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2023-2024学年江西省赣州市大余县八年级(下)期末数学试卷(含详细答案解析)
展开这是一份2023-2024学年江西省赣州市大余县八年级(下)期末数学试卷(含详细答案解析),共21页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.下列各式是最简二次根式的是( )
A. 13B. 12C. a2D. 133
2.在直角三角形中,两条直角边长分别为2和3,则其斜边长为( )
A. 7B. 13C. 11或 7D. 13或 7
3.下列计算正确的是( )
A. 5 2+2 5=7B. 8÷ 2=2
C. 5 3+2 5=5 6D. 412=2 12
4.甲、乙、丙、丁四名学生5次百米赛跑的平均成绩(单位:秒)x−及其方差S2如下表所示,如果要选择一名成绩好且发挥稳定的学生参赛,则应选择的学生是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
5.如图,▱ABCD的周长是32cm,对角线AC与BD交于点O,AC⊥AB,E是BC中点,△AOD的周长比△AOB的周长多4cm,则AE的长度为( )
A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 8cm
6.如图,在平面直角坐标系中,▱OABC的顶点A在x轴上,顶点B的坐标为(6,4).若直线l经过点(1,0),且将▱OABC分割成面积相等的两部分,则直线l的函数解析式是( )
A. y=x+1B. y=13x+1C. y=3x−3D. y=x−1
二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分。
7.若二次根式 2x−1有意义,则x的取值范围是______.
8.若关于x的函数y=(m−1)x|m|−5是一次函数,则m的值为______.
9.计算一组数据的方差的式子为S2=18[(x1−4)2+(x2−4)2+(x3−4)2+…+(x8−4)2],则该组数据共______个数据.
10.数形结合是解决数学问题常用的思想方法,如图,直线y=2x−1与直线y=kx+b(k≠0)相交于点P(2,3).根据图象可知,方程组y=2x−1y=kx+b的解为______.
11.如图,在长方形ABCD中AB=6cm,AD=18cm,将此长方形折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,则BF=______cm.
12.在直角坐标系中,已知A(1,0),B(−1,−2),C(2,−2)三点坐标,若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,那么点D的坐标可以是______.
三、解答题:本题共11小题,共84分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
(1)计算:(2 5− 3)− 20+ 45;
(2)在▱ABCD中,AC与BD相交于点O,点E为CD的中点,AB=6,BC=8.求OE的长.
14.(本小题6分)
如图,在▱ABCD中,AD=2AB,E为AD的中点,求证:BE平分∠ABC.
15.(本小题6分)
已知直线l的解析式为y=−2x+4,与x轴交于点A,与y轴交于点B.
(1)求点A、B的坐标,且在平面直角坐标系内画出直线l的图象;
(2)求点O到直线l的距离.
16.(本小题6分)
在网格纸上,每个小正方形的边长为单位1,用无刻度的直尺作图:
(1)在图1中,画一个面积为20的菱形,且四个顶点都落在格点上;
(2)在图2中,画一个面积为20的菱形,且四个顶点都不在格点上.
17.(本小题6分)
如图,正方形ABCD的边长为4,E是BC的中点,F是CD上一点,且CF=14CD.
(1)求证:∠AEF=90∘;
(2)计算△AEF的面积.
18.(本小题8分)
小芳解答问题“已知a=12+ 3,求2a2−8a+1的值”的过程如下:
∵a=12+ 3=2− 3(2+ 3)(2− 3)=2− 3,
∴(a−2)2=3,即a2−4a+4=3,
∴a2−4a=−1.
∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1.
请你根据小芳的解答过程,解决下列问题:
(1)a=1 2−1,求4a2−8a−1的值;
(2)化简1 3+1+1 5+ 3+1 7+ 5+⋯+1 121+ 119.
19.(本小题8分)
6月26日是“国际禁毒日”,某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动.为了解竞赛情况,从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩(满分为100分),收集数据为:七年级90,95,95,80,90,80,85,90,85,100;八年级85,85,95,80,95,90,90,90,100,90.
整理数据:
分析数据:
根据以上信息回答下列问题:
(1)请直接写出表格中a,b,c,d的值;
(2)通过数据分析,你认为哪个年级的成绩比较好?请说明理由;
(3)该校七、八年级共有600人,本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”.估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”?
20.(本小题8分)
某学校计划购进A,B两种品牌的足球共50个,其中A品牌足球的价格为100元/个,购买B品牌足球所需费用y(单位:元)与购买数量x(单位:个)之间的关系如图所示
(1)请直接写出y与x之间的函数解析式;
(2)若购买B种品牌足球的数量不超过30个,但不少于A种品牌足球的数量,请设计购买方案,使购买总费用W(单位:元)最低,并求出最低费用.
21.(本小题9分)
【课本再现】
【定理证明】
(1)为了证明该定理,小明同学画出了图形(如图(1))并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程:
已知:在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC=BD,求证:▱ABCD是矩形,
【知识应用】
(2)如图(2)在▱ABCD中对角线AC和BD相交于点O,OA=OB.
①求证:▱ABCD是矩形;
②若AB=3,AD=4,P是AD边上不与A和D重合的一个动点,过点P分别作AC和BD的垂线,垂足为E,F,求PE+PF的值.
22.(本小题9分)
如图所示的是一次函数l:y=kx+b的图象,与x轴,y轴分别交于A,B两点.
(1)填空:k ______0,b ______0(填“>”“<”或“=”);
(2)若A(−2,0),B(0,3),用待定系数法求直线l的解析式;
(3)若将直线l向下平移2个单位长度,再向左平移1个单位长度,发现图象回到l的位置,求k的值.
23.(本小题12分)
在△ABC中,B在C的左边,BA=BC=3,将△ABC关于AC作轴对称,得四边形ABCD.P是对角线AC上的动点,E是直线BC上的动点,且PE=PB.
(1)四边形ABCD如图1所示,四边形ABCD是______(填“矩形”或“菱形”或“正方形”);∠DPE______∠ABC(填“=”或“≠”);
(2)四边形ABCD如图2所示,且∠ABC=90∘,四边形ABCD是______(填“矩形”或“菱形”或“正方形”);(1)中∠DPE与∠ABC之间的数量关系还成立吗?若成立,请说明理由.
(3)四边形ABCD如图3所示,若∠ACB=α,∠PEB=β,请直接写出∠DPB的度数.(用含α、β的代数式表示)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解:A、 13是最简二次根式,符合题意;
B、 12=2 3,故不是最简二次根式,不符合题意;
C、 a2=|a|,故不是最简二次根式,不符合题意;
D、 133= 393,故不是最简二次根式,不符合题意;
故选:A.
根据最简二次根式的概念:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可.
本题考查的是最简二次根式的概念,掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式,叫做最简二次根式是解题的关键.
2.【答案】B
【解析】解:由勾股定理得,其斜边长= 22+32= 13,
故选:B.
根据勾股定理计算即可.
本题考查的是勾股定理,如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
3.【答案】B
【解析】解:∵5 2+2 5≠7,
∴选项A不符合题意;
∵ 8÷ 2=2,
∴选项B符合题意;
∵5 3+2 5≠5 6,
∴选项C不符合题意;
∵ 412=3 12,
∴选项D不符合题意.
故选:B.
根据二次根式的加法和除法的运算方法,以及算术平方根的含义和求法,逐项判断即可.
此题主要考查了二次根式的加法和除法的运算方法,以及算术平方根的含义和求法,注意要合并同类二次根式,不同类的二次根式不能合并.
4.【答案】A
【解析】解:根据平均成绩可得甲和丙要比乙、丁好,根据方差可得甲的成绩比乙稳定,
因此要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛,因选择甲,
故选:A.
从平均成绩以及方差分别分析,综合两个方面得出答案.
此题主要考查了方差和平均数,关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.
5.【答案】C
【解析】解:∵▱ABCD的周长为32cm,
∴AB+AD=16cm,OB=OD,
∵△AOD的周长比△AOB的周长多4cm,
∴(OA+OD+AD)−(OA+OB+AB)=AD−AB=4cm,
∴AB=6cm,AD=10cm.
∴BC=AD=10cm.
∵AC⊥AB,E是BC中点,
∴AE=12BC=5cm;
故选:C.
由▱ABCD的周长为32cm,对角线AC、BD相交于点O,若△AOD的周长比△AOB的周长多4cm,可得AB+AD=16cm,AD−AB=4cm,求出AB和AD的长,得出BC的长,再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案.
此题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质.熟练掌握平行四边形的性质,由直角三角形斜边上的中线性质求出AE是解决问题的关键.
6.【答案】D
【解析】解:设D(1,0),
∵线l经过点D(1,0),且将▱OABC分割成面积相等的两部分,
∴OD=BE=1,
∵顶点B的坐标为(6,4).
∴E(5,4)
设直线l的函数解析式是y=kx+b,
∵图象过D(1,0),E(5,4),
∴k+b=05k+b=4,
解得:k=1b=−1,
∴直线l的函数解析式是y=x−1.
故选:D.
首先根据条件l经过点D(1,0),且将▱OABC分割成面积相等的两部分,求出E点坐标,然后设出函数关系式,再利用待定系数法把D,E两点坐标代入函数解析式,可得到答案.
此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式,解题的关键是求出E点坐标.
7.【答案】x≥12
【解析】解:∵二次根式 2x−1有意义,
∴2x−1≥0,
解得:x≥12.
故答案为:x≥12.
根据二次根式中的被开方数是非负数,可得出x的取值范围.
本题考查了二次根式有意义的条件,解答本题的关键是掌握:二次根式有意义,被开方数为非负数.
8.【答案】−1
【解析】解:∵关于x的函数y=(m−1)x|m|−5是一次函数,
∴|m|=1,m−1≠0,
解得:m=−1.
故答案为:−1.
形如y=kx+b(k≠0,k、b是常数)的函数,叫做一次函数.直接利用一次函数的定义,即可得出m的值.
此题主要考查了一次函数的定义,解题时注意一次函数解析式的结构特征:k≠0;自变量的次数为1;常数项b可以为任意实数.
9.【答案】8
【解析】解:∵计算一组数据的方差的式子为S2=18[(x1−4)2+(x2−4)2+(x3−4)2+…+(x8−4)2],
∴这组数据的平均数为4,样本容量为8.
故答案为:8.
由题意知,这组数据的平均数为4,样本容量为8,从而得出答案.
本题主要考查方差,解题的关键是掌握方差的定义和计算公式.
10.【答案】x=2y=3
【解析】解:∵直线y=2x−1与直线y=kx+b(k≠0)相交于点P(2,3).
∴方程组y=2x−1y=kx+b的解是x=2y=3,
故答案为:x=2y=3.
根据两函数交点即为两函数组成的方程组的解,从而求出答案.
本题考查了一次函数与二元一次方程组交点问题,可直接根据交点写出.
11.【答案】10
【解析】解:∵四边形ABCD是矩形,AB=6cm,AD=18cm,
∴∠A=90∘,AD//BC,
∴∠DEF=∠BFE,
由折叠得BE=DE,∠DEF=∠BEF,
∴∠BFE=∠BEF,
∴BE=BF,
∴DE=BF,
∵AB2+AE2=BE2,且AE=AD−DE=18−BF,
∴62+(18−BF)2=BF2,
解得BF=10,
∴BF=10cm,
故答案为:10.
由矩形的性质得∠A=90∘,AD//BC,则∠DEF=∠BFE,由折叠得BE=DE,∠DEF=∠BEF,所以∠BFE=∠BEF,则BE=BF,所以DE=BF,由勾股定理得62+(18−BF)2=BF2,求得BF=10cm,于是得到问题的答案.
此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识,推导出DE=BF是解题的关键.
12.【答案】(−2,0),(4,0),(0,−4)
【解析】解:如图所示:
故答案为:(−2,0),(4,0),(0,−4).
首先以AB为对角线画平行四边形,再以BC为对角线画平行四边形,再以AC为对角线画平行四边形.
此题主要考查了平行四边形的判定,关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
13.【答案】解:(1)原式=2 5− 3−2 5+3 5
=3 5− 3;
(2)∵四边形ABCD为平行四边形,AC与BD相交于点O,
∴OB=OD,
∵点E为CD的中点,
∴OE为△BCD的中位线,
∴OE=12BC=4.
【解析】(1)先将 20, 45化为最简二次根式2 5,3 5,然后再合并同类二次根式即可;
(2)根据平行四边形性质得OB=OD,再根据点E为CD的中点得OE为△BCD的中位线,然后根据三角形中位线定理可得OE的长.
此题主要考查了二次根式的运算,平行四边形的性质,三角形的中位线定理,熟练掌握二次根式的运算法则,平行四边形的性质,三角形的中位线定理是解决问题的关键.
14.【答案】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,
∴∠AEB=∠EBC,
∵E为AD的中点,
∴AD=2AE,
∵AD=2AB,
∴AE=AB,
∴∠ABE=∠AEB,
∴∠ABE=∠ECB,
∴BE平分∠ABC.
【解析】利用平行四边形的性质证得AE=AB,利用等边对等角证得∠ABE=∠AEB,从而得到∠ABE=∠ECB,最后得到结论BE平分∠ABC.
本题考查了平行四边形的性质,解题的关键是根据题意证得AE=AB,难度不大.
15.【答案】解:(1)在一次函数y=−2x+4中,
当x=0时,y=4,
∴B(0,4),
当y=0时,x=2,
∴A(2,0),
图象如图所示:
(2)由(1)可知,OB=4,OA=2,
∴AB= 42+22=2 5,
∴点O到直线的距离为:2×42 5=4 55.
【解析】(1)根据一次函数解析式求出点A、B坐标,并画出一次函数图象即可;
(2)利用三角形OAB的面积关系式求出斜边上的高即可.
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象及性质,熟练掌握画一次函数是关键.
16.【答案】解:(1)如图①,四边形ABCD即为所求;
(2)如图②,四边形EFGH即为所求.
【解析】(1)作一个边为5,高为4的菱形即可;
(2)利用网格特征,取网格线的中点,作出图形即可.
本题考查作图-应用与设计作图,菱形的判定和性质等知识,解题的关键是学会利用数形结合的射线解决问题.
17.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD,∠B=∠C=90∘,
∵E是BC的中点,
∴BE=CE=12BC,
∴BE=12AB,
即BEAB=12,
∵CF=14CD,
∴CF=14BC,
∴CF=12CE,
即CFEC=12,
∴BEAB=CFEC,
∵∠B=∠C=90∘,
∴△ABE∽△ECF,
∴∠AEB=∠EFC,
∵∠C=90∘,
∴∠EFC+∠CEF=90∘,
∴∠AEB+∠CEF=90∘,
∴∠AEF=90∘;
(2)解:∵正方形ABCD的边长为4,
∴AB=BC=CD=4,∠B=∠C=90∘,
∵E是BC的中点,
∴BE=CE=12BC=2,
在Rt△ABE中,由勾股定理得AE= AB2+BE2= 42+22=2 5,
∵CF=14CD,
∴CF=1,
在Rt△EFC中,由勾股定理得EF= CE2+CF2= 22+12= 5,
由(1)知∠AEF=90∘,
∴△AEF的面积12AE⋅EF=12×2 5× 5=5.
【解析】(1)根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证得△ABE∽△ECF,得出∠AEB=∠EFC,再根据∠EFC+∠CEF=90∘得出∠AEB+∠CEF=90∘,于是有∠AEF=90∘,问题得证;
(2)利用勾股定理分别求出AE、EF的长,再根据直角三角形的面积公式计算即可.
本题考查了相似三角形的判定与性质,正方形的性质,勾股定理,熟练掌握这些知识点是解题的关键.
18.【答案】解:(1)∵a=1 2−1= 2+1( 2−1)( 2+1)= 2+1,
∴(a−1)2=2,
即a2−2a+1=2,
∴a2−2a=1,
∴4a2−8a−1=4(a2−2a)−1=4×1−1=3;
(2)∵1 3+1= 3−1( 3+1)( 3−1)= 3−12,
1 5+ 3= 5− 3( 5+ 3)( 5− 3)= 5− 32,
1 7+ 5= 7− 5( 7+ 5)( 7− 5)= 7− 52,
,
1 121+ 119= 121− 119( 121+ 119)( 121− 119)= 121− 1192,
∴1 3+1+1 5+ 3+1 7+ 5+⋯+1 121+ 119
= 3−12+ 5− 32+ 7− 52+...+ 121− 1192
= 3−1+ 5− 3+ 7− 5+...+ 121− 1192
=−1+ 1212
=−1+112
=5.
【解析】(1)先将a进行分母有理化,然后进行变形为(a−1)2=2,最后将4a2−8a−1变形为4(a2−2a)−1计算即可;
(2)先将原式各项分母有理化,然后找到规律,即可得出计算结果.
本题考查了二次根式的化简求值,分母有理化,熟练掌握运用平方差公式进行分母有理化是解题的关键.
19.【答案】解:(1)2;90;90;90.
(2)七、八年级学生成绩的中位数和众数相同,但八年级的平均成绩比七年级高,且从方差看,八年级学生成绩更整齐,综上,八年级的学生成绩好;
(3)∵600×1320=390(人),
答:估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有390人.
【解析】【分析】
本题考查了中位数、众数、平均数、方差和用样本估计总体.
(1)根据提供数据确定八年级95分的人数,利用众数,中位数及平均数分别确定其他未知数的值即可;
(2)利用平均数、众数及方差确定哪个年级的成绩好即可;
(3)用600乘以两个年级竞赛成绩不低于90分的人数所占比例即可.
【解答】
解:(1)观察八年级95分的有2人,故a=2;
七年级的中位数为90+902=90,故b=90;
八年级的平均数为:110×(85×2+95×2+80+90×4+100)=90,故c=90;
八年级中90分的最多,故d=90;
(2),(3)见答案.
20.【答案】解:(1)设当0≤x≤20时,y与x的函数关系式为y=kx,
则20k=2400,得k=120,
即当0≤x≤20时,y与x的函数关系式为y=120x,
设当x>20时,y与x的函数关系式为y=ax+b,
20a+b=240040a+b=4320,得a=96b=480,
即当x>20时,y与x的函数关系式为y=96x+480,
由上可得,y与x的函数关系式为y=120x(0≤x≤20)96x+480(x>20);
(2)设购买B种品牌的足球m个,则购买A种品牌的足球(50−m)个,
50−m≤m≤30,得25≤m≤30,
∵W=100(50−m)+96m+480=−4m+5480,
∴当m=30时,W取得最小值,此时W=−4×30+5480=5360,50−m=20,
答:当购买A种品牌的足球20个,B种品牌的足球30个时,总费用最少,最低费用是5360元.
【解析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
(1)根据函数图象中的数据可以求得y与x之间的函数解析式;
(2)根据题意可以得到W与B种足球数量之间的函数关系,再根据购买B种品牌足球的数量不超过30个,但不少于A种品牌足球的数量,可以求得B种足球数量的取值范围,然后根据一次函数的性质即可解答本题.
21.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB//CD,
在△ABC与△DCB中,
BC=BCAC=DBAB=CD,
∴△ABC≌△DCB(SSS),
∴∠ABC=∠DCB,
∵AB//CD,
∴∠ABC+∠DCB=180∘,
∴∠ABC=∠DCB=12×180∘=90∘,
∴▱ABCD是矩形;
(2)①证明:在▱ABCD中对角线AC和BD相交于点O,
∴OA=OC,OB=OD,
∵OА=OВ,
∴OA=OB=OC=OD,
∴AC=BD,
∴▱ABCD是矩形;
②解:如图,连接OP,
∵过点P分别作AC和BD的垂线,垂足为E,F,
∴S△AOD=12AO⋅PE+12OD⋅PF,
∵四边形ABCD是矩形,AB=3,AD=4,
∴∠BAC=90∘,OB=OD=OA,
∴ВD= 32+42=5,OА=OВ=OD=52,
∴S△AOD=12S△ABD=12×12×3×4=3,
∴S△AOD=12×52⋅PE+1252⋅PF=3,
∴54×(PЕ+PF)=3,
∴PE+PF=125.
【解析】(1)根据平行四边形的性质和已知条件判定△ABC≌△DCB,推出∠ABC=∠DCB,利用平行线的性质得到∠ABC=∠DCB=90∘,即可判定▱ABCD是矩形;
(2)①证明OA=OB=OC=OD,可得AC=BD,结合(1)的结论可得答案;
②如图,连接OP,由过点P分别作AC和BD的垂线,垂足为E,F,可得S△AOD=12AO⋅PE+12OD⋅PF,再进一步解答即可.
本题是四边形综合题,考查的是全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质,矩形的判定与性质,勾股定理的应用,解题的关键是熟练的利用面积法建立方程求解.
22.【答案】>>
【解析】解:(1)∵一次函数l:y=kx+b的图象过一、二、三象限,
∴k>0,b>0;
(2)A(−2,0),B(0,3)代入解析式y=kx+b得,
0=−2k+b3=b,
解得k=32b=3,
∴y=32x+3;
(2)将直线l先向下平移2个单位长度,再向左平移1个单位长度后得到的直线解析式为y=k(x+1)+b−2=kx+k+b−2.
所以k+b−2=b.解得k=2.
(1)根据图象和坐标轴的交点位置即可判断k和b的符号;
(2)把A(−2,0),B(0,3)代入解析式解答即可.
(3)根据平移规律列出关于k的方程,求出k的值即可.
本题考查了一次函数图象与几何变换及一次函数图象与系数的关系,掌握平移规律是解题的关键.
23.【答案】菱形 =正方形
【解析】解:(1)设CD、PE相交于点F,
根据轴对称的性质可知,AD=AB,BC=CD,PB=PD,
∵BA=BC,
∴AB=BC=CD=AD,
∴四边形ABCD是菱形,
∴AB//CD,
∴∠ABC=∠DCE,
在△BCP和△DCP中,
PB=PDBC=CDCP=CP,
∴△BCP≌△DCP(SSS),
∴∠PBC=∠PDC,
∵PE=PB,
∴∠PBC=∠PEC,
∴∠PDC=∠PEC,
∵∠PFD=∠CFE,
∴∠DPE=∠DCE,
∴∠DPE=∠ABC,
故答案为:菱形;=;
(2)同理可证,四边形ABCD是菱形,
∵∠ABC=90∘,
∴菱形ABCD是正方形,
故答案为:正方形;
过点P作MN⊥BC交AD于点M,交BC于点N,
∴AB//MN,
∴∠ABP=∠BPN,
∵PE=PB,PN⊥BE,
∴PN平分∠BPE,
∴∠BPN=∠EPN,
∴∠ABP=∠EPN,
∵∠ABP=∠ADP,
∴∠EPN=∠ADP,
∵∠PMD=90∘,
∴∠DPM+∠PDM=90∘,
∴DPM+∠EPN=90∘,
∴∠DPE=180∘−(∠DPM+∠EPN)=180∘−90∘=90∘,
∴∠DPE=∠ABC;
(3)解:∵PE=PB,∠PEB=β,
∴∠PBE=∠PEB=β,
∵∠ACB=α,
∴∠APB=∠ACB+∠PBE=α+β,
同理可证,△BCP≌△DCP,
∴∠BPC=∠DPC,
∴∠APB=∠APD=α+β,
∴∠DPB=∠APD+∠APB=2(α+β)=2α+2β.
(1)根据轴对称的性质,得到AD=AB,BC=CD,PB=PD,又因为BA=BC,即可证明四边形ABCD是菱形,得到∠ABC=∠DCE再证明△BCP≌△DCP(SSS),得到∠PBC=∠PDC,进而得到∠PDC=∠PEC,最后利用三角形内角和定理,即可得到∠DPE与∠ABC之间的数量关系;
(2)根据一个角是直角的菱形是正方形即可判断四边形ABCD是正方形,过点P作MN⊥BC,先根据平行线的性质,得到∠ABP=∠BPN,再根据等腰三角形三线合一的性质,得到∠BPN=∠EPN,然后根据轴对称的性质得到∠ABP=∠ADP,推出∠EPN=∠ADP,最后利用三角形内角和定理和平角的性质,求出∠DPE=90∘,即可得到∠DPE与∠ABC之间的数量关系;
(3)先根据等边对等角,得到∠PBE=β,再利用三角形外角的性质得到∠APB=α+β,同理可证,△BCP≌△DCP,得到∠APB=∠APD=α+β,即可得到答案.
本题考查了轴对称的性质,全等三角形的判定和性质,菱形的判定和性质,正方形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质等知识,熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键.甲
乙
丙
丁
x−
12
11.5
12
11.5
S2
0.2
1.3
1.5
0.2
分数
人数
年级
80
85
90
95
100
七年级
2
2
3
2
1
八年级
1
2
4
a
1
平均数
中位数
众数
方差
七年级
89
b
90
39
八年级
c
90
d
30
思考:我们知道,矩形的对角线相等,反过来,对角线相等的平行四边形是矩形吗?
可以发现并证明矩形的一个判定定理:对角线相等的平行四边形是矩形.
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