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2023-2024学年安徽省芜湖市无为市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）
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这是一份2023-2024学年安徽省芜湖市无为市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. 6B. 8C. 12D. 12
2.下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是( )
A. 2，4，5B. 4，8，10C. 5，12，13D. 1,2, 2
3.如图，在▱ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14，则△AOD的周长是( )
A. 16B. 20C. 21D. 23
4.一次函数y=(m−3)x+m+6中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是( )
A. m>3B. m<3C. m≥3D. m≤3
5.一次函数y=−2x+4的图象与两条坐标轴所围成的三角形面积是( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
6.甲、乙两名技工每天的基本工作量都是做10件产品，质检部将他们一周的优等品件数绘制如图的折线统计图，根据统计图中的数据，下列说法正确的是( )
A. 甲、乙的优等品件数的平均数相同B. 甲、乙的优等品件数中位数相同
C. 甲的优等品件数的众数小于乙的众数D. 甲的优等品件数的方差大于乙的方差
7.下列说法中，不正确的是( )
A. 对角线互相垂直的矩形是正方形B. 有一个角为直角的平行四边形是矩形
C. 相邻两角都互补的四边形是平行四边形D. 两边相等的平行四边形是菱形
8.边长为1的等边三角形的面积为( )
A. 3B. 32C. 2 3D. 34
9.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=1，点F是边AD上的动点，点P是线段BD上的动点，若EP+FP=4，则线段EF的长为( )
A. 2
B. 5
C. 2 2
D. 10
10.某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向匀速步行，先到终点的人在终点休息.已知甲先出发6分钟，在整个过程中，甲、乙两人之间的距离y(米)与甲出发的时间t(分钟)之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为75米/分钟；②起点到终点的距离为5940米；③甲走完全程用了78分钟；④乙步行的速度为90米/分钟；⑤图中m的值为36.则以上结论一定正确的是( )
A. ①②③④B. ①②④⑤C. ①③④⑤D. ①②③⑤
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.代数式 1−x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______.
12.已知一组数据15，12，13，x，17的平均数是15，则这组数据的中位数是______.
13.如图，直线l1：y=ax+b与直线l2：y=mx+n相交于点P(1,2)，则关于x的不等式ax+b14.如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，EA=ED=52.
(1)△ADE的面积为______；
(2)若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为______.
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：
(1) 12− 18+3 13+ 8；
(2)( 7+ 5)( 7− 5)+( 3− 2)2.
16.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB=8，AC=6，求△DEF的周长.
17.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象交于点A(1,m)，与x轴交于点B(−4,0).(1)求直线AB所对应的一次函数解析式；
(2)当−2≤x≤2时，求(1)中一次函数的最大值.
18.(本小题8分)
图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上.
(1)在图①中，以AB为边画一个平行四边形ABCD，使且其面积为6；
(2)在图②中，以AB为边画一个Rt△ABC，使且其面积为10；
(3)在图③中，以AB为边画一个菱形ABCD，使且其面积为6.
19.(本小题10分)
如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y=kx+3交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2：y=3x−a与直线l1相交于点C(1,a).
(1)分别求直线l1和直线l2的函数解析式；
(2)如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交l1、l2于点M、N，当线段MN=3时，求点D的坐标.
20.(本小题10分)
已知：如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG//DB交CB的延长线于G.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)若四边形AGBD是矩形，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请证明你的结论
21.(本小题12分)
小明、小华两人玩掷飞镖游戏，每人掷镖10次，每次成绩(单位：分)均为不超过5的自然数.小明的10次掷镖成绩记录如下：3，0，2，a，2，5，3，b，4，5
如图是小华的10次掷镖成绩条形统计图.已知两人成绩的总分相等，小明的众数和中位数相等.
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)a=______，b=______；
(2)计算小华成绩的平均数；
(3)计算两人的方差，并判断两人成绩的稳定性.
22.(本小题12分)
甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓售价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买门票，采摘的草莓价格按六折优惠；进入乙园，顾客免门票，采摘的草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售，若某顾客的草莓采摘量为x(千克)，在甲、乙两园采摘的总费用分别为y甲(元)，y乙(元)，y与x之间的函数图象如图所示.
(1)求乙采摘园草莓优惠前的销售价格.
(2)当顾客购买18千克草莓时，在哪个草莓园采摘更省钱？能省下多少钱？请你通过计算说明.
23.(本小题14分)
在菱形ABCD中，∠ABC=60∘，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随点P的位置变化而变化.
(1)如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是______， CE与AD的位置关系是______；
(2)如图2，当点P、E都在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由.
(3)如图3，若四边形ABCD为正方形，点P在对角线BD上，PE⊥AP，交边CD于点E，连接AE交BD于点F.请求出∠PAE的度数并直接写出线段BP、PF、DF之间的数量关系.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解： 6是最简二次根式，A正确；
8=2 2，B不正确；
12=2 3，C不正确；
12= 22，D不正确，
故选：A.
根据最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行判断即可．
本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2.【答案】C
【解析】解：A、因为22+42≠52，不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
B、因为42+82≠102，不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
C、因为52+122=132，能构成直角三角形，此选项符合题意；
D、因为12+( 2)2≠22，不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
故选：C.
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD=10，AO=CO=12AC=4，BO=DO=12BD=7，
∴△AOD的周长是：AD+AO+DO=10+4+7=21，
故选：C.
根据平行四边形的性质可得AB=CD，BC=AD=10，AO=CO=12AC=4，BO=DO=12BD=7，然后可得△AOD的周长．
此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边相等，对角线互相平分．
4.【答案】B
【解析】解：∵一次函数y=(m−3)x+m+6中，y随x的增大而减小，
∴m−3<0，
解得m<3，
故选：B.
根据一次函数的性质即可求得．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握和运用一次函数的性质是解决本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：因为令y=0，则x=2；令x=0，则y=4，
所以一次函数y=−2x+4的图象与x轴的交点为(2,0)，与y轴的交点为(0,4)
所以图象与两条坐标轴所围成的三角形面积S=12×2×4=4，
故选：B.
结合一次函数y=−2x+4的图象可以求出图象与x轴的交点(2,0)以及y轴的交点(0,4)可求得图象与坐标轴所围成的三角形面积．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b(k≠0,且k，b为常数).
6.【答案】C
【解析】解：x−甲=15×(5+8+6+8+6)=6.6(件)，
x−乙=15×(9+4+7+9+10)=7.8(件)，
所以甲、乙的优等品件数的平均数不相同，故选项A说法错误，不符合题意；
甲的优等品件数中位数是6，乙的优等品件数中位数是9，所以甲、乙的优等品件数中位数不相同，故选项B说法错误，不符合题意；
甲的优等品件数的众数为6和8，乙的优等品件数的众数为9，所以甲的优等品件数的众数小于乙的众数，故选项C说法正确，符合题意；
由统计图可知，甲的优等品件数的波动比乙的小，即甲的优等品件数的方差小于乙的方差，故选项D说法错误，不符合题意．
故选：C.
根据加权平均数、中位数、众数的计算公式可判断选项A、B、C；利用折线统计图判断甲、乙成绩的波动性的大小可得判断选项D.
本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了加权平均数、众数、中位数以及方差的意义．
7.【答案】D
【解析】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，说法正确；
B、有一个角为直角的平行四边形是矩形，说法正确；
C、四边形相邻两角都互补，则可得四边形的两组对边分别平行，从而可得四边形是平行四边形，说法正确；
D、两邻边相等的平行四边形是菱形，原说法错误；
故选：D.
根据平行四边形及特殊四边形的判定即可判定．
本题考查了平行四边形及特殊平行四边形的判定，掌握这些判定方法是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图，
∵△ABC是等边三角形，AB=AC=BC=1，AD⊥BC，
∴∠B=60∘，
∴AD=AB⋅sin60∘=1× 32= 32，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×1× 32= 34.
故选：D.
根据题意画出图形，利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形的三个内角都相等，且都等于60∘是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：如图，在BC在截取一点E′，使得BE=BE′，连接EE′交BD于点G，过点E′作PE⊥BC，交BD于点P，E′P的延长线交AD于点F，连接EF，
则四边形CDFE′和四边形ABE′F均为长方形，E′F=4，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90∘，AB=BC=4，∠ABD=∠CBD=45∘，
∵BE=BE′，
∴△BEE′为等腰直角三角形，
又∵∠EBG=∠E′BG，
∴EG=E′G，BG⊥EE′，即BD垂直平分EE′，
∴PE=PE′，
∴PE+PF=PE′+PF=E′F=4，
∴AF=BE′=3，
在Rt△AEF中，EF= AE2+AF2= 12+32= 10.
故选：D.
根据EP+FP=4，而正方形的边长也为4，于是可在找点E关于BD的对称点E′，结合正方形的性质可知点E′在边BC上，再点E′作BC的垂线，即可判断点P于点F的位置，最后根据勾股定理求出线段EF的长即可．
本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，根据EP+FP=4结合轴对称的性质找到点P与点F的位置是解题关键．
10.【答案】B
【解析】解：由题意可得：甲步行速度=4506=75(米/分钟)，
故①正确；
起点到终点的距离为66×90=5940(米)，
故②正确；
甲走完全程所用时间为：72+54075=79.2(分钟)，
故③错误；
由图象知，乙用72−6=66(分钟)时到达终点，
设乙步行的速度为x米/分，
根据题意得：66x−72×75=540，
解得x=90，
∴乙步行的速度为90米/分，
故④正确；
设乙用x分钟追上甲，
则90x=75(x+6)，
解得x=30，
∴乙用30分钟追上甲，
m=6+30=36.
故⑤正确．
∴正确的有①②④⑤，
故选：B.
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】x≤1
【解析】解：由题意得，1−x≥0，x≤1，
故答案为：x≤1.
根据二次根式有意义的条件“被开方数大于或等于0”进行计算即可得．
本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件．
12.【答案】15
【解析】解：∵这组数据的平均数为15，
∴(15+12+13+x+17)÷5=15，
∴x=18.
将这组数据从小到大重新排列：12，13，15，17，18，
观察数据可知最中间的数是15，
∴中位数是15.
故答案为：15.
根据平均数的定义先算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，求出中位数．
本题考查了平均数和中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．
13.【答案】x<1
【解析】解：直线l1：y=ax+b与直线l2：y=mx+n相交于点P(1,2)，
∴当x<1时，kx+b即关于x的不等式kx+b故答案为：x<1.
结合函数图象，写出直线l1在直线l2下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的解集．
14.【答案】3 13
【解析】解：(1)过E作EM⊥AD于M，
∵EA=ED=52.AD=3，
∴AM=DM=12AD=32，
∴EM= AE2−AM2=2，
∴△ADE的面积为12AD⋅EM=12×3×2=3；
故答案为：3；
(2)过E作AD的垂线交AD于M，AG于N，BC于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC//AD，
∴EF⊥BC，
∴四边形ABPM是矩形，
∴PM=AB=3，AB//EP，
∴EP=5，∠ABF=∠NEF，
∵F为BE的中点，
∴BF=EF，
在△ABF与△NEF中，
∠ABF=∠NEFBF=EF∠AFB=∠NFE，
∴△ABF≌△NEF(ASA)，
∴EN=AB=3，
∴MN=1，
∵PM//CD，
∴AN=NG，
∴CD=2MN=2，
∴AG= AD2+CD2= 32+22= 13，
故答案为： 13.
(1)过E作EM⊥AD于M，根据等腰三角形的性质得到AM=DM=12AD=32，根据勾股定理得到EM= AE2−AM2=2，根据三角形的面积公式即可得到△ADE的面积为12AD⋅EM=12×3×2=3；(2)过E作AD的垂线交AD于M，AG于N，BC于P，根据正方形的性质得到EF⊥BC，推出四边形ABPM是矩形，得到PM=AB=3，AB//EP，根据全等三角形的性质得到EN=AB=3，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
15.【答案】解：(1)原式=2 3−3 2+ 3+2 2
=3 3− 2；
(2)原式=7−5+3−2 6+2
=7−2 6.
【解析】(1)化简后合并同类二次根式；
(2)利用平方差公式，完全平方公式计算即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．
16.【答案】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC= AB2+AC2= 82+62=10，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90∘，
∵E、F分别是AB、AC边的中点，AB=8，AC=6，BC=10，
∴DE=12AB=4，DF=12AC=3，EF=12BC=5，
∴△DEF的周长=EF+DE+DF=5+4+3=12.
【解析】根据勾股定理求出BC，根据直角三角形斜边上的中线性质求出DE和DF，根据三角形的中位线性质求出EF，再求出答案即可．
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的中位线性质等知识点，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键．
17.【答案】解：(1)∵正比例函数y=2x的图象过点A(1,m)，
∴m=2×1=2，
∴A(1,2)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴k+b=2−4k+b=0，
∴k=25b=85，
∴直线AB所对应的一次函数解析式为y=25x+85；
(2)∵直线AB的解析式y=25x+85中，k=25>0，
∴y随x的增大而增大，
∴在−2≤x≤2中，x=2时，函数有最大值y=25×2+85=125.
【解析】(1)由正比例函数的解析式求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线AB的解析式；
(2)根据一次函数的性质可知，在−2≤x≤2中，x=2时，函数有最大值，代入x=2即可求解．
本题考查了两条直线相交问题，待定系数法求与函数的解析式，一次函数的性质，掌握待定系数法已经一次函数的性质是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图①中，平行四边形ABCD即为所求；
(2)如图②中，Rt△ABC即为所求；
(3)如图③中，菱形ABCD即为所求．
S菱形ABCD=12×2×6=6，
故菱形ABCD即为所求．
【解析】(1)根据平行四边形的面积为6画一个底边为2，高为3的平行四边形即可；
(2)根据直角三角形面积为10，画一条直角边为2 10的直角三角形即可；
(3)根据菱形ABCD面积为6，作一个对角线分别为2，6的菱形即可．
本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】解：(1)∵直线l2：y=3x−a与直线l1相交于点C(1,a)，
∴a=3−a，
∴a=32，
∴直线l2为y=3x−32，C(1,32)
把C点的坐标代入直线l1：y=kx+3得32=k+3，
解得k=−32，
∴直线l1的解析式为y=−32x+3；
(2)设D(m,0)，则M(m,−32m+3)，N(m,3m−32)，
当m<1时，
∵MN=3，
∴−32m+3−(3m−32)=3，
解得：m=13，
∴D(13,0)，
当m>1时，3m−32−(−32m+3)=92m−92，
∵MN=3，
∴92m−92=3，
解得：m=53，
∴D(53,0).
综上所述，点D的坐标为(13,0)或(53,0).
【解析】(1)运用待定系数法即可求得直线的解析式；
(2)设D(m,0)，则，N(m,3m−32)，分两种情况：当m<1时，当m>1时，3m−32−(−32m+3)=92m−92，分别根据MN=3，建立方程求解即可得出答案．
本题是两条直线相交问题，考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠C，AD=CB，AB=CD，
∵点E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE=12AB，CF=12CD，
∴AE=CF.
在△ADE和△CBF中，
AD=CB,∠BAD=∠C,AE=CF,
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)四边形BEDF是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD.
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE=12AB，DF=12CD.
∴BE=DF，BE//DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵四边形AGBD是矩形，
∴∠ADB=90∘，
在Rt△ADB中，∵E为AB的中点，
∴AE=BE=DE，
∴平行四边形BEDF是菱形．
【解析】(1)只要证明AE=CF，∠C=∠EAD，BC=AD，即可根据SAS证明△ADE≌△CDF；
(2)根据已知条件证明BE=DF，BE//DF，从而得出四边形BEDF是平行四边形，再证明DE=BE，根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．
本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定、矩形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】3 3
【解析】解：(1)∵两人成绩的总分相等，
∴a+b+3+2+2+4+5+5+3=1×2+3×2+4×3+5×2，
整理得：a+b=6，
∵小明成绩的众数和中位数相等，且现有数据中2，3，5都出现两次，
∴a，b中至少一个等于2，3，5
当a=2时，b=4，此时众数为2，中位数为3，不符合题意；
当a=3时，b=3，此时众数为3，中位数为3，符合题意；
当a=5时，b=1，此时众数为5，中位数为3，不符合题意；
综上所述，a=3，b=3，
故答案为：3，3；
(2)小华成绩的平均数为110×(1×2+3×2+4×3+5×2)=3；
(3)∵两人成绩的总分相等，
∴小明的平均数为3，
∴小明成绩的方差为110×[(0−3)2+2×(2−3)2+4×(3−3)2+(4−3)2+2×(5−3)2]=2，
小华成绩的方差为110×[(0−3)2+2×(1−3)2+2×(3−3)2+3×(4−3)2+2×(5−3)2]=2.8，
∴小明的成绩更稳定．
(1)根据两人成绩的总分相等和甲成绩的众数和中位数相等列方程求解即可；
(2)根据条形统计图计算平均数即可；
(3)分别计算两人成绩的方差，根据方差越小越稳定判断即可．
本题考查条形统计图，加权平均数，中位数，众数，方差，掌握中位数，众数是关键．
22.【答案】解：(1)由图象可知，乙园顾客免门票，
即乙采摘园优惠前的草莓单价是300÷10=30(元/千克).
故乙采摘园草莓优惠前的销售价格为30元/千克．
(2)∵优惠前，草莓售价相同，
∴甲采摘园草莓优惠前的销售价格也为30元/千克，
即甲采摘园草莓优惠后的销售价格为30×60%=18(元/千克)，
∵进入甲园，顾客需购买60元的门票，
∴甲函数的表达式为：y甲=18x+60.
采摘数量大于或等于10千克时，根据函数图象得到y乙经过点(10,300)和(25,480)，
设y乙与x的函数表达式是y乙=k1x+b1(k1≠0)，
10k1+b1=30025k1+b1=480，
解得：k1=12b1=180，
则乙的表达式为y乙=12x+180，
当x=18时，y甲=18×18+60=384(元)，y乙=12×18+180=396(元)，
∵396−384=12(元)，
∴甲采摘园更便宜，能省下12元．
【解析】(1)根据函数图象即可得到答案；
(2)根据优惠前，草莓售价相同，可得甲采摘园草莓优惠前的销售价格也为30元/千克，即甲采摘园草莓优惠后的销售价格也为30×60%=18(元/千克)，结合进入甲园，顾客需购买60元的门票，可写出甲函数的表达式为：y甲=18x+60.采摘数量大于或等于10千克时，根据函数图象得到y乙经过点(10,300)和(25,480)，然后运用待定系数法可得y乙=12x+180，然后令x=18分别代入解析式求解，最后比较即可．
本题主要考查了从函数图象上获取信息、一次函数的应用等知识点，解答本题的关键是得到y甲，y乙的解析式．
23.【答案】BP=CECE⊥AD
【解析】解：(1)结论：BP=CE，CE⊥AD；理由如下：
如图1，连接AC，延长CE交AD于H，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60∘，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30∘，
∴AB=AC，∠BAC=60∘，∠CAH=60∘，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60∘，
∵∠BAC=∠PAE，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△BAP≌△CAE(SAS)，
∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30∘，
∵∠CAH=60∘，
∴∠CAH+∠ACH=90∘，
∴∠AHC=90∘，即CE⊥AD.
故答案为：BP=CE，CE⊥AD；
(2)(1)中的结论成立．
证明：如图2，连接AC，AC与BD交于点O，
∴△ABC，△ACD为等边三角形，
在△ABP和△ACE中，AB=AC，AP=AE，
又∵∠BAP=∠BAC+∠CAP=60∘+∠CAP，
∠CAE=∠EAP+∠CAP=60∘+∠CAP，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△ABP≌△ACE(SAS)，
∴BP=CE，∠ACE=∠ABD=30∘，
设CE与AD交于点H，
在△ACH中，∠ACH+∠CAH=30∘+60∘=90∘.
∴∠AHC=90∘，
即CE⊥AD；
(3)BP2+DF2=PF2.理由如下：
如图3.1所示：过点P分别作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是 M、N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD平分∠ADC∠ABP=∠ADF=45∘，
∴PM=PN，且PM⊥PN，
又∵PE⊥AP，
∴∠APM=∠EPN，
∴△APM≌△AEPN，
∴AP=PE，即△APE为等腰直角三角形，
∴∠PAE=45∘，
把△ABP绕点A逆时针转90∘，AB与AD重合，点P 的对应点是P，如图3.2，
∴△ABP≌△ADP，
∴AP=AP，∠PAD=∠BAP，BP=DP，
∵∠PAE=45∘，∠BAD=90∘，
∴∠BAP+∠DAE=90∘−∠PAE=45∘，
∴∠PAD+∠DAE=45∘，
即∠PAF=∠PAE=45∘，
∵AF=AF，
∴△P′AF≌△PAE，
∴PF=PF，
∵∠ADP′=∠ABP=∠ADF=45∘，
在Rt△PFD中，P′F2=P′D2+DF2=BP2+DF2，
∴BP2+DF2=PF2.
(1)先判断出∠BAP=∠CAE，进而判断出△BAP≌△CAE，得出BP=CE，∠ABP=∠ACE=30∘，再判断出∠CAH+∠ACH=90∘，即可得出结论；
(2)先根据菱形的性质，得出△ABC和△ACD都是等边三角形，运用角的运算，得∠BAP=∠CAE，证明△ABP≌△ACE，则BP=CE，∠ACE=∠ABP=30∘，即∠CAH+∠ACE=90∘，则∠AHC=90∘，即CE⊥AD；
(3)因为正方形，所以BD平分∠ADC，∠ABP=∠ADF=45∘，证明△APM≌△EPN，即△APE为等腰直角三角形，然后运用旋转性质得出△ABP≌△ADP故AP=AP，∠PAD=∠BAP，BP=DP，通过角的换算，即∠PAF=∠PAE=45∘，证明△PAF≌△PAE，所以PF=PF，最后在Rt△PFD中，P′F2=BP2+DF2，即可作答．
本题属于四边形综合题，主要考查了旋转性质，菱形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
1.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. 6B. 8C. 12D. 12
2.下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是( )
A. 2，4，5B. 4，8，10C. 5，12，13D. 1,2, 2
3.如图，在▱ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14，则△AOD的周长是( )
A. 16B. 20C. 21D. 23
4.一次函数y=(m−3)x+m+6中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是( )
A. m>3B. m<3C. m≥3D. m≤3
5.一次函数y=−2x+4的图象与两条坐标轴所围成的三角形面积是( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
6.甲、乙两名技工每天的基本工作量都是做10件产品，质检部将他们一周的优等品件数绘制如图的折线统计图，根据统计图中的数据，下列说法正确的是( )
A. 甲、乙的优等品件数的平均数相同B. 甲、乙的优等品件数中位数相同
C. 甲的优等品件数的众数小于乙的众数D. 甲的优等品件数的方差大于乙的方差
7.下列说法中，不正确的是( )
A. 对角线互相垂直的矩形是正方形B. 有一个角为直角的平行四边形是矩形
C. 相邻两角都互补的四边形是平行四边形D. 两边相等的平行四边形是菱形
8.边长为1的等边三角形的面积为( )
A. 3B. 32C. 2 3D. 34
9.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=1，点F是边AD上的动点，点P是线段BD上的动点，若EP+FP=4，则线段EF的长为( )
A. 2
B. 5
C. 2 2
D. 10
10.某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向匀速步行，先到终点的人在终点休息.已知甲先出发6分钟，在整个过程中，甲、乙两人之间的距离y(米)与甲出发的时间t(分钟)之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为75米/分钟；②起点到终点的距离为5940米；③甲走完全程用了78分钟；④乙步行的速度为90米/分钟；⑤图中m的值为36.则以上结论一定正确的是( )
A. ①②③④B. ①②④⑤C. ①③④⑤D. ①②③⑤
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.代数式 1−x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______.
12.已知一组数据15，12，13，x，17的平均数是15，则这组数据的中位数是______.
13.如图，直线l1：y=ax+b与直线l2：y=mx+n相交于点P(1,2)，则关于x的不等式ax+b
(1)△ADE的面积为______；
(2)若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为______.
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：
(1) 12− 18+3 13+ 8；
(2)( 7+ 5)( 7− 5)+( 3− 2)2.
16.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB=8，AC=6，求△DEF的周长.
17.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象交于点A(1,m)，与x轴交于点B(−4,0).(1)求直线AB所对应的一次函数解析式；
(2)当−2≤x≤2时，求(1)中一次函数的最大值.
18.(本小题8分)
图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上.
(1)在图①中，以AB为边画一个平行四边形ABCD，使且其面积为6；
(2)在图②中，以AB为边画一个Rt△ABC，使且其面积为10；
(3)在图③中，以AB为边画一个菱形ABCD，使且其面积为6.
19.(本小题10分)
如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y=kx+3交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2：y=3x−a与直线l1相交于点C(1,a).
(1)分别求直线l1和直线l2的函数解析式；
(2)如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交l1、l2于点M、N，当线段MN=3时，求点D的坐标.
20.(本小题10分)
已知：如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG//DB交CB的延长线于G.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)若四边形AGBD是矩形，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请证明你的结论
21.(本小题12分)
小明、小华两人玩掷飞镖游戏，每人掷镖10次，每次成绩(单位：分)均为不超过5的自然数.小明的10次掷镖成绩记录如下：3，0，2，a，2，5，3，b，4，5
如图是小华的10次掷镖成绩条形统计图.已知两人成绩的总分相等，小明的众数和中位数相等.
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)a=______，b=______；
(2)计算小华成绩的平均数；
(3)计算两人的方差，并判断两人成绩的稳定性.
22.(本小题12分)
甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓售价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买门票，采摘的草莓价格按六折优惠；进入乙园，顾客免门票，采摘的草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售，若某顾客的草莓采摘量为x(千克)，在甲、乙两园采摘的总费用分别为y甲(元)，y乙(元)，y与x之间的函数图象如图所示.
(1)求乙采摘园草莓优惠前的销售价格.
(2)当顾客购买18千克草莓时，在哪个草莓园采摘更省钱？能省下多少钱？请你通过计算说明.
23.(本小题14分)
在菱形ABCD中，∠ABC=60∘，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随点P的位置变化而变化.
(1)如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是______， CE与AD的位置关系是______；
(2)如图2，当点P、E都在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由.
(3)如图3，若四边形ABCD为正方形，点P在对角线BD上，PE⊥AP，交边CD于点E，连接AE交BD于点F.请求出∠PAE的度数并直接写出线段BP、PF、DF之间的数量关系.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解： 6是最简二次根式，A正确；
8=2 2，B不正确；
12=2 3，C不正确；
12= 22，D不正确，
故选：A.
根据最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行判断即可．
本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2.【答案】C
【解析】解：A、因为22+42≠52，不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
B、因为42+82≠102，不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
C、因为52+122=132，能构成直角三角形，此选项符合题意；
D、因为12+( 2)2≠22，不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
故选：C.
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD=10，AO=CO=12AC=4，BO=DO=12BD=7，
∴△AOD的周长是：AD+AO+DO=10+4+7=21，
故选：C.
根据平行四边形的性质可得AB=CD，BC=AD=10，AO=CO=12AC=4，BO=DO=12BD=7，然后可得△AOD的周长．
此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边相等，对角线互相平分．
4.【答案】B
【解析】解：∵一次函数y=(m−3)x+m+6中，y随x的增大而减小，
∴m−3<0，
解得m<3，
故选：B.
根据一次函数的性质即可求得．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握和运用一次函数的性质是解决本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：因为令y=0，则x=2；令x=0，则y=4，
所以一次函数y=−2x+4的图象与x轴的交点为(2,0)，与y轴的交点为(0,4)
所以图象与两条坐标轴所围成的三角形面积S=12×2×4=4，
故选：B.
结合一次函数y=−2x+4的图象可以求出图象与x轴的交点(2,0)以及y轴的交点(0,4)可求得图象与坐标轴所围成的三角形面积．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b(k≠0,且k，b为常数).
6.【答案】C
【解析】解：x−甲=15×(5+8+6+8+6)=6.6(件)，
x−乙=15×(9+4+7+9+10)=7.8(件)，
所以甲、乙的优等品件数的平均数不相同，故选项A说法错误，不符合题意；
甲的优等品件数中位数是6，乙的优等品件数中位数是9，所以甲、乙的优等品件数中位数不相同，故选项B说法错误，不符合题意；
甲的优等品件数的众数为6和8，乙的优等品件数的众数为9，所以甲的优等品件数的众数小于乙的众数，故选项C说法正确，符合题意；
由统计图可知，甲的优等品件数的波动比乙的小，即甲的优等品件数的方差小于乙的方差，故选项D说法错误，不符合题意．
故选：C.
根据加权平均数、中位数、众数的计算公式可判断选项A、B、C；利用折线统计图判断甲、乙成绩的波动性的大小可得判断选项D.
本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了加权平均数、众数、中位数以及方差的意义．
7.【答案】D
【解析】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，说法正确；
B、有一个角为直角的平行四边形是矩形，说法正确；
C、四边形相邻两角都互补，则可得四边形的两组对边分别平行，从而可得四边形是平行四边形，说法正确；
D、两邻边相等的平行四边形是菱形，原说法错误；
故选：D.
根据平行四边形及特殊四边形的判定即可判定．
本题考查了平行四边形及特殊平行四边形的判定，掌握这些判定方法是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图，
∵△ABC是等边三角形，AB=AC=BC=1，AD⊥BC，
∴∠B=60∘，
∴AD=AB⋅sin60∘=1× 32= 32，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×1× 32= 34.
故选：D.
根据题意画出图形，利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形的三个内角都相等，且都等于60∘是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：如图，在BC在截取一点E′，使得BE=BE′，连接EE′交BD于点G，过点E′作PE⊥BC，交BD于点P，E′P的延长线交AD于点F，连接EF，
则四边形CDFE′和四边形ABE′F均为长方形，E′F=4，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90∘，AB=BC=4，∠ABD=∠CBD=45∘，
∵BE=BE′，
∴△BEE′为等腰直角三角形，
又∵∠EBG=∠E′BG，
∴EG=E′G，BG⊥EE′，即BD垂直平分EE′，
∴PE=PE′，
∴PE+PF=PE′+PF=E′F=4，
∴AF=BE′=3，
在Rt△AEF中，EF= AE2+AF2= 12+32= 10.
故选：D.
根据EP+FP=4，而正方形的边长也为4，于是可在找点E关于BD的对称点E′，结合正方形的性质可知点E′在边BC上，再点E′作BC的垂线，即可判断点P于点F的位置，最后根据勾股定理求出线段EF的长即可．
本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，根据EP+FP=4结合轴对称的性质找到点P与点F的位置是解题关键．
10.【答案】B
【解析】解：由题意可得：甲步行速度=4506=75(米/分钟)，
故①正确；
起点到终点的距离为66×90=5940(米)，
故②正确；
甲走完全程所用时间为：72+54075=79.2(分钟)，
故③错误；
由图象知，乙用72−6=66(分钟)时到达终点，
设乙步行的速度为x米/分，
根据题意得：66x−72×75=540，
解得x=90，
∴乙步行的速度为90米/分，
故④正确；
设乙用x分钟追上甲，
则90x=75(x+6)，
解得x=30，
∴乙用30分钟追上甲，
m=6+30=36.
故⑤正确．
∴正确的有①②④⑤，
故选：B.
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】x≤1
【解析】解：由题意得，1−x≥0，x≤1，
故答案为：x≤1.
根据二次根式有意义的条件“被开方数大于或等于0”进行计算即可得．
本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件．
12.【答案】15
【解析】解：∵这组数据的平均数为15，
∴(15+12+13+x+17)÷5=15，
∴x=18.
将这组数据从小到大重新排列：12，13，15，17，18，
观察数据可知最中间的数是15，
∴中位数是15.
故答案为：15.
根据平均数的定义先算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，求出中位数．
本题考查了平均数和中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．
13.【答案】x<1
【解析】解：直线l1：y=ax+b与直线l2：y=mx+n相交于点P(1,2)，
∴当x<1时，kx+b
结合函数图象，写出直线l1在直线l2下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的解集．
14.【答案】3 13
【解析】解：(1)过E作EM⊥AD于M，
∵EA=ED=52.AD=3，
∴AM=DM=12AD=32，
∴EM= AE2−AM2=2，
∴△ADE的面积为12AD⋅EM=12×3×2=3；
故答案为：3；
(2)过E作AD的垂线交AD于M，AG于N，BC于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC//AD，
∴EF⊥BC，
∴四边形ABPM是矩形，
∴PM=AB=3，AB//EP，
∴EP=5，∠ABF=∠NEF，
∵F为BE的中点，
∴BF=EF，
在△ABF与△NEF中，
∠ABF=∠NEFBF=EF∠AFB=∠NFE，
∴△ABF≌△NEF(ASA)，
∴EN=AB=3，
∴MN=1，
∵PM//CD，
∴AN=NG，
∴CD=2MN=2，
∴AG= AD2+CD2= 32+22= 13，
故答案为： 13.
(1)过E作EM⊥AD于M，根据等腰三角形的性质得到AM=DM=12AD=32，根据勾股定理得到EM= AE2−AM2=2，根据三角形的面积公式即可得到△ADE的面积为12AD⋅EM=12×3×2=3；(2)过E作AD的垂线交AD于M，AG于N，BC于P，根据正方形的性质得到EF⊥BC，推出四边形ABPM是矩形，得到PM=AB=3，AB//EP，根据全等三角形的性质得到EN=AB=3，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
15.【答案】解：(1)原式=2 3−3 2+ 3+2 2
=3 3− 2；
(2)原式=7−5+3−2 6+2
=7−2 6.
【解析】(1)化简后合并同类二次根式；
(2)利用平方差公式，完全平方公式计算即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．
16.【答案】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC= AB2+AC2= 82+62=10，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90∘，
∵E、F分别是AB、AC边的中点，AB=8，AC=6，BC=10，
∴DE=12AB=4，DF=12AC=3，EF=12BC=5，
∴△DEF的周长=EF+DE+DF=5+4+3=12.
【解析】根据勾股定理求出BC，根据直角三角形斜边上的中线性质求出DE和DF，根据三角形的中位线性质求出EF，再求出答案即可．
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的中位线性质等知识点，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键．
17.【答案】解：(1)∵正比例函数y=2x的图象过点A(1,m)，
∴m=2×1=2，
∴A(1,2)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴k+b=2−4k+b=0，
∴k=25b=85，
∴直线AB所对应的一次函数解析式为y=25x+85；
(2)∵直线AB的解析式y=25x+85中，k=25>0，
∴y随x的增大而增大，
∴在−2≤x≤2中，x=2时，函数有最大值y=25×2+85=125.
【解析】(1)由正比例函数的解析式求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线AB的解析式；
(2)根据一次函数的性质可知，在−2≤x≤2中，x=2时，函数有最大值，代入x=2即可求解．
本题考查了两条直线相交问题，待定系数法求与函数的解析式，一次函数的性质，掌握待定系数法已经一次函数的性质是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图①中，平行四边形ABCD即为所求；
(2)如图②中，Rt△ABC即为所求；
(3)如图③中，菱形ABCD即为所求．
S菱形ABCD=12×2×6=6，
故菱形ABCD即为所求．
【解析】(1)根据平行四边形的面积为6画一个底边为2，高为3的平行四边形即可；
(2)根据直角三角形面积为10，画一条直角边为2 10的直角三角形即可；
(3)根据菱形ABCD面积为6，作一个对角线分别为2，6的菱形即可．
本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】解：(1)∵直线l2：y=3x−a与直线l1相交于点C(1,a)，
∴a=3−a，
∴a=32，
∴直线l2为y=3x−32，C(1,32)
把C点的坐标代入直线l1：y=kx+3得32=k+3，
解得k=−32，
∴直线l1的解析式为y=−32x+3；
(2)设D(m,0)，则M(m,−32m+3)，N(m,3m−32)，
当m<1时，
∵MN=3，
∴−32m+3−(3m−32)=3，
解得：m=13，
∴D(13,0)，
当m>1时，3m−32−(−32m+3)=92m−92，
∵MN=3，
∴92m−92=3，
解得：m=53，
∴D(53,0).
综上所述，点D的坐标为(13,0)或(53,0).
【解析】(1)运用待定系数法即可求得直线的解析式；
(2)设D(m,0)，则，N(m,3m−32)，分两种情况：当m<1时，当m>1时，3m−32−(−32m+3)=92m−92，分别根据MN=3，建立方程求解即可得出答案．
本题是两条直线相交问题，考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠C，AD=CB，AB=CD，
∵点E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE=12AB，CF=12CD，
∴AE=CF.
在△ADE和△CBF中，
AD=CB,∠BAD=∠C,AE=CF,
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)四边形BEDF是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD.
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE=12AB，DF=12CD.
∴BE=DF，BE//DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵四边形AGBD是矩形，
∴∠ADB=90∘，
在Rt△ADB中，∵E为AB的中点，
∴AE=BE=DE，
∴平行四边形BEDF是菱形．
【解析】(1)只要证明AE=CF，∠C=∠EAD，BC=AD，即可根据SAS证明△ADE≌△CDF；
(2)根据已知条件证明BE=DF，BE//DF，从而得出四边形BEDF是平行四边形，再证明DE=BE，根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．
本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定、矩形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】3 3
【解析】解：(1)∵两人成绩的总分相等，
∴a+b+3+2+2+4+5+5+3=1×2+3×2+4×3+5×2，
整理得：a+b=6，
∵小明成绩的众数和中位数相等，且现有数据中2，3，5都出现两次，
∴a，b中至少一个等于2，3，5
当a=2时，b=4，此时众数为2，中位数为3，不符合题意；
当a=3时，b=3，此时众数为3，中位数为3，符合题意；
当a=5时，b=1，此时众数为5，中位数为3，不符合题意；
综上所述，a=3，b=3，
故答案为：3，3；
(2)小华成绩的平均数为110×(1×2+3×2+4×3+5×2)=3；
(3)∵两人成绩的总分相等，
∴小明的平均数为3，
∴小明成绩的方差为110×[(0−3)2+2×(2−3)2+4×(3−3)2+(4−3)2+2×(5−3)2]=2，
小华成绩的方差为110×[(0−3)2+2×(1−3)2+2×(3−3)2+3×(4−3)2+2×(5−3)2]=2.8，
∴小明的成绩更稳定．
(1)根据两人成绩的总分相等和甲成绩的众数和中位数相等列方程求解即可；
(2)根据条形统计图计算平均数即可；
(3)分别计算两人成绩的方差，根据方差越小越稳定判断即可．
本题考查条形统计图，加权平均数，中位数，众数，方差，掌握中位数，众数是关键．
22.【答案】解：(1)由图象可知，乙园顾客免门票，
即乙采摘园优惠前的草莓单价是300÷10=30(元/千克).
故乙采摘园草莓优惠前的销售价格为30元/千克．
(2)∵优惠前，草莓售价相同，
∴甲采摘园草莓优惠前的销售价格也为30元/千克，
即甲采摘园草莓优惠后的销售价格为30×60%=18(元/千克)，
∵进入甲园，顾客需购买60元的门票，
∴甲函数的表达式为：y甲=18x+60.
采摘数量大于或等于10千克时，根据函数图象得到y乙经过点(10,300)和(25,480)，
设y乙与x的函数表达式是y乙=k1x+b1(k1≠0)，
10k1+b1=30025k1+b1=480，
解得：k1=12b1=180，
则乙的表达式为y乙=12x+180，
当x=18时，y甲=18×18+60=384(元)，y乙=12×18+180=396(元)，
∵396−384=12(元)，
∴甲采摘园更便宜，能省下12元．
【解析】(1)根据函数图象即可得到答案；
(2)根据优惠前，草莓售价相同，可得甲采摘园草莓优惠前的销售价格也为30元/千克，即甲采摘园草莓优惠后的销售价格也为30×60%=18(元/千克)，结合进入甲园，顾客需购买60元的门票，可写出甲函数的表达式为：y甲=18x+60.采摘数量大于或等于10千克时，根据函数图象得到y乙经过点(10,300)和(25,480)，然后运用待定系数法可得y乙=12x+180，然后令x=18分别代入解析式求解，最后比较即可．
本题主要考查了从函数图象上获取信息、一次函数的应用等知识点，解答本题的关键是得到y甲，y乙的解析式．
23.【答案】BP=CECE⊥AD
【解析】解：(1)结论：BP=CE，CE⊥AD；理由如下：
如图1，连接AC，延长CE交AD于H，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60∘，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30∘，
∴AB=AC，∠BAC=60∘，∠CAH=60∘，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60∘，
∵∠BAC=∠PAE，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△BAP≌△CAE(SAS)，
∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30∘，
∵∠CAH=60∘，
∴∠CAH+∠ACH=90∘，
∴∠AHC=90∘，即CE⊥AD.
故答案为：BP=CE，CE⊥AD；
(2)(1)中的结论成立．
证明：如图2，连接AC，AC与BD交于点O，
∴△ABC，△ACD为等边三角形，
在△ABP和△ACE中，AB=AC，AP=AE，
又∵∠BAP=∠BAC+∠CAP=60∘+∠CAP，
∠CAE=∠EAP+∠CAP=60∘+∠CAP，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△ABP≌△ACE(SAS)，
∴BP=CE，∠ACE=∠ABD=30∘，
设CE与AD交于点H，
在△ACH中，∠ACH+∠CAH=30∘+60∘=90∘.
∴∠AHC=90∘，
即CE⊥AD；
(3)BP2+DF2=PF2.理由如下：
如图3.1所示：过点P分别作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是 M、N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD平分∠ADC∠ABP=∠ADF=45∘，
∴PM=PN，且PM⊥PN，
又∵PE⊥AP，
∴∠APM=∠EPN，
∴△APM≌△AEPN，
∴AP=PE，即△APE为等腰直角三角形，
∴∠PAE=45∘，
把△ABP绕点A逆时针转90∘，AB与AD重合，点P 的对应点是P，如图3.2，
∴△ABP≌△ADP，
∴AP=AP，∠PAD=∠BAP，BP=DP，
∵∠PAE=45∘，∠BAD=90∘，
∴∠BAP+∠DAE=90∘−∠PAE=45∘，
∴∠PAD+∠DAE=45∘，
即∠PAF=∠PAE=45∘，
∵AF=AF，
∴△P′AF≌△PAE，
∴PF=PF，
∵∠ADP′=∠ABP=∠ADF=45∘，
在Rt△PFD中，P′F2=P′D2+DF2=BP2+DF2，
∴BP2+DF2=PF2.
(1)先判断出∠BAP=∠CAE，进而判断出△BAP≌△CAE，得出BP=CE，∠ABP=∠ACE=30∘，再判断出∠CAH+∠ACH=90∘，即可得出结论；
(2)先根据菱形的性质，得出△ABC和△ACD都是等边三角形，运用角的运算，得∠BAP=∠CAE，证明△ABP≌△ACE，则BP=CE，∠ACE=∠ABP=30∘，即∠CAH+∠ACE=90∘，则∠AHC=90∘，即CE⊥AD；
(3)因为正方形，所以BD平分∠ADC，∠ABP=∠ADF=45∘，证明△APM≌△EPN，即△APE为等腰直角三角形，然后运用旋转性质得出△ABP≌△ADP故AP=AP，∠PAD=∠BAP，BP=DP，通过角的换算，即∠PAF=∠PAE=45∘，证明△PAF≌△PAE，所以PF=PF，最后在Rt△PFD中，P′F2=BP2+DF2，即可作答．
本题属于四边形综合题，主要考查了旋转性质，菱形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
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