2023-2024学年福建省福州市台江区华伦中学八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州市台江区华伦中学八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列方程是一元二次方程的是( )
A. 3x2+y=2B. x2−1x+1=0C. x2−5x=3D. x−3y+1=0
3.函数y=(x+2)2−4的顶点坐标是( )
A. (2,4)B. (2,−4)C. (−2,4)D. (−2,−4)
4.如果两个相似三角形的周长之比为5：7，那么这两个三角形的面积之比为( )
A. 5：7B. 7：5C. 25：49D. 49：25
5.如图为某商家2023年1月至10月“人工智能机器人”的月销售量，下列说法错误的是( )
A. 这10个月的月销售量的众数为28
B. 这10个月中7月份的月销售量最高
C. 前5个月的月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差
D. 4月至7月的月销售量逐月增加
6.如图，∠DAB=∠CAE，请你再添加一个条件，使得△ADE∽△ABC.则下列选项不成立的是( )
A. ∠D=∠B
B. ∠E=∠C
C. ADAB=AEAC
D. ADAB=DEBC
7.如图，已知l1//l2//l3，l4与l1，l2，l3分别交于A，B，C三点，l5与l1，l2，l3分别交于D，E，F三点.若AB=1，BC=2，AD=DE=32，则图中长度为3的线段是( )
A. EF
B. DF
C. BE
D. FC
8.某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，若这两个月的平均增长率为x，则x满足的关系是( )
A. (a−10%)(a+15%)=2(1+x)aB. a(1−10%)(1+15%)=a(1+x2)
C. a(1−10%+15%)=a(1+x)2D. a(1−10%)(1+15%)=a(1+x)2
9.如图，在△ABC中，AB=6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30∘后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为( )
A. 6
B. 6 3
C. 9 3
D. 9
10.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P在直线AD上运动，以BP为直角边向右作Rt△PBQ，使得∠BPQ=90∘，BP=32PQ，连接CQ，则CQ长的最小值为( )
A. 1213
B. 2513
C. 2 3913
D. 5 1313
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若yx=37，则x−yx=______.
12.把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为_________
13.若一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为4，方差为2，则2x1−1，2x2−1，2x3−1，…，2xn−1的方差为______.
14.关于x的一元二次方程ax2−2(a−1)x+a=0有实数根，则a的取值范围______.
15.如图，A点的坐标为(−1,5)，B点的坐标为(3,3)，C点的坐标为(5,3)，D点的坐标为(3,−1).小明发现线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是___________.
16.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线x=−1，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当m≠−1时，a−b>am2+bm；②若ax12+bx1=ax22+bx2且x1≠x2，则x1+x2=−1；③若OA=OC，则OB=−1a；④若抛物线上存在三点D(x1,y1)、E(x2,y2)、F(x3,y3)，当m三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.解方程：x2−4x+2=0.
四、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B，C的坐标分别是(−3,4)、(−4,1)、(−2,2)，结合平面直角坐标系解答下列问题.
(1)画出△ABC绕点O顺时针旋转90∘得到的△A′B′C′，并写出点B′的坐标；
(2)以点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABC的相似比为12，且不在同一象限.
19.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+6x+(2m+1)=0有两个不相等的实数根，令这两个实数根为x1，x2，且2x1x2−x1−x2≥8，求m的取值范围.
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=4，AC=3.
(1)实践与操作：请用尺规作图的方法在线段AB上找点D，使得△ACD∽△ABC；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)应用与计算：在(1)的条件下，求BD的长.
21.(本小题8分)
如图，△ABC中，BC边上的中线AE与∠ABC的平分线BD交于F点，AD=AF.
(1)求证：△ABF∽△CBD；
(2)求证：CD=2EF.
22.(本小题10分)
为了进一步推进学校安全教育，切实增强广大学生的安全防范意识和自护自救能力，某校举行了安全知识网络竞赛活动，并对各班安全知识测试成绩(共30题，每题5分，满分150分)进行整理、描述和分析.
信息一：该校八年级部分班级学生测试成绩如下表：
信息二：成绩统计如下表：
(1)根据题目信息填空：b=______，c=______；
(2)求a的值；
(3)若从成绩的稳定性的角度选一个班级代表年级参加安全知识网络竞赛，你认为选哪个班更合适？请说明理由.
23.(本小题10分)
小明和小亮玩打水仗，两人相距7米，两人身高都是1.5米.以水平线为x轴，小明所站立线为y轴建立如图所示直角坐标系，点A(0,1.5)是小明水枪的喷口，小明的喷水枪喷出的水行走的路线为抛物线C1：y=a(x−3)2+2.5，小亮为了喷到小明，踮脚抬臂，使得喷枪的喷口坐标为B(7,1.8)，小亮水枪喷出的水行走路线为抛物线C2：y=mx2+bx+c，且其过点(4,3.6).
(1)请通过计算说明小明能否喷到小亮；
(2)如果(4,3.6)是抛物线C2的顶点，请通过计算说明小亮能否喷到小明.
24.(本小题12分)
某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究.
【问题发现】如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上一点，且BP= 5，连接AP，以AP为边作等边△APQ、连接CQ.则CQ的长为______；
【问题提出】如图2，在等腰△ABC中，AB=BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP=PQ，∠APQ=∠ABC，连接CQ.试说明∠ABC与∠ACQ相等；
【问题解决】如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，点Q是正方形APEF的对称中心，连接CQ，若正方形APEF的边长为6，CQ=2 2，求正方形ADBC的边长.
25.(本小题14分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线C1：y1=ax2+bx+1与直线l：y2=x−1.
(1)若抛物线C1与直线l的两个交点分别为P(−1,p)与Q(2,q).求抛物线C1的解析式；
(2)设C2：y=y1−y2，点M(m,t)与N(n,t)在C2上，且m+n=1.
①求a，b的数量关系；
②当x=n−m时y=t+1，直接写出a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C.
把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】C
【解析】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、是分式方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：C.
利用一元二次方程定义进行解答即可．
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
3.【答案】D
【解析】解：函数y=(x+2)2−4为顶点式，
故顶点坐标是(−2,−4).
故选：D.
二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a(x−h)2+k(a≠0,且a，h，k是常数)，它的对称轴是x=h，顶点坐标是(h,k).
本题主要考查对顶点式中对称轴，顶点坐标的求法．
4.【答案】C
【解析】解：∵两个相似三角形的周长之比为5：7，
∴两个相似三角形的相似比是5：7，
∴这两个三角形的面积之比为52：72=25：49.
故选：C.
相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比．由此即可求解．
本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比．
5.【答案】C
【解析】解：A.将样本数据从小到大排列为25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，
所以这组数据的众数为28，此选项正确，不符合题意；
B.7月份的销量为40，月销量最高，此选项正确，不符合题意；
C.由图形可知，前5个月的月销售量的波动小于后5个月的月销售量的波动，
所以前5个月的月销售量的方差小于后5个月的月销售量的方差，故此选项错误，符合题意；
D.4月至7月的月销售量逐月增加，此选项正确，不符合题意；
故选：C.
根据众数的定义、方差的意义，结合图形逐一判断即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数的定义和方差的意义．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
∴∠DAE=∠BAC，
∴当添加条件∠D=∠B时，则△ADE∽△ABC，故选项A不符合题意；
当添加条件∠E=∠C时，则△ADE∽△ABC，故选项B不符合题意；
当添加条件ADAB=AEAC时，则△ADE∽△ABC，故选项C不符合题意；
当添加条件ADAE=DEBC时，则△ADE和△ABC不一定相似，故选项D符合题意；
故选：D.
根据∠DAB=∠CAE，可以得到∠DAE=∠BAC，然后即可判断添加各个选项中的条件是否可以使得△ADE∽△ABC，本题得以解决．
本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用三角形相似的判定方法解答．
7.【答案】A
【解析】解：∵l1//l2//l3，
∴EFDE=BCAB，即EF32=21，
∴EF=3，
∴图中长度为3的线段是EF.
故选：A.
由l1//l2//l3，利用平行线分线段成比例，可求出EF=3，此题得解．
本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵该企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，
∴该企业今年4月份产值为a(1−10%)万元，5月份产值为a(1−10%)(1+15%)万元．
根据题意得：a(1−10%)(1+15%)=a(1+x)2.
故选：D.
根据3、4、5月份产值间的关系，可得出该企业今年5月份产值为a(1−10%)(1+15%)万元，利用该企业今年5月份产值=该企业今年3月份产值×(1+这两个月的平均增长率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：在△ABC中，AB=6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30∘后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B=AB=6，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA=30∘，
如图，过A1作A1D⊥AB于D，则A1D=12A1B=3，
∴S△A1BA=12×6×3=9，
又∵S阴影=S△A1BA+S△A1BC1−S△ABC，
S△A1BC1=S△ABC，
∴S阴影=S△A1BA=9.
故选：D.
根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1，A1B=AB=6，所以△A1BA是等腰三角形，依据∠A1BA=30∘得到等腰三角形的面积，由图形可以知道S阴影=S△A1BA+S△A1BC1−S△ABC=S△A1BA，最终得到阴影部分的面积．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：过点Q作MN⊥AD于点M，与BC交于点N，
则∠A=∠PMQ=∠CNQ=90∘，AB=MN=3，
∵∠BPQ=90∘，
∴∠APB+∠MPQ=∠MPQ+∠PQM=90∘，
∴∠APB=∠MQP，
∴△APB∽△MQP，
∴APMQ=ABMP=BPPQ，
设MQ=x，则NQ=3−x，
∵BP=32PQ，
∴2BP=3PQ，
∴APx=3MP=32PQPQ=32，
∴AP=32x，MP=2，
∴CN=DM=AD−MP−AP=4−2−32x=2−32x，
∴CQ2=QN2+CN2=(3−x)2+(2−32x)2=134(x−2413)2+2513，
当x=2413时，CQ2的最小值为2513，
∴CQ长的最小值为5 1313.
故选：D.
过点Q作MN⊥AD于点M，与BC交于点N，证明△APB∽△MQP，设QM=x，根据相似三角形的相似比，用x表示AP，并求得PM，进而根据勾股定理，用x表示CQ2，根据二次函数的性质求得CQ2的最小值，最后便可求得CQ的最小值．
本题主要考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
11.【答案】47
【解析】解：由yx=37，可设y=3k，x=7k，k是非零整数，
则x−yx=7k−3k7k=4k7k=47.
故答案为47.
根据比例的基本性质变形，代入求值即可．
本题主要考查比例的性质．
12.【答案】y=2(x+1)2−2
【解析】解：由“左加右减”的原则可知，
将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2(x+1)2，
即y=2(x+1)2；
由“上加下减”的原则可知，
将抛物线y=2(x+1)2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2(x+1)2−2，
即y=2(x+1)2−2.
故答案为：y=2(x+1)2−2.
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
13.【答案】8
【解析】解：∵一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为4，方差为2，
∴x1+x2+x3+⋯⋯+xnn=4，
∴(x1−4)2+(x2−4)2+(x3−4)2+⋯⋯+(xn−4)2n=2，
则2x1−1，2x2−1，2x3−1，…，2xn−1的平均数为
2x1−1+2x2−1+2x3−1+⋯⋯+2xn−1n=2×4−1=7，
则2x1−1，2x2−1，2x3−1，…，2xn−1的方差为
(2x1−1−7)2+(2x2−1−7)2+(2x3−1−7)2+⋯⋯+(2xn−1−7)2n
=(2x1−8)2+(2x2−8)2+(2x3−8)2+⋯⋯+(2xn−8)2n
=4[(x1−4)2+(x2−4)2+(x3−8)42+⋯⋯+(xn−4)2]n
=4×2
=8，
故答案为：8.
根据平均数与方差的定义和性质，先得出x1+x2+x3+⋯⋯+xnn=4，再得出(x1−4)2+(x2−4)2+(x3−4)2+⋯⋯+(xn−4)2n=2，结合方差公式进行计算即可．
本题考查了平均数与方差的定义与计算问题，是基础题．
14.【答案】a≤12且a≠0
【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2−2(a−1)x+a=0有实数根，
∴Δ=[−2(a−1)]2−4×a×a=−8a+4≥0，
解得：a≤12，
∵方程ax2−2(a−1)x+a=0是一元二次方程，
∴a≠0，
∴a的范围是：a≤12且a≠0.
故答案为：a≤12且a≠0.
由关于x的一元二次方程ax2−2(a−1)x+a=0有实数根及一元二次方程的定义，即可得判别式△≥0，a≠0，继而可求得a的范围．
此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个实数根，即可得△≥0.同时考查了一元二次方程的定义．
15.【答案】(1,1)或(4,4)
【解析】解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图1所示，
∵A点的坐标为(−1,5)，B点的坐标为(3,3)，
∴E点的坐标为(1,1)；
②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，如图2所示，
∵A点的坐标为(−1,5)，B点的坐标为(3,3)，
∴M点的坐标为(4,4).
综上所述：这个旋转中心的坐标为(1,1)或(4,4).
故答案为：(1,1)或(4,4).
分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，点M即为旋转中心．此题得解．
本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键．
16.【答案】①③
【解析】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=−1，
∴当x=−1时，y最大值=a−b+c，
∴当m≠−1时，a−b+c>am2+bm+c，即a−b>am2+bm，故①正确；
当ax12+bx1=ax22+bx2且x1≠x2时，则直线x=x1和直线x=x2关于对称轴对称，
∴x1+x2=−2，故②错误；
∵抛物线对称轴为直线x=−1，
∴−b2a=−1.
∴b=2a，
∵OA=OC，
∴A(−c,0)，
∴点B的坐标为(c−2,0)，
把A(−c,0)代入抛物线解析式中得ac2−2ac+c=0，
∴c=2a−1a.
∴c−2=−1a.
∴点B的坐标为(−1a,0)，
∴OB=−1a，故③正确；
∵m∴x1−1，且A(x1,y1)离对称轴最远，B(x2,y2)离对称轴最近．
∴−1−x1>x3−(−1)>|x2−(−1)|.
∴x1+x3<−2，x2+x3>−2.
∵2m+2∴2m+2<−2，2m+5>−2.
∴−72综上，说法正确的有①③．
故答案为：①③．
由抛物线开口向下，对称轴为直线x=−1，得到当x=−1时，y最大值=a−b+c，据此可判断①；根据题意可得直线x=x1和直线x=x2关于对称轴对称，则x1+x2=−2，据此可判断②；先由对称轴公式得到b=2a，再由OA=OC，得到A(−c,0)，点B的坐标为(c−2,0)，把A(−c,0)代入抛物线解析式中求出，则点B的坐标可据此可判断③；由m−1，且A(x1,y1)离对称轴最远，B(x2,y2)离对称轴最近，故可得x1+x3<−2，x2+x3>−2，又2m+2−2，最后可以判断④．
本题主要考查了二次函数图象与性质、抛物线与x轴得解交点等，利用数形结合法得到字母系数的关系式是解题的关键．
17.【答案】解：x2−4x+2=0
x2−4x=−2
x2−4x+4=−2+4
(x−2)2=2，
则x−2=± 2，
解得：x1=2+ 2，x2=2− 2.
【解析】此题主要考查了配方法解方程，正确配方是解题关键．
直接利用配方法解方程的步骤解方程得出答案．
18.【答案】解：(1)△A′B′C′如下图，点B′的坐标为(1,4)；
(2)位似三角形如图所示△A1B1C1.
【解析】(1)用旋转的性质，分别作出对应点A′、B′、C′，依次连接即可得到△A′B′C′和点B′的坐标；
(2)利用位似变换的性质分别作出对应点，依次连接即可得到答案．
本题考查了作图-旋转变换、位似变换，掌握旋转变换和位似变换的性质是解题关键．
19.【答案】解：∵x1，x2是方程x2+6x+(2m+1)=0的两个实数根，
∴x1+x2=−6，x1⋅x2=2m+1，
∵2x1x2−x1−x2≥8，
∴2(2m+1)+6≥8，
解得m≥0，
由Δ=62−4(2m+1)>0，
可得m≤4，
∴m的取值范围是0≤m<4.
【解析】根据根与系数的关系可得出x1+x2=−6、x1x2=2m+1，由2x1x2−x1−x2≥8结合已知条件可得出关于m的一元一次不等式组，Δ>0，解之即可得出m的取值范围．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是牢记“当△>0时，方程有两个不相等实数根．
20.【答案】解：(1)如图所示，作∠ACD=∠B，交AB于点D，
根据作图可得∠ACD=∠B，
又∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC；
(2)解：∵△ACD∽△ABC，
∴ACAB=ADAC，
∵AB=4，AC=3.
∴34=4−BD3，
解得：BD=74.
【解析】(1)作∠ACD=∠B，交AB于点D，即可求解；
(2)根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解．
本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握作一个角等于已知角是解题的关键．
21.【答案】证明：(1)∵AD=AF，
∴∠ADF=∠AFD，
∴∠ABF=∠CDB，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABF=∠CBD，
∴△ABF∽△CBD；
(2)取CD中点G，连接EG，如图，
∵AE是BC边上的中线，即点E为BC的中点，
∴EG是△CBD的中位线，
∴EG//BD，
∴△ADF∽△AGE，
∴ADAG=AFAE，
∵AD=AF，
∴AG=AE，
∴EF=DG，
∵DG=12CD，
∴EF=12CD，
∴CD=2EF.
【解析】(1)根据等边对等角得到∠ADF=∠AFD，进而得到∠ABF=∠CDB，由BD是∠ABC的平分线，得到∠ABF=∠CBD，即可证明△ABF∽△CBD；
(2)取CD中点G，连接EG，利用三角形中位线的性质，易证△ADF∽△AGE，得到ADAG=AFAE，进而的得到DG=12CD，即可证明．
本题主要考查了三角形相似的判定与性质，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键．
22.【答案】37.5140
【解析】解：(1)中位数b=135+1402=137.5，众数c=140；
故答案为：137.5，140；
(2)a=130×7+135×18+140×14+145×8+150×37+18+14+8+3=138.2；
(3)八年(1)班更合适，
理由：因为八年(1)班的方差小于八年(2)班的方差，说明八年(1)班的成绩波动小，比较稳定，所以八年(1)班更合适．
(1)根据中位数、众数的定义即可求出答案；
(2)利用加权平均数公式计算即可；
(3)根据方差的意义判断即可．
本题主要考查了平均数、中位数、众数、方差，熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的求法和意义是解决问题的关键．
23.【答案】解：(1)小明能喷到小亮；理由如下：
∵抛物线C1：y=a(x−3)2+2.5过点A(0,1.5)，
∴1.5=a(0−3)2+2.5，
解得：a=−19，
∴抛物线C1：y=−19(x−3)2+2.5，
∵当x=7时，y=−19(7−3)2+2.5=1318，
∵1318>0且小于1.5，
∴小明能喷到小亮；
(2)小亮能喷到小明；理由如下：
∵抛物线C2的顶点坐标为(4,3.6)，
∴设抛物线C2为y=m(x−4)2+3.6，
∵抛物线C2过点B(7,1.8)，
∴1.8=m(7−4)2+3.6，
解得：m=−15，
∴抛物线C2为y=−15(x−4)2+3.6，
又∵当x=0时，y=−15(0−4)2+3.6=0.4，
∵0.4>0且小于1.5，
∴小亮能喷到小明．
【解析】(1)根据抛物线C1：y=a(x−3)2+2.5过点A(0,1.5)，代入求出a=−19，得出抛物线C1解析式，在将x=7代入解析式求出y=1318，即可判断；
(2)①根据抛物线C2的顶点坐标为(4,3.6)，设抛物线C2为y=m(x−4)2+3.6，再根据抛物线C2过点B(7,1.8)，即可求出抛物线C2解析式，再算出x=0时，y的值，即可判断；
②根据抛物线C2过点B(7,1.8)和(4,3.6)，表示出b，c，假设小亮能喷到小明，即可列出不等式求解．
本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找到关系式．
24.【答案】 5
【解析】(1)解：∵△ABC与△APQ都是等边三角形，
∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=60∘，
∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中，
AB=AC∠BAP=∠CAQAP=AQ，
∴△BAP≌△CAQ(SAS)，
∴CQ=BP= 5；
故答案为： 5；
(2)证明：在等腰△ABC中，AB=BC，
∴∠BAC=12(180∘−∠ABC).
在等腰△APQ中，AP=PQ，
∴∠PAQ=12(180∘−∠APQ).
∵∠APQ=∠ABC，
∴∠BAC=∠PAQ.
∴△BAC∽△PAQ.
∴BAAC=PAAQ.
∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP=∠CAQ.
∴△BAP∽△CAQ.
∴∠ABC=∠ACQ.
(3)解：如图③，连接AB，
∵四边形ADBC是正方形，
∴ABAC= 2，∠BAC=45∘.
∵点Q是正方形APEF的对称中心，
∴APAQ= 2，∠PAQ=45∘.
∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ.
∴∠BAP=∠CAQ.
∵ABAC=APAQ= 2，
∴△ABP∽△ACQ.
∴ACAB=CQBP=1 2= 22.
∵CQ=2 2，
∴BP= 2CQ=4.
设PC=x，则BC=AC=4+x，
在Rt△APC中，AP2=AC2+PC2，即62=(4+x)2+x2，
解得x1=−2+ 14，x2=−2− 14.
∵x>0，
∴x=−2+ 14.
∴正方形ADBC的边长为4+x=4−2+ 14=2+ 14.
(1)证明△BAP≌△CAQ(SAS)，即可得到结论；
(2)证明△BAC∽△PAQ，则BAAC=PAAQ，由∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ得到∠BAP=∠CAQ，则△BAP∽△CAQ，即可证明结论；
(3)连接AB，证明△ABP∽△ACQ，得到ACAB=CQBP=1 2= 22，求出BP= 2CQ=4，设PC=x，则BC=AC=BP+PC=4+x，在Rt△APC中，AP2=AC2+PC2，则62=(4+x)2+x2，求出x=2+ 14，即可得到答案．
此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)由题意，∵P、Q在直线y2=x−1上，
∴−1−1=p，2−1=q，即p=−2，q=1.
∴P(−1,−2)，q(2,1).
由P、Q在抛物线y1=ax2+bx+1上，
∴a−b+1=−24a+2b+1=1.
∴a=−1b=2.
∴抛物线C1的解析式为y1=−x2+2x+1.
(2)①由题意得，y=y1−y2=ax2+bx+1−(x−1)=ax2+(b−1)x+2(a≠0).
又点M(m,t)与N(n,t)在C2上，
∴方程ax2+(b−1)x+2−t=0的两个实数根为m，n.
又m+n=1，
∴−b−1a=1.
∴a+b=1.
②∵a+b=1，
∴b=1−a.
∴y=ax2−ax+2.
又当x=n−m=n−(1−n)=2n−1时，y=t+1，
∴t+1=a(2n−1)2−a(2n−1)+2①．
又N(n,t)在y=ax2−ax+2上，
∴t=an2−an+2②．
∴①-②得，3an2−5an+2a−1=0.
∵3an2−5an+2a−1=0(a≠0)有实数根，
∴Δ=(−5a)2−4×3a×(2a−1)=a2+12a=a(a+12)≥0.
∴a≤−12或a>0.
【解析】(1)依据题意，由P、Q在直线y2=x−1上，进而可得p，q的值，则P(−1,−2)，q(2,1)，又P、Q在抛物线y1=ax2+bx+1上，进而代入计算可得a，b，最后可得抛物线的解析式；
(2)①依据题意，y=y1−y2=ax2+bx+1−(x−1)=ax2+(b−1)x+2(a≠0)，又点M(m,t)与N(n,t)在C2上，故方程ax2+(b−1)x+2−t=0的两个实数根为m，n，又m+n=1，则−b−1a=1，进而可以得解；
②依据题意，由a+b=1，即b=1−a，故y=ax2−ax+2，又当x=n−m=n−(1−n)=2n−1时，y=t+1，从而t+1=a(2n−1)2−a(2n−1)+2①，又N(n,t)在y=ax2−ax+2上，则t=an2−an+2②，再由①-②得，3an2−5an+2a−1=0，结合方程3an2−5an+2a−1=0(a≠0)有实数根，进而可以判断得解．
本题主要考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用待定系数法求解析式是关键．分数(单位：分)
130
135
140
145
150
八年
(1)班人数
7
18
14
8
3
八年
(2)班人数
8
12
21
5
4
年级
平均数
中位数
众数
方差
八年
(1)班
a
b
135
29.76
八年
(2)班
138.5
140
c
40.83