2023-2024学年江西省赣州市章贡区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年江西省赣州市章贡区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A. 8B. 13C. 6D. 0.1
2.若三角形三边的长分别是 2， 3， 5，则该三角形的形状为( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定
3.某小组在一次“在线测试”中做对的题数分别是10，8，6，9，8，7，8，对于这组数据，下列判断中错误的是( )
A. 众数是8B. 中位数是8C. 平均数是8D. 方差是8
4.在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是( )
A. 1：2：3：4B. 1：2：2：1C. 2：3：2：3D. 1：1：2：2
5.关于函数y=−2x−2有下列结论，其中正确的是( )
A. 图象经过(−1,1)点
B. 若A(−2,y1)、B(1,y2)在图象上，则y1C. 图象经过第一、三、四象限
D. 图象向上平移1个单位长度得解析式为y=−2x−1
6.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AD>CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，如果△CDM的周长为6，那么平行四边形ABCD的周长是( )
A. 12B. 15C. 18D. 20
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.化简： 20=______.
8.若函数y=3xm−2是正比例函数，则m的值是______.
9.设一个样本数据为x1，x2，x3，…，xn，它的平均数为5，则另一个样本数据3x1−5，3x2−5，…，3xn−5的平均数是______.
10.如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与y=−x+3的图象交于点A，且点A的纵坐标为2，根据图象，则关于x的不等式k2x+kb>−kx+3k的解集是______.
11.我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴.良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即P′C=10尺，秋千踏板离地的距离P′B和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为______.
12.小亮在一张长为9cm，宽为8cm的矩形纸片上，剪了一个腰长为5cm的等腰三角形(要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上)，则这个等腰三角形的底边为______cm.
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
(1)计算：( 5+ 3)( 5− 3)− 4；
(2)如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交DC于点E，AD=6，AB=9，求EC的长.
14.(本小题6分)
一次函数的图象经过点A(−3,5)和B(0,2)两点.
(1)求出该一次函数的表达式；
(2)若直线AB与x轴交于点C，求△AOC的面积.
15.(本小题6分)
△ABC的三边长分别为5，x−2，x+1，若该三角形是以x+1为斜边的直角三角形，求x的值.
16.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=2CD，E为AB的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹).
(1)在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；
(2)在图2中，若BA=BD，画出△ABD的AD边上的高．
17.(本小题6分)
已知函数y=(m−2)x|m−1|+4是关于x的一次函数.
(1)求m的值；
(2)求出一次函数与x，y轴的交点坐标，并在如图中画出该函数图象；
(3)y的值随x的值的增大而______.(填“增大”或“减小”)
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AE为中线，F为AE的中点，过点A作AD//BC交BF的延长线于点D，连接CD.
(1)求证：四边形AECD为菱形.
(2)给△ABC再添加一个条件，使得四边形AECD为正方形.请写出添加的条件并说明理由.
19.(本小题8分)
某中学为提高学生的安全意识和安全技能，组织七、八年级学生进入区消防支队进行了实地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛.成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分.学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
(1)根据以上信息可以求出：a=______，b=______，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；
(2)依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；
(3)若该校七、八年级共有900人参加本次知识竞赛，且规定9分及9分以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
20.(本小题8分)
在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10.
(1)若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形(E、F相遇时除外)并说明理由.
(2)在(1)条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值.
21.(本小题9分)
小明在解决问题：已知a=12+ 3，求2a2−8a+1的值.
他是这样分析与解的：∵a=12+ 3=2− 3(2+ 3)(2− 3)=2− 3，
∴a−2=− 3，
∴(a−2)2=3，a2−4a+4=3，
∴a2−4a=−1，
∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)1 3+ 2=______，1 5+ 3=______.
(2)化简：1 11+ 9+1 13+ 11+⋯+1 121+ 119.
(3)若a=1 2−1，请按照小明的方法求出4a2−8a+1的值.
22.(本小题9分)
动点H以每秒1cm的速度沿图1中的长方形ABCD按从A−B−C−D的路径匀速运动，相应的三角形HAD的面积S(cm2)与时间t(s)的关系图如图2，已知AD=4cm，设点H的运动时间为t秒.
(1)AB=______，a=______，b=______；
(2)当三角形HAD的面积为8cm2时，求点H的运动时间t的值.
23.(本小题12分)
【课本再现】把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图1的图案，我们有△ACF是一个等腰直角三角形.
(1)请你完成上述结论的证明；
【类比论证】(2)如图2，在正方形ABCD中，E是CD边上一点(不与点C，D重合)，连接BE，将BE绕点E顺时针旋转90∘至FE，作射线FD交BC的延长线于点G，求证：CG=BC；
【探究应用】(3)菱形ABCD中，∠A=120∘，E是CD边上一点(不与点C，D重合)，连接BE，将BE绕点E顺时针旋转120∘至FE，作射线FD交BC的延长线于点G.
①探究线段CG与BC的数量关系，并说明理由；
②若AB=12，E是CD的三等分点，直接写出△CEG的面积为______.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 8=2 2，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、 13= 33，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、 6属于最简二次根式，故本选项符合题意；
D、 0.1= 1010，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C.
根据最简二次根式的定义，逐项判断即可求解．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义的内容是解此题的关键，判断一个二次根式是最简二次根式，必须具备两个条件，①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数的每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2.
2.【答案】B
【解析】解：∵( 2)2+( 3)2=2+3=5，( 5)2=5，
∴( 2)2+( 3)2=( 5)2，
∴该三角形是直角三角形，
故选：B.
根据勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，算出两条短边的平方和与第三边的平方，进行判断即可．
本题主要考查了直角三角形勾股定理的逆定理，解题根据是熟练掌握勾股定理逆定理是：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
3.【答案】D
【解析】解：平均数=(10+8+6+9+8+7+8)÷7=8，
按从小到大排列为：6，7，8，8，8，9，10，
∴中位数是8；
∵8出现了3次，次数最多，
∴众数是8；
方差S2=18[(10−8)2+(8−8)2+(6−8)2+(9−8)2+(8−8)2+(7−8)2+(8−8)2]=1.25.
所以D错误．
故选：D.
由题意可知：这组数据的平均数=(10+8+6+9+8+7+8)÷7；总数个数是奇数的，按从小到大的顺序排列，取中间的那个数便为中位数，按此方法求中位数；一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数，这组数据8出现次数最多，由此求出众数；一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，按此方法计算方差．
考查了方差，加权平均数，中位数及众数的知识，正确理解中位数、众数及方差的概念，是解决本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴选项C符合题意，
故选：C.
根据平行四边形的基本性质：平行四边形的两组对角分别相等即可判断．
此题考查的是平行四边形的基本性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、把x=−1代入函数y=−2x−2得，(−2)×(−1)−2=0≠1，
故点(−1,1)不在此函数图象上，
故A错误，不符合题意；
B、∵函数y=−2x−2中．k=−2<0，
∴y随x的增大而减小，
∵−2<1，
∴y1>y2，
故B错误，不符合题意；
C、∵函数y=−2x−2中．k=−2<0，b=−2<0，
∴y图象经过第二、三、四象限，
故C错误，不符合题意；
D、根据平移的规律，函数y=−2x−2的图象向上平移1个单位长度得解析式为y=−2x−2+1，即y=−2x−1，
故D正确，符合题意．
故选：D.
根据一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．
本题考查了一次函数y=kx+b(k≠0)的性质：当k>0，图象经过第一、三象限，y随x增大而增大；当k<0，图象经过第二、四象限，y随x增大而减小；当b>0，图象与y轴的交点在x的上方；当b=0，图象经过原点；当b<0，图象与y轴的交点在x的下方，也考查了一次函数的图象与几何变换．
6.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AB=CD，AD=BC，
∵OM⊥AC，
∴AM=CM，
∵△CDM的周长为6，
∴CM+DM+CD=AM+DM+CD=6，
∴AD+CD=6，
∴平行四边形ABCD的周长=2(AD+CD)=2×6=12，
故选：A.
由线段垂直平分线的性质可得AM=CM，再由△CDM的周长为6得AD+CD=6，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，求出AD+CD=6是解题的关键．
7.【答案】2 5
【解析】解： 20= 4×5= 4× 5=2 5，
故答案为：2 5.
根据算术平方根的定义进行计算即可．
本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
8.【答案】3
【解析】解：∵函数y=3xm−2是正比例函数，
∴m−2=1，解得：m=3，
则m的值是：3.
故答案为：3.
直接利用正比例函数的定义分析得出即可．
此题主要考查了正比例函数的定义，正确得出关于m的等式是解题关键．
9.【答案】10
【解析】解：由x1，x2，x3，…，xn，它的平均数为5，得：平均数=1n(x1+x2+x3+…+xn)=5，
另一个样本数据3x1−5，3x2−5，…，3xn−5的平均数=1n(3x1−5+3x2−5+3x3−5+…+3xn−5)
=1n×3(x1+x2+x3+…+xn)−5
=15−5
=10.
故答案为10.
解答本题要运用平故答案为均数公式：x−=x1+x2+⋯+xnn.
本题考查了平均数的概念和计算．记住平均数公式：x−=x1+x2+⋯+xnn.
10.【答案】x<1
【解析】解：由一次函数y=kx+b的图象可知，
k<0，
所以不等式k2x+kb>−kx+3k可变形为kx+b<−x+3.
将y=2代入y=−x+3得，
x=1，
所以点A的坐标为(1,2).
由函数图象可知，
当x<1时，一次函数y=kx+b的图象在一次函数y=−x+3图象的下方，即kx+b<−x+3，
所以不等式k2x+kb>−kx+3k的解集为：x<1.
故答案为：x<1.
根据一次函数y=kx+b的图象，得出k<0，进而不等式k2x+kb>−kx+3k可变形为kx+b<−x+3，再利用数形结合的数学思想即可解决问题．
本题主要考查了一次函数与一元一次不等式及两条直线相交或平行问题，熟知一次函数与一元一次不等式之间的关系及巧用数形结合的数学思想是解题的关键．
11.【答案】(x−4)2+102=x2
【解析】解：由题意知：
OC=x−4，P′C=10，OP′=x，
在Rt△OCP′中，由勾股定理得：
(x−4)2+102=x2.
故答案为：(x−4)2+102=x2.
根据勾股定理列方程即可得出结论．
本题主要考查了勾股定理的应用，读懂题意是解题的关键．
12.【答案】5 2或4 5或3 10
【解析】解：设AB=9cm，AD=8cm.
(1)如图①所示，当AE=AF=5cm时，EF为底边．
∴EF= AE2+AF2= 52+52=5 2(cm).
(2)如图②所示，当DE=EF=5cm时，DF为底边．
根据题意可知AE=AD−DE=8−5=3(cm).
∴AF= EF2−AE2= 52−32=4(cm).
∴DF= AD2+AF2= 82+42=4 5(cm).
(3)如图③所示，当DF=EF=5cm时，DE为底边．
根据题意可知CF=CD−DF=9−5=4(cm).
∴CE= EF2−CF2= 52−42=3(cm).
∴DE= CD2+CE2= 92+32=3 10(cm).
综上所述，等腰三角形的底边为5 2cm或4 5cm或3 10cm.
故答案为：5 2或4 5或3 10.
等腰三角形腰的位置不明确，需要根据勾股定理分三种情况分别计算底边的长度：(1)两腰在矩形相邻的两边上；(2)一腰在矩形的宽上；(3)一腰在矩形的长上．
本题主要考查勾股定理，能够根据题意进行分类讨论是解题的关键．
13.【答案】(1)解：原式=( 5)2−( 3)2−2
=5−3−2
=0；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA//CD，AB=CD=9，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD=6，
∴CE=CD−DE=9−6=3，
【解析】(1)根据运算法则行计算即可．
(2)由平行四边形的性质得出对边平行且相等，从而推出角相等即线段间的关系即可解答．
本题考查实数的运算和平行四边形的性质，掌握实数的运算法则和平行四边形的四边形是解题关键．
14.【答案】解：(1)设一次函数解析式为y=kx+b，
∵图象经过A(−3,5)，B(0,2)两点，
∴{5=−3k+b2=b
解得：k=−1，b=2
∴一次函数解析式为y=−x+2；
(2)当y=0时，0=−x+2，
∴x=2，
∴C(2,0)
∴S△AOC=12×OC×yA=12×2×5=5，
答：△AOC的面积为5.
【解析】(1)用待定系数法求解即可；
(2)先求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，以及三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
15.【答案】解：∵该三角形是以x+1为斜边的直角三角形，
∴52+(x−2)2=(x+1)2，
∴x=143.
【解析】根据勾股定理求解即可．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16.【答案】解：(1)如图1所示，AF即为所求：
(2)如图2所示，BH即为所求：

【解析】(1)如图1，连接EC与BD交于点F，连接AF，则AF即为△ABD的BD边上的中线，理由如下：
∵E为AB的中点，
∴AB=2BE，
又∵AB=2CD，
∴BE=CD，
∵AB//CD，
∴∠EBF=∠CDF，∠BEF=∠DCF，
∴△BEF≌△DCF，
∴BF=DF，
即AF为△ABD的BD边上的中线；
(2)如图2，连接EC与BD交于点F，连接AF、DE相交于点G，连接BG并延长与AD交于点H，则BH即为△ABD的AD边上的高，理由如下：
由(1)可得，点E、F是分别是AB、BD边的中点，
∴DE、AF都是△ABD的中线，
∴BH也是△ABD的中线，
又∵BA=BD，
∴BH是△ABD的AD边上的高．
本题考查作图-复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
17.【答案】减小
【解析】解：(1)由y=(m−2)x|m−1|+4是关于x的一次函数，得
m−2≠0|m−1|=1，
解得m=0，
函数解析式为y=−2x+4，
(2)∵y=−2x+4，
当x=0时，y=4，当x=2时，y=0，
过(0,4)和(2,0)画一条直线即可，
(3)∵k=−2，
∴y的值随x的值的增大而减小，
故答案为：减小．
(1)根据一次函数的定义，可得答案；
(2)找出与x轴、y轴交点坐标，连线即可；
(3)根据一次函数的性质解答即可．
本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1.
18.【答案】(1)证明：∵∠BAC=90∘，AE为中线，
∴AE=BE=CE=12AE，
∵AD//BC，
∴∠ADF=∠EBF，
∵F为AE的中点，
∴AF=EF，
在△ADF与△EBF中，
∠ADF=∠EBF∠AFD=∠EBFAF=EF，
∴△ADF≌△EBF(AAS)，
∴AD=BE，
∴AD=CE，
∵AD//CE，
∴四边形AECD我平行四边形，
∵AE=CE，
∴四边形AECD为菱形．
(2)解：添加AB=AC，
理由：∵AB=AC，∠BAC=90∘，AE为中线，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC=90∘，
由(1)知四边形AECD为菱形，
∴四边形AECD为正方形．
【解析】(1)根据直角三角形的性质得到AE=BE=CE=12AE，根据平行线的性质得到∠ADF=∠EBF，根据全等三角形的性质得到AD=BE，根据菱形的判定定理得到结论．
(2)根据等腰直角三角形的性质得到AE⊥BC，求得∠AEC=90∘，根据正方形的判定定理即可得到结论．
本题考查了正方形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握菱形和正方形的判定定理是解题的关键．
19.【答案】9 10
【解析】解：(1)∵七年级成绩由高到低排在第13位的是B等级9分，
∴a=9，
∵八年级A等级人数最多，
∴b=10，
七年级成绩C等级人数为：25−6−12−5=2(人)，
七年级竞赛成绩统计图补充完整如下：
故答案为：9，10；
(2)七年级更好，
理由：七，八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，七年级方差小于八年级方差，
说明七年级一半以上人不低于9分，且波动较小，
所以七年级成绩更好．
(3)6+12+(44%+4%)×2550×900=540(人)，
答：估计该学部七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有540人．
(1)根据中位数的定义可确定a的值；根据众数的定义可确定b的值；先求出七年级C等级的人数，再将七年级竞赛成绩统计图补充完整即可；
(2)根据平均分，中位数，众数，方差的意义回答即可；
(3)分别将样本中七八年级优秀所占比例乘以900即可作出估计．
本题考查条形统计图，扇形统计图，平均数，中位数众数，方差，用样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键．
20.【答案】解：(1)四边形EGFH是平行四边形；理由：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠GAE=∠HCF，
∵G，H分别是AD，BC中点，
∴AG=12AD，CH=12BC，
∴AG=CH，
∵点E，F的运动速度相同，
∴AE=CF，
∴△AGE≌△CHF(SAS)，
∴GE=FH，∠AEG=∠CFH，
∴180∘−∠AEG=180∘−∠CFH，即∠GEF=∠HFE，
∴GE//FH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
故答案为：四边形EGFH是平行四边形；
(2)如图1，连接GH，
∵G，H分别是AD，BC中点，
∴AG=12AD，BH=12BC，
∴AG=BH，
∵AD=BC，
∵在矩形ABCD中，AD//BC，∠B=90∘，
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH=AB=6，
①如图1，当四边形EGFH是矩形时，
EF=GH=6，
∵AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∵AE=CF=t，
∴EF=10−2t=6，
∴t=2；
②如图2，当四边形EGFH是矩形时，
同理EF=GH=6，AE=CF=t，
∴EF=t+t−10=2t−10=6，
∴t=8；
综上所述，四边形EGFH为矩形时，t=2或t=8.
【解析】(1)由矩形的性质证得△AGE≌△CHF(SAS)，得到GE=FH，GE//FH，得到四边形EGFH是平行四边形；
(2)连接GH，则四边形ABHG是矩形，GH=AB=6.分点E，F相遇前和相遇后两种情况讨论，根据矩形的对角线相等即可解答．
本题考查矩形的判定及性质，平行四边形的判定，正确作出辅助线是解决此题的关键．
21.【答案】解：(1) 3− 2， 5− 32.
(2)原式=12×( 11− 9+ 13− 11+...+ 121− 119)
=12×( 121− 9)
=12×(11−3)
=4；
(3)a=1 2−1= 2+1，
∴a−1= 2，
∴(a−1)2=2，即a2−2a+1=2，
∴a2−2a=1，
∴原式=4(a2−2a)+1=4×1+1=5.
【解析】【分析】
(1)将两个式子直接分母有理化，即可得出答案；
(2)先分母有理化，再合并同类二次根式即可；’
(2)先求出a，得出a−1= 2，两边平方，化简得出a2−2a=1，再整体代入所求代数式中求值即可.
本题考查了二次根式的化简求值以及分母有理化，熟练对已知条件进行变形以便整体代入求值是解题的关键.
【解答】
解：(1)1 3+ 2= 3− 2( 3+ 2)( 3− 2)= 3− 2，
1 5+ 3= 5− 3( 5+ 3)( 5− 3)= 5− 32，
故答案为： 3− 2， 5− 32.
(2)见答案；
(3)见答案；
22.【答案】5cm 14 10
【解析】解：(1)由图2得，当0∴当点H运动到点B时，t=5s，
∴AB=5cm，
当5∴当点H运动到点C时，t=9s，此时三角形HAD的面积为长方形面积的一半，
∴S=12AD⋅AB=10cm2，即b=10，
当点H运动到点D处时，S=0，
∴a=9+5=14cm，
故答案为：5cm，14，10；
(2)当点H在AB上时，三角形HAD的面积=12AD⋅AH，
当S=8cm2时，12AD⋅AH=8，
∴AH=4cm，
∴t=4s，
当点H在CD上时，三角形HAD的面积=12AD⋅DH，
当S=8cm2时，12AD⋅DH=8，
∴DH=4cm，CD=1cm，
∴t=10s，
综上，点H的运动时间为4s或10s.
(1)根据图2函数分别分析出当点H运动到点B、C、D处的路程，求出AB，再求出当点H在BC上时的面积即可；
(2)当三角形HAD的面积为8cm2时，点H在AB或CD上，分别计算求出高，再依题意求出路程即可．
本题考查了动点问题的函数图象，能结合图象得到有用条件，利用动点的运动求出相关线段是本题的解题关键．
23.【答案】6 3或12 3
【解析】【课本再现】(1)证明：∵矩形ABCD和矩形CEFG是全等矩形，
∴AC=CF，AD=CG，∠ADC=∠CGF=90∘，
在Rt△ADC和Rt△CGF中，
AC=FCAD=CG，
∴Rt△ADC≌Rt△CGF(HL)，
∴∠ACD=∠GFC，
∵∠GFC+∠GCF=90∘，
∴∠ACD+∠GCF=90∘，
∴∠ACF=90∘：
∴△ACF是为等腰直角三角形；
【类比论证】(2)证明：如图2，过点F作FH⊥CD交CD于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠BCD=90∘，
∴∠H=∠BCD=90∘，
由旋转的性质得：∠BEF=90∘，EF=BE，
∵∠BEC+∠CBE=∠BEC+∠FEH=90∘，
∴∠CBE=∠FEH，
在△BEC和△EFH中，
∠CBE=∠HEF∠BCE=∠HBE=EF，
∴△BEC≌△EFH(AAS)
∴FH=CE，EH=BC，
∴EH=CD，
∴CE+DE=DE+DH，
∴CE=DH，
∴FH=DH，
∴∠FDH=45∘，
∴∠CDG=45∘，
∵∠DCG=90∘，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∴CG=CD=BC；
【探究应用】(3)解：①CG=12BC；理由如下：
过点F作∠EFH=∠BEC，与CD的延长线交于点H，
由旋转的性质得：∠BEF=120∘，BE=EF，
∴∠BEC+∠FED=60∘，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠BCD=120∘，
∴∠EBC+∠BEC=60∘，
∴∠FED=∠EBC，
在△BEC和△EFH中，
∠EBC=∠FEDBE=EF∠BEC=∠EFH,
∴△BEC≌△EFH(ASA)，
∴FH=CE，EH=BC，∠H=∠BCD=120∘，
∴EH=BC=CD，
∴CE+DE=DE+DH，
∴CE=DH，
∴FH=DH，
∴∠FDH=180∘−∠H2=30∘，
∴∠CDG=∠FDH=30∘，
∵∠DCG=180∘−∠BCD=60∘，
∴∠G=90∘，
∴CG=12CD=12BC；
②当CE=13CD时，有CE=13×12=4，
由拓展延伸①得：CG=12CD=6，
∴DG= CD2−CG2=6 3，
∵△CEG，△CDG的底边CE，CD上的高相等，
∴S△CEG=13S△CDE=13×12×6 3×6=6 3，
当DE=13CD时，有CE=23CD，
∴S△CEG=23S△CDG=23×12×6 3×6=12 3，
综上所述，△CEG的面积为6 3或12 3.
故答案为：6 3或12 3.
【课本再现】(1)先证明Rt△ADC≌Rt△CGF，可得∠ACD=∠GFC，从而得到∠ACD+∠GCF=90∘，由此可得答案；
【类比论证】(2)过点F作FH⊥CD交CD于点H，结合正方形的性质和旋转的性质证明△BEC≌△EFH，可得FH=CE，EH=BC，从而得到FH=DH，进而得到△DCG是等腰直角三角形，即可证明结论；
【探究应用】(3)①过点F作∠EFH=∠BEC，与ED的延长线交于点H，可证得△BEC≌△EFH，从而得到FH=CE，EH=BC，∠H=∠BCD=120∘，进而得到FH=DH，∠CDG=∠FDH=30∘，继而得到CG=12CD=12BC；②当CE=13CD时，则DG= CD2−CG2= 122−62=6 3，可知S△CEG=13S△DCG=6 3；当ED=13CD时，CE=23CD，则DG= CD2−CG2= 122−62=6 3可得S△CEG=23S△DCG=12 3；即可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、矩形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、含30∘角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形、矩形、菱形的性质以及旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．年级
平均分
中位数
众数
方差
七年级
8.76
a
9
1.06
八年级
8.76
8
b
1.38