025− 2024)( 2025+1)
=( 2025−1)( 2025+1)
=2025−1
=2024.
(3)1a=1 2023− 2022= 2023+ 2022( 2023+ 2022)( 2023− 2022)= 2023+ 2022，
同理：1b=1 2024− 2023= 2024+ 2023，
1c=1 2025− 2024= 2025+ 2024，
∵1ac.
(1)分母有理化即可；
(2)分母有理化可得结论；
(3)利用倒数法判断大小．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．
22.【答案】8
【解析】解：(1)110×(6+2×7+3×8+2×9+10+a)=8，
解得a=8，
故答案为：8；
(2)把八年级学生的成绩按从小到大的顺序排列为6，7，7，8，8，8，8，9，9，10，
所以中位数是8+82=8(分).
(3)九年级学生成绩的方差是110×[4×(7−8)2+2×(9−8)2+3×(8−8)2+1×(10−8)2]=1，
∵八年级学生成绩的方差是1.2，九年级学生成绩的方差是1，
∴九年级学生的成绩更为稳定．
(1)根据算术平均数的定义列出关于a的方程，解之即可得出答案；
(2)根据中位数的定义求解即可；
(3)先根据方差的定义求解出九年级成绩的方差，再由方差的意义求解即可得出答案．
本题主要考查中位数、算术平均数及方差，解题的关键是掌握中位数、算术平均数和方差的定义及方差的意义．
23.【答案】证明：(1)∵EF⊥BP，
∴∠BFE=90∘，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FBC=∠ABD=45∘，
∴BF=EF，
∴△BEF为等腰直角三角形．
(2)①如图1，在EF上取一点G，使FG=FP，连接BG，PG，CG，
在△BFG和△EFP中，
BF=EF,∠BFG=∠EFP,FG=FP,
∴△BFG≌△EFP(SAS)，
∴∠PEF=∠GBF，BG=PE，
∵∠ABD=∠FPG=45∘，
∴AB//PG，
∵AP⊥PE，
∴∠APE=∠APF+∠FPE=∠FPE+∠PEF=90∘，
∴∠APF=∠PEF=∠GBF，
∴AP//BG，
∴四边形ABGP是平行四边形，
∴PG=AB，
∵AB//CD，AB=CD，
∴PG=CD，PG//CD，
∴四边形DCGP是平行四边形，
∴CG//PD，CG=PD，
∵PD⊥EF，
∴CG⊥EF，即∠CGE=90∘，
∵∠CEG=45∘，
∴CE= 2CG= 2PD；
②如图，连接AC交BD于点O，
根据题意AC⊥BD,BD= 2AB= 2PG,∠COF=90∘，
∴BD=2OC=2FG，OC=FG，
∵△BFG≌△EFP，
∴PF=FG，
∴BD=2PF.
(3)设PF=m，DF=n，则BD=2m，
∴BF=BD+DF=2m+n，BP=BF+PF=3m+n，
∵∠DBC=45∘，∠BFE=90∘，
∴BE= 2BF=2 2m+ 2n，
若BP=BE，则3m+n=2 2m+ 2n，
∴m= 2−13−2 2n=( 2+1)n，
即PF=( 2+1)DF.
【解析】(1)因为EF⊥BP，则四边形ABCD是正方形，所以∠FBC=∠ABD=45∘，则BF=EF，推出△BEF为等腰直角三角形．
(2)①如图1，在EF上取一点G，使FG=FP，连接BG，PG，CG，证明△BFG≌△EFP(SAS)，得出BG=PE，∠PEF=∠GBF，因为∠ABD=∠FPG=45∘，得出AB//PG，因为AP⊥PE，推出∠APF=∠PEF=∠GBF，则AP//BG，所以四边形ABGP是平行四边形，则PG=AB，因为AB=CD，AB//CD，则PG//CD，PG=CD，所以四边形DCGP是平行四边形，则CG=PD，CG//PD，因为PD⊥EF，则CG⊥EF，即∠CGE=90∘，因为∠CEG=45∘，则CE= 2CG= 2PD；
②如图，连接AC交BD于点O，根据正方形，则AC⊥BD,BD= 2AB= 2PG,∠COF=90∘，因为∠CGF=∠GFD=90∘，所以四边形OCGF是矩形，则OC=FG，BD=2OC=2FG，根据全等，推出PF=FG，则BD=2PF.
(3)设PF=m，DF=n，则BD=2m，则BF=BD+DF=2m+n，BP=BF+PF=3m+n，因为∠DBC=45∘，∠BFE=90∘，则BE= 2BF=2 2m+ 2n，若BP=BE，则3m+n=2 2m+ 2n，所以m= 2−13−2 2n=( 2+1)n，即PF=( 2+1)DF.
本题考查正方形的性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．心率/(次/分)
60
68
70
73
80
人数/名
2
5
5
1
2
同学
甲
乙
丙
丁
戊
平均成绩
方差
时间/s
32
34
36
33
33
睡眼时间/h
8
9
10
人数/人
6
24
10
学生编号
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
八年级
8
9
7
9
8
6
7
a
10
8
九年级
8
7
9
7
8
10
8
7
7
9