2023-2024学年福建省福州十二中八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州十二中八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 7的整数部分是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
2.下列各组数中，相等的一组是( )
A. 23与−23B. 32与(−3)2C. (−4)3与|−4|3D. 223与(23)2
3.下列运算正确的是( )
A. 5a+3b=8abB. 4a3+3a4=7a7C. 9a2−6a2=3D. 9a6b−9ba6=0
4.若1112−1=110k，则k的值为( )
A. 109B. 110C. 111D. 112
5.如图，在△ABC中，∠C=90∘，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，若EC=1，BE=2，则AC的长为( )
A. 2
B. 1.5
C. 3
D. 2
6.为了推广环保理念，社区举办了一场“垃圾分类与环保”知识竞赛.在答题完成后，由7位评委为参赛者小敏的答题情况进行打分，得到了7个评分.根据这些评分计算了平均数、中位数、众数和方差.如果去除这7个评分中的一个最高分和一个最低分后，剩余的5个评分重新统计，则这四个统计量的值一定不会发生变化的是( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
7.将一块含30∘角的直角三角板ABC按如图方式放置在矩形DEFG上，点A，B分别落在边DG，DE上.若∠1=75∘，则∠2的度数为( )
A. 103∘
B. 104∘
C. 105∘
D. 106∘
8.如图，∠A=∠OBC=∠OCD=∠ODE=90∘，OA=AB=BC=CD=DE=1，则下列线段首尾顺次相接能组成直角三角形的是( )
A. OC，OD，OE
B. OB，OD，OE
C. OB，OC，OE
D. OB，OC，OD
9.若关于x的一元一次方程2x−a=0的解为x=1，则关于x的不等式组x−2>08−ax≥0的整数解的个数是( )
A. 12B. 2C. 3D. 4
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，若点B的坐标为(0,1)，∠OAB=15∘，则直线AB的解析式为( )
A. y=( 3−2)x+1
B. y=(1− 2)x+1
C. y=( 3− 5)x+1
D. y=− 2x+1
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.代数式 x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________.
12.已知点A(1,2)，B(2,a)均在直线y=kx(k为常数且k≠0)上，则a的值为______.
13.已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的方差为______.
14.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，交AC于点E，若OA=1，则OE的长为______.
15.如图，将▱ABCD的两边AD与CD分别沿DE，DF翻折，点A，C恰好与点B重合，则∠EDF的大小为______.
16.如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，BC=AD，DE⊥AC于E，连接BE，若CE=1，则BE的长为______.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算： (−3)2+(− 3)0− 25.
18.(本小题8分)
已知a=4b，求代数式(aa−b−1)÷ab−b2a2−b2的值.
19.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE=CF.求证：DE=BF.
20.(本小题8分)
如图是一张对边平行的纸片，点A，C分别在平行边上，连接AC.
(1)求作：菱形ABCD，使点A，D落在纸片的同一边上；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，AC，BD交于点O，若BC=6，OC=3，求菱形ABCD的面积.
21.(本小题8分)
在某校园科技节中，学生们需要完成三个项目：科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告.每个项目的成绩都会对学生的最终评价产生影响.只有当学生的综合评价得分(满分100分)达到85分及以上时，才能被授予“科技小达人”的称号.
现在我们关注两名学生小玉和小榕，她们在科技节中的部分项目成绩已经公布.
(1)如果综合评价得分是科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告三项成绩的平均分，请为小玉计算出这一得分，并判断她是否符合“科技小达人”的标准；
(2)学校考虑将科技小制作、科技知识竞赛和科技创新报告的权重设为1：2：3计算综合评价得分.请确定小榕在科技创新报告中至少需要获得多少分才能达到“科技小达人”的标准.(分数需为整数)
22.(本小题10分)
某校要购买A型和B型两种运动器材丰富学生的体育活动.学校发现，如果买1套A型器材和2套B型器材要花费2600元；如果购买3套A型器材和1套B型器材要花费2800元.
(1)求每套A型器材和每套B型器材售价各多少元？
(2)现在学校计划购买A型和B型两种运动器材共20套(A型和B型都需要购买).考虑到场地限制和学生使用的需求，购买的A型器材数量不超过B型器材的3倍.那么学校应该如何分配A型和B型器材的购买数量，才能使总费用最低？总费用最低是多少元？
23.(本小题10分)
综合实践：按照要求测量木料之间的距离.
A.木料特征：如图①是一块木料，其中两边m和n是相互平行.
B.测量目标：需要测量如图①这块木料上平行边m和n之间的垂直距离.
C.测量工具：如图②，一把刻度尺.(刻度尺宽度为tcm，两端受损，可以测量木料上任意两点之间距离，但无法用刻度尺直接画出直角)
D.测量方法及求解过程
(1)小清同学完成的测量步骤及求解过程，如图③所示
测量步骤如下：
步骤一：在边m上取点A，在边n上取点B，C；
步骤二：连接AB，AC；
步骤三：把刻度尺一边与BC重合，另一边与AB交于点D，与AC交于点E；
步骤四：测得，BC=acm，DE=bcm；
求解过程如下：
过点A作AM⊥BC交DE于点N，交n于点M，
则MN=①_____cm，AM⊥DE
设AM=xcm，则AN=②_____cm
∵S△ABC=S△ADE+S梯形DBCE
∴12BC⋅AM=12DE⋅AN+12(DE+BC)MN
∴12ax=③_____+④_____
∴这块木料上平行边m和n之间的垂直距离AM=xcm=⑤_____cm
请补充小清同学求解过程中①②③④⑤所缺的内容；
(2)小庄同学也想利用所提供的测量工具，设计另一种测量木料之间的距离方案，请你根据图④帮助小庄同学完成测量方案，要求写出测量步骤及求解过程.
要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示.(说明：操作、说理思路相同的方案视为同一种方案)
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，无论k为何值，直线l：y=kx−k+4都经过定点A，直线l与x轴交于点E，点B的坐标为(−2,0).
(1)求点A的坐标；
(2)若AB⊥l，求直线l的解析式；
(3)点C在直线l上，且AC=1，D是BC的中点，当OD取最小值时，求k的值.
25.(本小题14分)
如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，延长AE交CD于点F，EH⊥BC交BC于H.点G在BH上，且GH=HC.
(1)求证：AE=EG；
(2)如图1，连接GF，交EH于点M：
①求证：EM=12GF；
②求证：AE2−EF2=4MH⋅ME.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵4<7<9，
∴2< 7<3，
∴ 7的整数部分是2.
故选：A.
根据算术平方根的定义估算出 7的大小即可．
本题主要考查了估算无理数的大小，解题关键是熟练掌握算术平方根的定义．
2.【答案】B
【解析】解：A、8与−8不相等，故该选项不符合题意；
B、9与9相等，故该选项符合题意；
C、−64与64不相等，故该选项不符合题意；
D、43与49不相等，故该选项不符合题意．
故选：B.
根据有理数的乘方计算下列各数即可得出答案．
本题考查了有理数的乘方和绝对值，掌握有理数的乘方的运算法则和绝对值的定义是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、5a与3b不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、4a3与3a4不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
C、9a2−6a2=3a2，故此选项不符合题意；
D、9a6b−9ba6=0，故此选项符合题意；
故选：D.
先判断是否是同类项，然后根据合并同类项法则计算分析判断即可．
本题考查了合并同类项，熟练掌握同类项的定义以及合并同类项法则是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵1112−1110=110k，
∴k=1112−1110
=(110+1)2−1110
=1102+2×110×1+12−1110
=110+2
=112.
故选：D.
根据有理数的乘方的定义进行计算．
本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的定义是关键．
5.【答案】C
【解析】解：连接AE，
∵DE垂直平分AB，BE=2，
∴AE=BE=2，
在Rt△ACE中，∠C=90∘，
∴AC= AE2−CE2= 22−12= 3，
故选：C.
连接AE，根据线段垂直平分线的性质求出AE，再根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、勾股定理，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，5个有效评分，与7个原始评分相比，不变的特征数据是中位数．
故选：B.
根据题意，由中位数、平均数、方差、众数的定义，判断即可．
本题考查中位数、平均数、方差、众数的定义，注意这几种数据特征的定义以及计算方法，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由题意可知，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，∠BAC=60∘，
∵∠1=75∘，
∴∠DAB=180∘−60∘−75∘=45∘，
在矩形DEFG中，∠D=90∘，
∴∠ABD=180∘−90∘−45∘=45∘，
∴∠2=180∘−45∘−30∘=105∘，
故选：C.
根据三角形内角和定理及已知条件列式计算即可．
本题考查的是三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵∠A=90∘，OA=AB=1，
∴OB= AO2+AB2= 12+12= 2，
∵∠OBC=90∘，BC=1，
∴OC= OB2+BC2= ( 2)2+12= 3，
∵∠OCD=90∘，CD=1，
∴OD= OC2+CD2= ( 3)2+12=2，
∵∠ODE=90∘，DE=1，
∴OE= OD2+DE2= 12+22= 5，
∵OB2+OC2=( 2)2+( 3)2=5，OE2=( 5)2=5，
∴OB2+OC2=OE2，
∴线段OB，OC，OE首尾顺次相接能组成直角三角形，
故选：C.
先利用勾股定理求出OB，OC，OD，OE的长，然后利用勾股定理的逆定理进行计算，即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵关于x的一元一次方程2x−a=0的解为x=1，
∴2−a=0，
解得a=2，
∴不等式组x−2>08−ax≥0为x−2>08−2x≥0，
解得2∴不等式组x−2>08−ax≥0的整数解为3，4，
∴不等式组x−2>08−ax≥0的整数解的个数为2，
故选：B.
根据关于x的一元一次方程2x−a=0的解为x=1，可以求得a的值，然后将a代入不等式组，求出不等式组的解集，再写出不等式组x−2>08−ax≥0的整数解，即可得到不等式组x−2>08−ax≥0的整数解的个数．
本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
10.【答案】A
【解析】解：作AB的垂直平分线，交OA于点D，则AD=BD，
∴∠ABD=∠OAB=15∘，
∴∠ODB=30∘，
在Rt△OBD中，∠ODB=30∘，
∴BD=2OB，
∵点B的坐标为(0,1)，
∴OB=1，
∴BD=2，
∴OD= BD2−OB2= 22−12= 3，AD=2，
∴OA=OD+AD=2+ 3，
∴A(2+ 3,0)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴(2+ 3)k+b=0b=1，
解得k= 3−2b=1，
∴直线AB的解析式为y=( 3−2)x+1.
故选：A.
作AB的垂直平分线，交OA于点D，则AD=BD，然后解直角三角形，求得A(2+ 3,0)，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，解直角三角形等，求得A点的坐标是解题的关键．
11.【答案】x≥1
【解析】解：∵ x−1在实数范围内有意义，
∴x−1≥0，
解得x≥1.
故答案为：x≥1.
先根据开平方有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是开平方有意义的条件，即被开方数大于等于0.
12.【答案】4
【解析】解：∵点A(1,2)和B(2,a)均在直线y=kx(k为常数且k≠0)上，
∴2=k，
∴a=2×2，
∴a=4.
故答案为：4.
根据函数图象上点的坐标特征得到k，然后求解即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
13.【答案】2
【解析】解：平均数为=(1+2+3+4+5)÷5=3，
S2=15[(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(5−3)2]=2.
故答案为：2.
先求出这5个数的平均数，然后利用方差公式求解即可．
本题考查了方差的知识，牢记方差的计算公式是解答本题的关键，难度不大．
14.【答案】 2−1
【解析】解：∵四边形ABCD正方形，
∴AC⊥BD，OA=OB，
∵OA=1，
∴AB= OA2+OB2= 12+12= 2，
∵以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，交AC于点E，
∴AE=AB= 2，
∴OE=AE−OA= 2−1，
故答案为： 2−1.
首先由勾股定理求得AB，进而得到AE，然后与OA相减即可得解．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．
15.【答案】60∘
【解析】解：由翻转变换的性质可知，DA=DB=DC，∠ADE=∠BDE，∠CDF=∠BDF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，
∴AB=BC=CD=AD=BD，
∴△ABD和△BCD是等边三角形，
∴∠ADB=∠CDB=60∘，
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=12(∠ADB+∠CDB)=60∘，
故答案为：60∘.
先证明△ABD和△BCD是等边三角形，可得∠ADB=∠CDB=60∘，再由折叠性质求解即可．
本题考查的是翻转变换的性质、平行四边形的性质及等边三角形的判定与性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
16.【答案】 17
【解析】解：作EF⊥BC于F，
在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=∠ADC=90∘，
∵BC=AD，
∴AD=2CD，
∴tan∠C=ADCD=DECE=2，
∴DE=2CE=2，
∴CD= DE2+CE2= 22+12= 5，
∴BC=2 5，
∵S△DEC=12DE⋅CE=12×2×1=1，
∴S△BCE=2S△DEC=2，
∴12BC⋅EF=2，即12×2 5⋅EF=2，
∴EF=2 55，
∴CF= CE2−EF2= 12−(2 55)2= 55，
∴BF=2 5− 55=9 55，
∴BE= BF2+EF2= (9 55)2+(2 55)2= 17.
故答案为： 17.
根据等腰三角形三线合一的性质可知AD⊥BC，利用三角函数求得DE=2CE=2，然后利用勾股定理求得CD、EF，进一步求得BC、FC，然后利用勾股定理即可求得BE.
本题考查了等腰三角形的性质，直角三角函数，勾股定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握以上知识．
17.【答案】解：原式= 9+1−5
=3+1−5
=−1.
【解析】先算乘方，零指数幂，求算术平方根，再算加减．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
18.【答案】解：原式=a−a+ba−b⋅(a+b)(a−b)b(a−b)
=ba−b⋅(a+b)(a−b)b(a−b)
=a+ba−b，
当a=4b时，原式=4b+b4b−b=53.
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19.【答案】证明：在平行四边形ABCD中，
AB//CD，AB=CD，
∵AE=CF，
∴BE=DF，BE//DF.
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴DE=BF.
【解析】要证DE=BF，只需证四边形DEBF是平行四边形，而很快证出BE=DF，BE//DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证出．
本题考查了平行四边形的判定．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
20.【答案】解：(1)如图，菱形ABCD为所作；
(2)∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，
在Rt△BOC中，∵BC=6，OC=3，
∴OB= 62−32=3 3，
∴BD=2OB=6 3，
∵AC=2OC=6，
∴菱形ABCD的面积=12×6×6 3=18 3.
【解析】(1)作AC的垂直平分线交平行纸片的两边于点D、B，则AC⊥BD，OA=OC，再证明△AOD≌△COB得到OD=OB，则AC、BD互相垂直平分，所以四边形ABCD为菱形；
(2)先根据菱形的性质得到AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，则利用勾股定理计算出OB=3 3，然后根据菱形的面积公式计算．
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质．
21.【答案】解：(1)小玉的综合评价得分为：92+82+843=86(分)，
∵86>85，
∴小玉符合“科技小达人”的标准；
(2)设小榕在科技创新报告中至少需要获得x分才能达到“科技小达人”的标准，
82×1+90×2+3x6≥85，
解得x≥2483，
∵分数为整数，
∴小榕在科技创新报告中至少需要获得83分才能达到“科技小达人”的标准．
【解析】(1)根据平均数的计算公式计算，然后作出判断即可；
(2)设小榕在科技创新报告中至少需要获得x分才能达到“科技小达人”的标准，然后根据加权平均数计算即可．
本题考查了平均数和加权成绩的计算．平均数等于所有数据的和除以数据的个数．
22.【答案】解：(1)设购买1套A型运动器材和1套B型运动器材各需x，y元，
由题意可得：x+2y=26003x+y=2800，
解得x=600y=1000，
答：购买1套A型运动器材和1套B型运动器材各需600、1000元；
(2)设购买A型运动器材a套，则购买B型运动器材为(20−a)套，总费用w元，
则a≤3(20−a)，
解得a≤15，
w=600a+1000(20−a)=−400a+20000，
∵−400<0，
∴当a=15时，w最小，最小值为14000，
答：学校购买A型运动器材15套，B型运动器材5套，才能使总费用最低，总费用最低是14000元．
【解析】(1)设购买1套A型运动器材和1套B型运动器材各需x，y元，根据“买1套A型器材和2套B型器材要花费2600元；购买3套A型器材和1套B型器材要花费2800元”列出方程组，解方程组即可；
(2)设购买A型运动器材a套，则购买B型运动器材为(20−a)套，总费用w元，先根据购买的A型器材数量不超过B型器材的3倍，求出a的取值范围，再根据总费用=两种运动器材费用之和列出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
此题考查了二元一次方程组的应用、一次函数以及不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确列出二元一次方程组和一次函数解析式．
23.【答案】解：(1)过点A作AM⊥BC交DE于点N，交n于点M，则MN=tcm，AM⊥DE，设AM=xcm，则AN=(x−t)cm，
∵S△ABC=S△ADE+S梯形DBCE，
∴12BC⋅AM=12DE⋅AN+12(DE+BC)MN，
∴12ax=12b(x−t)+12(b+a)t，
∴这块木料上平行边m和n之间的垂直距离AM=xcm=ata−bcm；
故答案为：①t；
②(x−t)；
③12b(x−t)
④12(b+a)t；
⑤ata−bcm；
(2)测量步骤如下：
步骤一：在平行边m、n上分别取A、B两点；
步骤二：连接AB，用刻度尺测量AB的长度为a cm；
步骤三：在AB上取点C，使AC=12acm；
步骤四：在点B的右侧，边n上取点D，使CD=12acm；
步骤五：连接AD，用刻度尺测出AD=bcm；求解过程如下：
根据测量可知：BC=AB−AC=12acm，
∴AC=BC=CD，
∴∠CBD=∠BDC，∠CAD=∠ADC，
∵∠CBD+∠BDC+∠CAD+∠ADC=180∘，
∴∠BDC+∠ADC=12×180∘=90∘，即∠ADB=90∘，
∴AD⊥BD，这块木料上平行边m和n之间的垂直距离为AD=bcm.

【解析】(1)根据S△ABC=S△ADE+S形形DBCE，得出12BC⋅AM=12DE⋅AN+12(DE+BC)MN，代入相关的量求出结果即可；
(2)在平行边m、n上分别取A、B两点；连接AB，用刻度尺测量AB的长度为acm；在AB上取点C，使AC=12acm；在点B的右侧，边n上取点D，使CD=12acm连接AD，用刻度尺测出AD=bcm；根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，证明AD⊥BD即可．
本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角形面积的计算，分式混合运算的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质．
24.【答案】解：(1)∵y=kx−k+4=k(x−1)+4，
∵无论k为何值，直线l：y=kx−k+4都经过定点A，
∴A(1,4)；
(2)过点A作AM⊥x轴交于M点，
∵AB⊥AE，
∴∠BAM=∠AEM，
∵A(1,4)，B(−2,0)，
∴BM=3，AM=4，
∴AE2=AM2+ME2=BE2−AB2，即AE2=16+ME2=(3+ME)2−25，
解得ME=163，
∴OE=193，
∴E(193,0)，
∴193k−k+4=0，
解得k=−34，
∴直线l的解析式为y=−34x+193；
(3)取AB的中点H，连接DH，OH，
∵D是BC的中点，
∴DH//AC，DH=12AC=12，
当H、D、O三点共线时OD最小，
∵A(1,4)，B(−2,0)，H为AB的中点，
∴H(−12,2)，
设直线OH的解析式为y=mx，
∴−12m=2，
解得m=−4，
∴直线OH的解析式为y=−4x，
∴k=−4.
【解析】(1)由y=k(x−1)+4，可知定点A(1,4)；
(2)过点A作AM⊥x轴交于M点，根据AE2=16+ME2=(3+ME)2−25，求出ME=163，得到E(193,0)，再将E点代入y=kx−k+4，即可求直线l的解析式；
(3)取AB的中点H，连接DH，OH，当H、D、O三点共线时OD最小，求出直线OH的解析式即可求k的值．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，勾股定理，中位线的定义及性质是解题的关键．
25.【答案】证明：(1)连接CE，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠CBE=45∘，AB=BE，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS)，
∴АЕ=СЕ，
∵EH⊥GC，GH=HC，
∴ЕG=ЕС，
∴АЕ=ЕG；
(2)①连接AG，如图：
由(1)知，△ABE≌△CBE，
∴∠BAE=∠ECB，
∵ЕG=ЕС，
∴∠EGC=∠ECG，
∴EGC=∠EAB，
∵∠EGC+∠EGB=180∘，
∴∠EAB+∠EGB=180∘，
∵∠ABG=90∘，
∴∠AEG=90∘，
∵АЕ=ЕG，
∴∠EAG=∠EGA=45∘，
∵∠GЕF=180∘−2∠GЕА=90∘=∠GСF，
∴E、F、C、G四点共圆，
∵∠EFG=∠ECG，
∴∠ECG=∠EGC−∠BAE，
∵AB//CD，
∴∠BAF=∠AFD，
∴∠AFD=∠AFG，
∵EH⊥BC，BC⊥CD，
∴ЕН//CD，
∴∠HEF=∠EFD，
∴∠MEF=∠MFE，
∴EM=MF，
∵∠GEF=90∘，
∴∠MEG+∠MEF=∠MGE+∠BFE=90∘，
∴∠MEG=∠MGE，
∴ME=MG，
∴МF=МG，
∴M为FG的中点，
∵∠FEG=90∘，
∴EM=12GF；
②作EN⊥GF于点N，如图：
∴ЕС2=ЕN2+GN2，ЕF2=ЕN2+FN2，
由(1)知，AE=EG，
∴АЕ2−ЕF2=GN2−FN2=(GМ+МN)2−(FМ−MN)2，
∵GM=FM=EM，
∴AE2−EF2=GN2−FN2=4GM⋅MN，
∵∠ENM=∠GHM=90∘，∠GMH=∠EMN，
∴△EMN∽△GMH，
∴EMGM=MNMH，
∴EM⋅MH=GM⋅MN，
∴АЕ2−ЕF2=4МН⋅МЕ.
【解析】(1)连接CE，由正方形的性质得到∠ABE=∠CBE=45∘，AB=BE，△ABE≌△CBE，得到AE=CE，即可求证；
(2)①连接AG，由△ABE≌△CBE，得到∠BAE=∠ECB，证得E、F、C，G四点共圆，再得到∠MEF=∠MFE，得出EM=MF，证得∠MEG=∠MGE，得到ME=MG，即可求证；
②作EN⊥GF于点N，由勾股定理得到EG2=EN2+GN2，EF2=EN2+FN2，得到AE2−EF2=GN2−FN2=4GM−MN，再证得△EMN∽△GMH，得到EM⋅MH=GM⋅MN，即可求证．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握相关知识．姓名
科技小制作
科技知识竞赛
科技创新报告
小玉
92
82
84
小榕
82
90