2023-2024学年福建省龙岩市上杭县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年福建省龙岩市上杭县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列根式中，能与 3合并的二次根式是( )
A. 6B. 12C. 0.5D. 15
2.下列计算正确的是( )
A. 5− 2= 3B. 2+ 2=2 2C. 18÷ 2=3D. (−2)2=−2
3.已知a、b、c是△ABC的三边，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A. a2=c2−b2B. a：b：c=5：12：13
C. ∠C=∠A+∠BD. ∠A：∠B：∠C=3：4：5
4.已知一次函数y=kx+k，y随x的增大而减小，则该函数图象不经过第( )象限.
A. 一B. 二C. 三D. 四
5.图是甲、乙两名同学6次射击成绩的折线统计图，甲、乙两人射击成绩的方差分别记作S甲2，S乙2，下列说法正确的是( )
A. S甲2>S乙2B. S甲2=S乙2C. S甲26.如图，在▱ABCD 中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若AD=6，则OE的长为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
7.小明晚饭后出门散步，从家点O出发，最后回到家里，行走的路线如图所示．则小明离家的距离h与散步时间t之间的函数关系可能是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是( )
A. 2.4
B. 2
C. 1.5
D. 1.2
9.已知一次函数y=kx+b的图象交y轴于点C，经过点A(a,2+b)和点B(a+2,3k+1)，若OC≤2，则k的取值范围是( )
A. −1≤k≤3B. k≤3且k≠0
C. −1≤k≤3且k≠0D. k≤−1或k≥3
10.如图，正方形ABCD和正方形CEFG的点B、C、E在同一条直线上，点M为AF的中点，连结DM、CM、CF，则已知下列哪条线段的长度，一定能求出线段DM的长.( )
A. CF
B. CM
C. DG
D. AF
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若式子 x−1有意义，则x的取值范围是______.
12.已知 24n是整数，则正整数n的最小值是______.
13.《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC=9尺，BC=3尺，则AC 为__________尺.
14.一次函数y=mx+n(m≠0,m,n是常数)的图象经过两点A(0,3)，B(2,0)，则关于x的不等式mx+n>0的解集是______.
15.如图，在▱ABCD中，尺规作图：(1)以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点F；(2)分别以点B，F为圆心，以大于BF的一半长为半径画弧交于点G，作射线AG交BC于点E.若BF=AB=10，则AE的长为______.
16.如图，菱形ABCD中，∠D=110∘，P是对角线AC上的一个动点，将△BCP沿BP翻折，得到△BC′P，当∠PBC=______时， P、C′、D三点共线.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：(1) 6× 3− 8；
(2)( 5+2)( 5−2).
18.(本小题8分)
已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形．
19.(本小题8分)
先化简，再求值：(xx−1−x)÷x2−4x+4x−1，其中x= 2+2.
20.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，AB>AD，点M在DC上，连接AM，AM=AB.
(1)过点B作BN⊥AM，垂足为N(要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹)；
(2)根据(1)中作图，求证：MN=MC.
21.(本小题8分)
小聪所在的学校共有1000名初中学生，小聪同学想了解本校全体初中学生的年龄构成情况、他从全校学生中随机选取了部分学生，调查了他们的年龄(单位：岁)，绘制出如图所示的学生年龄扇形统计图.
(1)直接写出m的值，并求全校学生中年龄不低于15岁的学生大约有多少人；
(2)利用该扇形统计图，你能求出样本的平均数、众数和中位数中的哪些统计量？请直接写出相应的结果；
(3)小红认为无法利用该扇形统计图求出样本的方差.你认同她的看法吗？若认同，请说明理由；若不认同，请求出方差.
22.(本小题10分)
某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为80元，售价为100元；乙商品的进价为100元，售价为130元.设购进甲种商品x件，商场售完这100件商品的总利润为y元.
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)该商场计划最多投入9600元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？
(3)商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元(023.(本小题10分)
综合与实践：构图法求三角形的面积.
【问题提出】△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 5, 10, 13，求△ABC的面积.
【素材1】某数学兴趣小组发现，若运用三角形面积公式S=12ah(a为底边，h为对应的高)求解，则高h的计算较为复杂.进一步观察发现AB= 12+22,BC= 10= 12+32，AC= 13= 22+32，若把△ABC放到图1的正方形网格中(每个小正方形的边长为1)，且△ABC的三个顶点恰好都在小正方形的顶点处，这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出△ABC的面积.这种借助网格计算面积的方法称为“构图法”.
【素材2】某园艺公司对一块三角形花圃PQR进行改造，如图3所示，分别以原花圃的PQ，PR为边向外扩建正方形花圃PQGF，正方形花圃PRDE，并增加三角形花圃FPE，将原花圃改造为六边形QRDEFG.
【任务1】(1)请直接写出图1中△ABC的面积______.
【任务2】(2)已知△KMN三边KM，MN，KN的长分别为2 2, 13, 17，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为1)画出相应的△KMN，并求出它的面积.
【任务3】(3)若三角形花圃的边PQ=2 2，PR= 5，QR=3，求改造后的六边形花圃QRDEFG的面积.
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，点A(a,a+2)在直线l上(其中a>0)，线段AB平移得到线段DC，点A的对应点是D，点B的对应点是C.
(1)求直线l的解析式.
(2)若a=2，点B(0,1)，C(2,−2).求证：四边形ABCD是菱形；
(3)若点C(c,c+2)在直线l上，点B(m,c+2)，且c25.(本小题14分)
如图，正方形ABCD中，AB=4，E为边DC上一点，DE=1，连接BE，AE.点P为线段BE上一个动点，∠BAP=α(0∘<α<45∘)，将△APB沿线段AP折叠，得到△APF，连接DF.
(1)求AE，BE的长；
(2)当点F落在线段BE上，求BP的长；
(3)连接CF.若△CDF为等腰三角形，求a的值及S△CDF.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、 6与 3不是同类二次根式，故A选项不符合题意；
B、 12=2 3与 3是同类二次根式，故B选项符合题意；
C、 0.5= 22与 3不是同类二次根式，故C选项不符合题意；
D、 15= 55与 3不是同类二次根式，故D选项不符合题意；
故选：B.
先对各选项二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断即可．
本题主要考查同类二次根式的定义，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解： 5与 2不是同类二次根式，不能合并，故A错误，不符合题意；
2与 2不是同类二次根式，不能合并，故B错误，不符合题意；
18÷ 2= 18÷2= 9=3，故C正确，符合题意；
(−2)2=|−2|=2，故D错误，不符合题意；
故选：C.
根据二次根式的运算法则逐项判断即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
3.【答案】D
【解析】解：A、∵a2=c2−b2，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵a：b：c=5：12：13，
∴设a=5k，则b=12k，c=13k，
∵a2+b2=(5k)2+(12k)2=169k2，c2=(13k)2=169k2，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵∠C=∠A+∠B，∠A+∠B+∠C=180∘，
∴2∠C=180∘，
∴∠C=90∘，
∴△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，
∴设∠A=3k，则∠B=4k，∠C=5k，
∴3k+4k+5k=180∘，
解得k=15∘，
∴∠C=5k=75∘，
∴△ABC不是直角三角形，
故D符合题意．
故选：D.
依据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理进行计算和判断，即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵一次函数y=kx+k，y随x的增大而减小，
∴k<0，
∴该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：A.
先根据题意判断出k的符号，进而可得出结论．
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：由图象可知：甲偏离平均数大，乙偏离平均数小，
所以甲波动大，不稳定，方差大，即S甲2>S乙2.
故选：A.
根据数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定，方差越大；数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，方差越小进行判断．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
6.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，
∵点E是边AB的中点，
∴AE=EB，
∴OE是△ADB的中位线，
∴OE=12AD=3，
故选：B.
根据平行四边形的对角线互相平分，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半即可求出OE.
此题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．
7.【答案】C
【解析】解：根据函数图象可知，小明距离家先逐渐远去，有一段时间离家距离不变说明他走的是一段弧线，之后逐渐离家越来越近直至回家，分析四个选项只有C符合题意．
故选：C.
根据小明的行走路线，判断小明离家的距离，由此再得出对应的函数图象即可．
本题主要考查了函数图象的读图能力．要理解函数图象所代表的实际意义是什么才能从中获取准确的信息．
8.【答案】D
【解析】解：由题意知，四边形AFPE是矩形，
∵点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P，
∴当AP为直角三角形ABC的斜边上的高时，即AP⊥BC时，AM有最小值，
此时AM=12AP，由勾股定理知BC= 32+42=5，
∵S△ABC=12AB⋅AC=12BC⋅AP，
∴AP=3×45=125，
∴AM=12AP=65=1.2，
故选：D.
AM=12EF=12AP，所以当AP最小时，AM最小，根据垂线段最短解答．
本题考查矩形的性质，关键是利用了矩形的性质、勾股定理、垂线段最短求解．
9.【答案】C
【解析】解：∵一次函数y=kx+b，
∴k≠0，
图象交y轴于点C，
当x=0时，y=b，
即C(0,b)，
∵一次函数的图象经过点A(a,2+b)和点B(a+2,3k+1)，
∴ak+b=2+bk(a+2)+b=3k+1，
解得：b=k−1，
∴C(0,b)，
∵OC≤2，
即|k−1|≤2，
∴1≤k≤3，
综上，−1≤k≤3且k≠0.
故选：C.
根据一次函数的定义可知k≠0，又点A和点B在一次函数上，代入可得m=k+2，根据OC≤2即可作答．
本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数的定义和性质，解题的关键是掌握一次函数的性质．
10.【答案】C
【解析】解：连接GM并延长交AD于H，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
B，C，E三点在同一直线上，
∴AD//GF，
∴∠MAH=∠MFG，∠CDA=90∘，
∴△GDH是直角三角形，
∵M为AF的中点，
∴AM=FM，
在△AHM和△FGM中，
∠MAH=∠MFGAM=FM∠AMH=∠FMG，
∴△AHM≌△FGM(ASA)，
∴HM=GM，AH=FG，
∴M是HG的中点，即DM=12GH，AD=CD，AH=FG=CG，
∴AD−AH=CD−CG，即DG=DH，
∴△DGH是等腰直角三角形，
所以知道DG的长度，可求出GH，一定能求出线段DM的长．
故答案为：C.
连接GM并延长交AD于H，根据两直线平行，内错角相等可得∠MAH=∠MFG，然后利用“角边角”证明△AHM和△FGM全等，根据全等三角形对应边相等可得HM=GM，AH=FG，再求出DH=DG，然后根据等腰直角三角形的性质解答．
本题考查了直角三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，在正方形中证明三角形全等，并运用全等的性质解题是中考的热点，本题作辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
11.【答案】x≥1
【解析】解：根据题意，得x−1≥0，
解得，x≥1.
故答案为：x≥1.
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x−1≥0，通过解该不等式即可求得x的取值范围．
此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12.【答案】6
【解析】解：24=22×6，
∵ 24n是整数，
∴正整数n的最小值是6.
故答案为：6.
先分解质因数，再根据 24n为整数和n为正整数得出答案即可．
本题考查了二次根式的定义，能正确根据24分解质因数是解此题的关键．
13.【答案】4
【解析】【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设AC=x尺，则AB为(9−x)尺，利用勾股定理解题即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
【解答】解：设AC=x尺，则AB为(9−x)尺，
根据勾股定理得：x2+32=(9−x)2.
解得：x=4，
答：折断处离地面的高度为4尺．
故答案为：4.
14.【答案】x<2
【解析】解：∵一次函数y=mx+n(m≠0,m,n是常数)的图象经过两点A(0,3)，B(2,0)，
∴一次函数y=mx+n经过第一、二、四象限，y随x的增大而减小，
∴关于x的不等式mx+n>0的解集是x<2.
故答案为：x<2.
一次函数y=mx+n的图象落在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围即为不等式mx+n>0的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是掌握用数形结合的方法解题．
15.【答案】10 3
【解析】解：由题意可知：AB=AF，AE⊥BF，
∴OB=OF，∠BAE=∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠EAF=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=AF，
∵AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴OA=OE，OB=OF=12BF=5，
在Rt△AOB中，OA= AB2−OB2= 102−52=5 3，
∴AE=2OA=10 3.
故答案为：10 3.
证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出OA即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是判定四边形ABEF是菱形．
16.【答案】25∘或85∘
【解析】解：当P、C′、D三点共线时，分两种情况：
①当D在线段PC′上时，如图1，连接BD，
∵将△BCP沿BP翻折，得到△BC′P，
∴∠BCP=∠BC′P，
设∠PBC=∠PBC′=x，
∵四边形ABCD为菱形，且∠D=∠ABC=110∘，
∴∠BCD=180∘−∠ADC=180∘−110∘=70∘，CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD=180∘−∠BCD2=180∘−70∘2=55∘，
∴∠DCP=∠BCP=∠BC′P=12∠BCD=12×70∘=35∘，
∵∠CBC′=∠PBC+∠PBC′=x+x=2x，
∴∠DBC′=∠CBC′−∠CBD=2x−55∘，
∴∠BDP=∠DBC′+∠BC′P=2x−55∘+35∘=2x−20∘，
∵P在菱形ABCD的对角线AC上，
∴PD=PB，
∴∠PBD=∠BDP=2x−20∘，
又∵∠CBD=∠PBD+∠PBC=2x−20∘+x=3x−20∘，
而∠CBD=55∘，
∴3x−20∘=55∘，
∴x=25∘；
②当D在C′P延长线上时，如图，连接PD，BD，
同上，设∠PBC=∠PBC′=x，
∵∠CBD=55∘，
∴∠PBD=∠PBC−∠CBD=x−55∘，
又∵P在菱形ABCD的对角线AC上，
∴PD=PB，
∴∠PBD=∠BDP=x−55∘，
∴∠BPD=180∘−∠PBD−∠BDP=180∘−(x−55∘)−(x−55∘)=290∘−2x，
又∵∠BPD=∠BC′P+∠PBC′=∠BCP+∠PBC=35∘+x，
∴290∘−2x=35∘+x，
∴x=85∘，
∴当∠PBC=25∘或85∘时，P、C′、D三点共线，
故答案为：25∘或85∘.
当P、C′、D三点共线时，分两种情况：①当D在线段PC′上时，连接BD，②当D在C′P延长线上时，连接PD，BD；由翻折的性质得∠BCP=∠BC′P；设∠PBC=∠PBC′=x，由菱形的性质及∠D=110∘容易求得菱形内各个角的度数；然后，根据用x表示的各个角之间的等量关系列方程求解，即可分别求得两种情况下∠PBC的度数．
本题主要考查了翻折变换(折叠问题)，菱形的性质，三角形的外角性质和三角形内角和定理，用解方程的思想解决问题是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=3 2−2 2
= 2；
(2)原式=( 5)2−22
=5−4
=1.
【解析】(1)先算乘法，化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
(2)用平方差公式计算即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
18.【答案】证明：连接BD，交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∵AE=CF，
∴OA−AE=OC−CF，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【解析】先连接BD，交AC于O，由于四边形ABCD是平行四边形，易知OB=OD，OA=OC，而AE=CF，根据等式性质易得OE=OF，再根据两组对角线互相平分的四边形是平行四边形可证之．
本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是作辅助线，使其中出现对角线相交的情况．
19.【答案】解：原式=x−x(x−1)x−1⋅x−1(x−2)2
=x−x2+xx−1⋅x−1(x−2)2
=−−x2+2xx−1⋅x−1(x−2)2
=−x(x−2)x−1⋅x−1(x−2)2
=−xx−2，
当x= 2+2时，原式=− 2+2 2+2−2=−1− 2.
【解析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，约分得到原式=−xx−2，然后把x的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
20.【答案】(1)解：如图，BN即为所求．
(2)证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC=90∘，AB//CD，AB=CD，
∴∠NAB=∠AMD，
∵BN⊥AM，
∴∠ANB=90∘，
∴∠ADC=∠ANB，
∴△BNA≌△ADM(AAS)，
∴AN=DM，AM=AB，
∴AM=CD，
∴AM−AN=CD−DM，
即MN=MC.
【解析】(1)根据垂线的作法即可完成作图．
(2)根据矩形的性质和全等三角形的判定与性质即可完成证明．
本题考查作图-基本作图、全等三角形的判定与性质、矩形的性质，掌握垂线的作法是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)由统计图可知，m%=1−10%−30%−25%−15%=20%，
∴m=20.
1000×(25%+20%+15%)=600(人)，
∴全校学生中年龄不低于15岁的学生大约有600人．
(2)由扇形统计图可知，样本的平均数为13×10%+14×30%+15×25%+16×20%+17×15%=15(岁)，
样本的众数是14岁，
样本的中位数是15岁．
(3)不认同，理由如下：
设样本容量为n，
则S2=1n[(13−15)2×10%×n+(14−15)2×30%×n+(15−15)2×25%×n+(16−15)2×20%×n+(17−15)2×15%×n]=1.5，
∴方差为1.5.
【解析】(1)用1分别减去扇形统计图中13岁、14岁、15岁、17岁的百分比，可得m%，即可得m的值；根据用样本估计总体，用1000乘以扇形统计图中15岁、16岁、17岁的百分比之和，即可得出答案．
(2)根据平均数、众数、中位数的定义可得答案．
(3)根据方差的公式计算即可．
本题考查扇形统计图、用样本估计总体、加权平均数、中位数、众数、方差，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体、平均数、中位数、众数、方差的定义是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)y=(100−80)x+(130−100)(100−x)
=−10x+3000，
所以y与x的函数关系式为y=−10x+3000.
(2)∵80x+100(100−x)≤9600，
∴x≥20，
∵−10<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=20时，y的最大值为y=−10×20+3000=2800，
∴商场可获得的最大利润是2800元．
(3)y=(100−80−a)x+(130−100)(100−x)
=(a−10)x+3000，(20≤x≤60)，
①当0∴当x=20时，y有最大值，
∴20(a−10)+3000=3300，
∴a=25(舍)；
②当a=10时，a−10=0，y=3000，不符合题意；
③当10a−10>0，
y随x的增大而增大，
∴当x=60时，y有最大值，
∴60(a−10)+3000=3300，
∴a=15，
综上所述，a=15.
【解析】(1)根据总利润=甲商品的利润+乙商品的利润，即可得出答案；
(2)根据商场计划最多投入9600元购买甲、乙两种商品，得出x的范围，再根据一次函数的单调性，即可得出答案；
(3)先写出解析式，再进行分类讨论，进而可以得出答案．
本题主要考查一次函数的应用，分类讨论是解题的关键．
23.【答案】3.5
【解析】解：【任务1】(1)如图1所示，
∴S△ABC=−3×3−12×1×2−12×2×3−12×1×3=9−1−3−32=3.5，
故答案为：3.5；
【任务1】(2)如图2，△KMN三边KM、MN、KN的长分别为 5，2 2， 17，
∴S△KMN=2×4−12×2×1−12×2×2−12×1×4=8−1−2−2=3；
【任务1】(3)PQ=2 2，PR= 5，QR=3，
∵S△PQR=12×3×2=3=S△PEF，
∴改造后的六边形花圃ORDEFG的面积为3×2+PQ2+PR2=6+8+5=19.
【任务1】(1)根据正方形的面积减去三个三角形的面积即可求解；
【任务1】(2)根据网格的特点作出△KMN三边KM，MN，KN的长分别为 5、2 2、 17，然后根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解；
【任务1】(3)根据任务2的方法，将图形放置网格中求得S△POR=3，进而求得两个正方形的面积，即可求解．
本题属于四边形综合题，主要考查了勾股定理与网格问题，三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
24.【答案】(1)解：设直线l的解析式为y=kx+b，
∵点A(a,a+2)在直线l上(其中a>0)，
∴令a=1，得a+2=3，
∴A1(1,3)，
令a=2，得a+2=4，
∴A2(2,4)，
∴k+b=32k+b=4，
∴k=1b=2，
∴直线l的解析式为y=x+2；
(2)证明：∵a=2，
∴a+2=4，
∴A(2,4)，
∵线段AB平移得到线段DC，
∴AB//DC，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵A(2,4)，B(0,1)，C(2,−2)，
∴AB= (2−0)2+(4−1)2= 13，BC= (2−0)2+(−2−1)2= 13，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形；
(3)解：存在，
∵点A(a,a+2)在直线l上，点C(c,c+2)在直线l上，
∴直线l的解析式为y=x+2，
∵直线y=x+2与坐标轴围城的三角形为等腰直角三角形，
∴AC与x轴的夹角为45∘，
∵点B(m,c+2)，m+c+2=0，
∴点B在直线y=−x上，
∵点C(c,c+2)，点B(m,c+2)，
∴BC//x轴，BC=(m−c)，
∴∠ACB=45∘，
∵AC=(m−c)，
∴AC=BC，
即三角形ABC是等腰直角三角形，
则此时四边形ABCD是正方形，
若∠AEB=2∠ADB，则此时点E在AC的中点，
∵A点和B点横坐标相等，
∴m=a，
又∵−m=c+2，
∴a+c=−2，
∴AC的中点坐标为(,)，
即E(−1,1).

【解析】(1)设直线l的解析式为y=kx+b，由点A(a,a+2)在直线l上(其中a>0)，令a=1，得a+2=3，得到A1(1,3)，令a=2，得a+2=4，得到A2(2,4)，解方程组即可得到结论；
(1)根据平移得出四边形ABCD是平行四边形，然后证邻边相等即可；
(2)根据题意得出A点和C点在y=x+2上，根据m+c+2=0，得出点B在直线y=−x上，然后推出四边形ABCD是正方形，则E点为AC的中点，求出此时E点的坐标即可．
本题是一次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，握菱形的判定，正方形的性质，一次函数的应用，熟练掌握菱形的判定，正方形的性质，一次函数的应用等知识是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵正方形ABCD中，AB=4，E为边DC上一点，
∴∠ADC=∠BCD=90∘，AD=CD=BC=4，
∵DE=1，
∴CE=3，
∴AE= AD2+DE2= 42+12= 17，
BE= BC2+CE2= 42+32=5；
(2)当点F落在线段BE上，如图，
则AB=AF，AP⊥BE，
∴BP=PF.
∵E为边DC上一点，
∴S△ABE=12AB⋅AD=12AB2，
∴12BE⋅AP=12×42，
∴5AP=16，
∴AP=165.
∴BP= AB2−AP2= 42−(165)2=125.
(3)当DC=DF时，如图3，
∵AF=AB，
∴AF=AD=DF，
∴∠DAF=60∘，
∴∠BAF=∠FDC=30∘，
∴2∠BAP=2α=30∘，
∴α=15∘；
过点F作FG⊥CD于点G，则FG=12DF=2，
S△CDF=12CD⋅FG=12×4×2=4；
当FC=FD时，如图4，连接BF，
则∠FDC=∠FCD，
∵∠ADC=∠BCD=90∘，
∴∠ADF=∠BCF，
∵DA=CB，
∴△ADF≌△BCF(SAS)，
∴AF=BF，
∵AF=AB，
∴AB=BF=AF，
∴∠BAF=60∘，
∴α=30∘，
∴∠DAF=30∘，
过点F作FH⊥AD于点H，则FH=12AF=2，AH=2 3，
∴S△ADF=12AD⋅FH=12×4×2=4=S△BCF，S△ABF=12AB⋅AH=12×4×2 3=4 3，
S正方形ABCD=AB2=16，
∴S△CDF=S正方形ABCD−S△ADF−S△BCF−S△ABF=16−8−4 3=8−4 3，
不存在CF=CD的情形；
综上，若△DFC为等腰三角形，α=15∘，S△CDF=4或α=30∘，S△CDF=8−4 3.
【解析】(1)利用正方形的性质和勾股定理解答即可；
(2)利用折叠的性质得到AP⊥BE，利用三角形的面积公式和正方形的性质得到S△ABE=12×正方形ABCD的面积，进而求得AP，再利用勾股定理解答即可得出结论；
(3)利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答：当DF=DC时，利用等腰三角形的性质和正方形的性质得到△ADF为等边三角形，则∠FAD=60∘，∠BAF=30∘，利用折叠的性质求得α=15∘；过点F作FG⊥CD于点G，则FG=12DF=2，利用三角形面积计算公式解答即可；当CF=FD时，连接BF，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质得到△ABF为等边三角形，则∠BAF=60∘，利用折叠的性质求得α=30∘；过点F作FH⊥AD于点H，则FH=12AF=2，AH=2 3，利用S△CDF=S正方形ABCD−S△ADF−S△BCF−S△ABF解答即可；不存在CF=CD的情形，综上即可得出结论．
本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．