2023-2024学年福建省漳州市八年级（下）期末数学试卷（北师大版A卷）（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年福建省漳州市八年级（下）期末数学试卷（北师大版A卷）（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列分式中，是最简分式的是( )
A. 1mB. 3xyx2C. y−2(y−2)2D. a+ba2−b2
2.如图是荷兰著名版画大师埃舍尔创作的作品《飞马》，该作品运用的数学方法是( )
A. 平移
B. 旋转
C. 轴对称
D. 中心对称
3.不等式2x+8<0的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
4.已知a>b，下列不等式一定成立的是( )
A. a+2b2C. −a>−bD. a−c5.等腰三角形中，一个角为40∘，则这个等腰三角形的底角的度数为( )
A. 100∘B. 40∘C. 40∘或70∘D. 70∘
6.下列从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. (a+b)(a−b)=a2−b2B. 6x2y3=2x2⋅3y3
C. (x−1)2=(1−x)2D. x2−4x+4=(x−2)2
7.分式|y|−2y+2的值为0，则y的值是( )
A. 0B. −2C. 2D. ±2
8.小丽同学学了物理《浮力》这一章后，明白了浸没在水中的物体，当浮力大于重力时，物体会上浮，最终会漂浮在水面.现有一实心木块(不吸水)的密度为a千克每立方米，把它浸没在水中后放手，木块最终漂浮在水面，则a的取值范围是( )
A. a≥1×103B. a≤1×103C. a>1×103D. a<1×103
9.中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法.如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG.若DE=6，GB=4，则△ABC的面积是( )
A. 60
B. 48
C. 36
D. 24
10.如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，EF⊥BC，垂足为点F，∠D=60∘，AE=2，则BF的长为( )
A. 1+ 3B. 3C. 2 3D. 15
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若分式2x−3有意义，则实数x的取值范围是__________ .
12.分解因式：mx2+2m=______.
13.如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，则这个正八边形的一个内角是______ ∘.
14.如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6，点D在△ABC内部，BD=CD，AD=1，则点D到BC的距离是______.
15.如图，△ABC的顶点坐标分别为A(2,4)，B(0,1)，C(0,4)，将△ABC绕某一点旋转可得到△A′B′C′，△A′B′C′的三个顶点都在格点上，则旋转中心的坐标是______.
16.在平面直角坐标系内，一次函数y=ax+b(a>0)的图象如图所示，给出下列结论：
①a+b=0；
②当x>1时，y<0；
③关于x的不等式ax+b≤−x+1的解集是x≥1；
④关于x的不等式a(x+1)+b≤0的解集是x≤0.
其中正确的是______.(写出所有正确的结论的序号)
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解不等式组{2x−1⩽1①x−3⩽5(x+1)②.
18.(本小题8分)
化简求值：(1−1a−2)÷a2−9a−2，其中a=−1.
19.(本小题8分)
如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且CE=BF.求证：AB//CD.
20.(本小题8分)
为了创建干净整洁、文明和谐的社区环境，某社区准备购买A、B两种分类垃圾桶.购买A种垃圾桶共花费1600元，B种垃圾桶共花费1200元.已知A种垃圾桶的单价是B种垃圾桶单价的2倍，且购买A种垃圾桶的数量比B种垃圾桶的数量少10个.求A、B两种垃圾桶的单价.
21.(本小题8分)
要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤：
试按照以上步骤证明：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.
已知：如图，在△ABC中，______.
求证：______.
证明：
22.(本小题10分)
根据以下思考，探索完成任务.
23.(本小题10分)
已知：如图，在△ABC中，∠BAC=60∘，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转60∘得到△DEC，点A的对应点为点D.
(1)求作△DEC；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)连接AE，若AB=2，AC=3，求AE的长.
24.(本小题12分)
阅读以下材料，回答问题.
对于三个数a，b，c，用min{a,b,c}表示这三个数中最小的数，用N(x)表示不小于x的最小整数，则N(x)−1(1)min{ 5,2, 3}=______；
(2)若N(x)=2x−1，求x的值；
(3)若min{2,x,2x−1}=N(x)，求x的值.
25.(本小题14分)
如图，在平面直角坐标系中，A(0,4)，B(−3,0)，点C在x轴正半轴上，且四边形ABCD是平行四边形，BC=5.
(1)求出点D的坐标；
(2)一次函数y=kx−k+2的图象分别与线段AD，BC交于E，F两点，求证：DE=BF；
(3)点M是直线AC上一动点，在x轴上是否存在点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、1m是最简分式，符合题意；
B、3xyx2=3yx不是最简分式，不符合题意；
C、y−2(y−2)2=1y−2不是最简分式，不符合题意；
D、a+ba2−b2=a+b(a−b)(a+b)=1a−b不是最简分式，不符合题意；
故选：A.
根据最简分式的定义进行解题即可．
本题考查最简分式，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：该作品运用的数学方法是平移，
故选：A.
根据平移的性质即可得到结论．
此题主要考查了中心对称、轴对称的性质以及平移的性质，关键是掌握平移的性质．
3.【答案】D
【解析】解：移项，得：2x<−8，
系数化为1，得：x<−4，
故选：D.
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
4.【答案】B
【解析】解：A、∵a>b，
∴a+2>b+2，原不等式变形错误，故本选项不符合题意；
B、∵a>b，
∴a2>b2，原不等式变形正确，故本选项符合题意；
C、∵a>b，
∴−a<−b，原不等式变形错误，故本选项不符合题意；
D、∵a>b，
∴a−c>b−c，原不等式变形错误，故本选项不符合题意；
故选：B.
根据a>b，运用不等式的基本性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：当40∘的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数=180∘−40∘2=70∘；
当40∘的角为等腰三角形的底角时，其底角为40∘，
故它的底角的度数是70∘或40∘.
故选：C.
由于不明确40∘的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分40∘的角是顶角和底角两种情况讨论．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确40∘的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想．
6.【答案】D
【解析】解：(a+b)(a−b)=a2−b2是乘法运算，则A不符合题意；
6x2y3=2x2⋅3y3是单项式，则B不符合题意；
(x−1)2=(1−x)2中等号右边不是多项式，则C不符合题意；
x2−4x+4=(x−2)2符合因式分解的定义，则D符合题意；
故选：D.
将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可．
本题考查因式分解的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：由分式|y|−2y+2的值为0，得
|y|−2=0且y+2≠0.
解得y=2，
故选：C.
根据分子为零，分母不为零分式的值为零，可得答案．
本题考查了分式的值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
8.【答案】D
【解析】解：由于木块最终漂浮在水面，说明木块的密度小于水的密度，
即a<1×103，
故选：D.
根据浮力的意义以及漂浮的条件即可得出答案．
本题考查科学记数法，掌握物体漂浮的条件是正确解答的关键．
9.【答案】B
【解析】解：由题意，BG=CH=AF=4，DG=DF，EF=EH，
∴DG+EH=DE=6，
∴BC=GH=6+6=12，
∴△ABC的边BC上的高为8，
∴S△ABC=12×12×8=48，
故选：B.
根据图形的拼剪，求出BC以及BC边上的高即可解决问题．
本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
10.【答案】B
【解析】解：作AG⊥BC于点G，
∵EF⊥BC于点F，
∴AG//EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=60∘，AE=2，
∴AD//BC，∠ABC=∠D=60∘，
∴AE//FG，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴FG=AE=2，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=2，
∵∠AGB=90∘，∠BAG=90∘−∠ABC=30∘，
∴BG=12AB=1，
∴BF=BG+FG=1+2=3，
故选：B.
作AG⊥BC于点G，可证明AG//EF，由平行四边形的性质得AD//BC，∠ABC=∠D=60∘，则四边形AEFG是平行四边形，所以FG=AE=2，再证明∠ABE=∠AEB，则AB=AE=2，由∠AGB=90∘，∠BAG=30∘，得BG=12AB=1，所以BF=BG+FG=3，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】x≠3
【解析】解：根据题意得：x−3≠0，解得：x≠3.
故答案是：x≠3.
根据分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0.
12.【答案】m(x2+2)
【解析】解：mx2+2m=m(x2+2).
故答案为：m(x2+2).
提公因式即可．
本题考查因式分解-提公因式，解题的关键是掌握提公因式的方法．
13.【答案】135
【解析】解：(8−2)×180∘8=135∘，
即这个正八边形的一个内角是135∘，
故答案为：135.
根据多边形的内角和及正多边形的性质列式计算即可．
本题考查多边形的内角和及正多边形性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
14.【答案】 7−1
【解析】解：延长AD交BC于H，
∵AB=AC=4，BD=CD，
∴AH垂直平分BC，
∴BH=CH=3，∠AHB=90∘，
∴AH= AB2−BH2= 42−32= 7，
∴DH=AH−AD= 7−1，
∴点D到BC的距离是 7−1，
故答案为： 7−1.
延长AD交BC于H，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理是解题的关键．
15.【答案】(−1,0)
【解析】解：如图所示，
点Q即为旋转中心，其坐标为(−1,0).
故答案为：(−1,0).
根据旋转前后对应点连线的垂直平分线经过旋转中心即可解决问题．
本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
16.【答案】①②④
【解析】解：①一次函数y=ax+b(a>0)的图象过点(1,0)，则a+b=0，故结论①正确；
②由图象可知，当x>1时，y>0，故结论②错误；
③∵直线y=−x+1过点(1,0)，且y隧x的增大而减小，直线y=ax+b(a>0)过点(1,0)，且y隧x的增大而增大，
∴关于x的不等式ax+b≤−x+1的解集是x≤1；故结论③错误；
④∵一次函数y=ax+b(a>0)的图象过点(1,0)，
∴一次函数y=ax+b(a>0)的图象向左平移一个单位过点(0,0)，即直线y=a(x+1)+b过原点，
∵y隧x的增大而增大，
∴关于x的不等式a(x+1)+b≤0的解集是x≤0，故结论④正确．
故答案为：①②④．
根据一次函数的图象，一次函数的性质已经平移的规律直接进行解答即可．
本题考查的是一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象和性质及一次函数图象与几何变换，利用数形结合求解是解答此题的关键．
17.【答案】解：由不等式①得x≤1，
由不等式②得x≥−2，
所以不等式组的解集为−2≤x≤1.
【解析】先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集．
主要考查了解一元一次不等式组，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解).
18.【答案】解：(1−1a−2)÷a2−9a−2
=a−2−1a−2÷(a+3)(a−3)a−2
=a−3a−2⋅a−2(a+3)(a−3)
=1a+3，
当a=−1时，原式=1−1+3=12.
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a=−1代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
19.【答案】证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠DFC=∠AEB=90∘，
又∵CE=BF，
∴CE−EF=BF−EF，即CF=BE，
在Rt△DFC和Rt△AEB，
CF=BECD=AB，
∴Rt△DFC≌Rt△AEB(HL)，
∴∠B=∠C，
∴AB//CD.
【解析】由AE⊥BC，DF⊥BC，得∠DFC=∠AEB=90∘，又由CE=BF，可得CE−EF=BF−EF，即CF=BE，AB=CD，所以△DFC≌△AEB，即可得出∠B=∠C，进而得证．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，在两直角三角形中，当斜边和一条直角边对应相等时，两直角三角形全等．
20.【答案】解：设B种垃圾桶的单价是x元，则A种垃圾桶单价为2x元，
由题意得：16002x+10=1200x，
解得：x=40，
经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，
∴2x=2×40=80，
答：A种垃圾桶的单价是80元，B种垃圾桶单价是40元．
【解析】设B种垃圾桶的单价是x元，则A种垃圾桶单价为2x元，根据“购买A种垃圾桶共花费1600元，B种垃圾桶共花费1200元，购买A种垃圾桶的数量比B种垃圾桶的数量少10个”，列出分式方程，解分式方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21.【答案】EF是ABC的中位线，AD是ABC的中线 AD与EF互相平分．
【解析】已知：△ABC中，EF是ABC的中位线，AD是ABC的中线．
求证：AD与EF互相平分．
证明：连接DE，DF.
∵EF是ABC的中位线，AD是ABC的中线．
∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴线段AD，EF互相平分．
故答案为：EF是ABC的中位线，AD是ABC的中线．AD，EF互相平分．
证明四边形AEDF是平行四边形即可．
本题考查三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．
22.【答案】解：任务1：原式=x2−6x+9−9−27
=(x−3)2−36
=(x−3+6)(x−3−6)
=(x+3)(x−9)；
任务2：方案2的教育经费较多，理由如下：
方案1：(1+m)(1+n)=1+m+n+mn；方案2：(1+m+n2)2=1+m+n+(m+n)24，
∵m≠n，
∴1+m+n+(m+n)24−(1+m+n+mn)
=(m+n)24−mn
=14m2+14n2+12mn−mn
=14m2+14n2−12mn
=14(m2+n2−2mn)
=14(m−n)2>0，
∴1+m+n+(m+n)24>1+m+n+mn，
∴方案2的教育经费较多．
【解析】任务1：利用配方法，将原式进行分解因式；
任务2：用含m，n的代数式表示出两种方案投入的教育经费，作差后，可得出1+m+n+(m+n)24−(1+m+n+mn)=14(m−n)2，结合偶次方的非负性，即可得出结论．
本题考查了因式分解的应用以及偶次方的非负性，解题的关键是：(1)熟练掌握分解因式的方法；(2)利用偶次方的非负性，找出1+m+n+(m+n)24>1+m+n+mn.
23.【答案】解：(1)△CDE即为所求；
(2)连接AD，
由旋转的性质得：∠ACD=60∘，∠CDE=∠BAC=60∘，DE=AB=2，AC=CD=3，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ADC=60∘，CD=AD=3，
∴A、D、E三点共线，
∴AE=AD−DE=3−2=1.
【解析】(1)根据等边三角形的性质作图；
(2)根据旋转的性质、等边三角形的判定和性质求解．
本题考查了复杂作图，掌握旋转的性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键．
24.【答案】 3
【解析】解：(1)∵2< 5<3，1< 3<2，
∴ 5>2> 3，
∴min{ 5,2, 3}= 3，
故答案为： 3；
(2)由题意得：2x−1≥x2x−1−1解得：1≤x<2，
∵2x−1是整数，
∴x的值为1或32，
故答案为：1或32；
(3)分种情况：
①当x是整数时，
∵min{2,x,2x−1}=N(x)，
∴2≥2x−1≥x，
∴1≤x≤32，
∴x=1；
②当x不是整数时，
当min{2,x,2x−1}=2x−1时，即2x−1≤x2x−1≤2
∴x≤1，
∴2x−1−1∴1≤x<2或1∴x=1或32，
故答案为：1或32.
(1)根据材料中的定义即可求解；
(2)根据N(x)−1(3)据N(x)−1本题主要考查了一次函数、二次函数的图象与性质，比较大小以及利用已知提供信息得出函数值的方法，读懂题目信息并理解新定义“M”与“min”的意义是解题的关键．
25.【答案】(1)解：∵A(0,4)，B(−3,0)，
∴AO=4，BO=3，
∴AB=5，
∵BC=5，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD=5，
∴D(5,4)；
(2)证明：∵BC=5，OB=3，
∴OC=2，
∴C(2,0)，
∴AC的中点O(1,2)，
∵y=kx−k+2=k(x−1)+2，
∴直线经过点O(1,2)，
连接AC，
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴AO=CO，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF，
∵AD=BC，
∴DE=BF；
(3)解：在x轴上存在点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设直线AC的解析式为y=kx+4，
∴2k+4=0，
解得k=−2，
∴直线AC的解析式为y=−2x+4，
设N(x,0)，M(m,−2m+4)，
当OD为平行四边形的对角线时，5=x+m，4=−2m+4，
解得m=0，x=5，
∴N(5,0)；
当OM为平行四边形的对角线时，m=x+5，−2m+4=4，
解得m=0，x=−5，
∴N(−5,0)；
当ON为平行四边形的对角线时，x=m+5，0=4+4−2m，
解得m=4，x=9，
∴N(9,0)；
综上所述：N点坐标为(5,0)或(−5,0)或(9,0).
【解析】(1)根据平行四边形的性质可知AD=BC=5，AD//BC，即可求D点坐标；
(2)AC的中点O(1,2)，再由直线y=kx−k+2经过点O(1,2)，连接AC，可证明△AOE≌△COF(ASA)，从而得到AE=CF，再由AD=BC，即可证明DE=BF；
(3)先求直线AC的解析式为y=−2x+4，设N(x,0)，M(m,−2m+4)，根据平行四边形对角线的情况分三种情况讨论即可求解．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．完全平方的思考
素材1
“我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式”.如果一个多项式不是完全平方式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.
如：分解因式a2+2a−3.
解：原式=(a2+2a+1)−1−3
=(a+1)2−4
=(a+1+2)(a+1−2)
=(a+3)(a−1).
素材2
若a≠b，则a2−2ab+b2=(a−b)2>0
任务1
分解因式
用素材1的方法分解因式：x2−6x−27.
任务2
方案选择
为发展教育事业，某市计划连续两次加大对教育经费的投入，现有两种方案：
方案1：第一次投入的增长率为m，第二次投入的增长率为n；
方案2：两次投入的增长率均为m+n2.
若m≠n，则连续投入两次后，哪一种方案的教育经费较多？为什么？