2023-2024学年福建省龙岩市永定区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年福建省龙岩市永定区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在函数y= x−3中，自变量x的取值范围是( )
A. x≥3B. x>3C. x≤3D. x<3
2.下列各点中，在直线y=2x上的点是( )
A. (1,1)B. (2,1)C. (2,−2)D. (1,2)
3.下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是( )
A. 3，4，5B. 4，5，6C. 5，12，13D. 9，12，15
4.下列根式中，能与 2合并的是( )
A. 13B. 3 3C. 8D. 12
5.如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，点D、E、F分别是三边的中点，且DE=4cm，则AF的长度是( )
A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 6cm
7.篮球场上初二(1)班5名同学正在比赛，场上队员的身高(单位：cm)是170，176，176，178，180.现将场上身高为170cm和180cm的队员换成172cm和176cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高( )
A. 平均数变小，众数不变B. 平均数变小，众数变大
C. 平均数不变，众数不变D. 平均数不变，众数变大
8.一次函数y=kx+b的x与y的部分对应值如表所示，根据表中数值分析．下列结论正确的是( )
A. y随x的增大而增大
B. 一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限
C. 方程kx+b=2的解是x=−4
D. 当x>0时，kx+b<0
9.如图1，在菱形ABCD中，∠BAD=60∘，AB=2，E是DC边上一个动点，F是AB边上一点，∠AEF=30∘.设DE=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的( )
A. 线段ECB. 线段AEC. 线段EFD. 线段BF
10.如图，平面内4条直线l1、l2、l3、l4是一组平行线，相邻2条平行线的距离是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，则这个正方形的面积不可能是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11. 12=______.
12.将直线y=3x−3向下平移2个单位，所得直线的解析式是______.
13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D为AB中点．CD=3，则AB=______.
14.某组数据方差的计算公式是：S2=110[(x1−4)2+(x2−4)2+…+(x10−4)2]，则该组数据的总和为______.
15.一次函数y=kx+b的图象于x轴、y轴分别交于点A(2,0)，B(0,4)，点C，D分别是OA，AB的中点，P是OB上一动点．当△DPC周长最小时，点P的坐标为______.
16.如图，在平行四边形ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF、BF，下列结论：
①∠ABC=2∠ABF；
②BE> 2BF；
③S四边形DEBC=2S△EFB；
④∠CFE=3∠DEF；其中正确结论有______.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1) 10× 2+ 15÷ 3；
(2) 27−( 12− 13).
18.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别在边AD，BC上，且AE=CF.求证：BE=DF.
19.(本小题8分)
先化简，再求值：(1−3m+2)÷m2−1m+2，其中m= 2−1.
20.(本小题8分)
已知一次函数y=kx−4的图象过点(1,−2).
(1)求一次函数的解析式，并在图中画出该函数的图象；
(2)若点A(2,a)和B( 7,b)在该一次函数图象上，试比较a与b的大小，并说明理由.
21.(本小题8分)
如图，已知∠MON，A，B为射线ON上两点，且OB(1)求作菱形ABCD，使得点C在射线OM上；(要求；尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，连接AC，若OA=8，OB=2，OC=4 2，求AC的长.
22.(本小题10分)
小宇观看奥运会跳水比赛，对运动员每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为：
a.每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H；
b.每次试跳都有7名裁判进行打分(0−10分，分数为0.5的整数倍)，在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p；
c.运动员该次试跳的得分A=难度系数H×完成分p×3.
在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为：
(1)甲运动员这次试跳的完成分P甲=______，得分A甲=______；
(2)若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为P甲′，那么与(1)中所得的P甲比较，P甲′______P甲(填“>”，“=”或“<”)；
(3)在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低13.1分，已知乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分P乙至少要达到______分.
23.(本小题10分)
综合与实践：构图法求三角形的面积.
24.(本小题12分)
如图，在矩形ABCD中，AD=nAB，E、F分别在AB，BC上．
(1)若n=1.
①如图1，AF⊥DE.求证：AE=BF；
②如图2，点G为CB延长线上一点，DE的延长线交AG于H，若AH=AD，求证：AE+BG=AG；
(2)如图3，若E为AB的中点，∠ADE=∠EDF，求CFBF的值．(结果用含n的式子表示)
25.(本小题14分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=−x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，点P(1,m)在直线y=−x+3上．
(1)求点A，B的坐标．
(2)若C是x轴的负半轴上一点，且S△PAC=79S△AOB，求直线PC的表达式．
(3)若E是直线AB上一动点，过点E作EQ//x轴交直线PC于点Q，EM⊥x轴，QN⊥x轴，垂足分别为M，N，是否存在点E，使得四边形EMNQ为正方形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解.
【解答】
解：由题意得，x−3≥0，
解得x≥3.
故选A.
2.【答案】D
【解析】解：把(1,2)，(2,1)，(2,−2)，(1,1)代入y=2x上，只有(1,2)满足条件．
故选：D.
把四个选项代入y=2x，选择满足条件的选项．
此题考查了正比例函数上的点的特征，熟悉正比例函数上的点特征是解答此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A.32+42=52，则能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B.42+52≠62，则不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C.52+122=132，则能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D.92+122=152，则能构成直角三角形，故此选项不合题意；
故选：B.
利用勾股定理逆定理进行计算即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
4.【答案】C
【解析】解：A. 13= 33，与 2的被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，故本选项不合题意；
B.3 3= 3，与 2的被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，故本选项不合题意；
C. 8=2 2，与 2的被开方数相同，是同类二次根式，能合并，故本选项符合题意；
D. 12=2 3，与 2的被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，故本选项不合题意；
故选：C.
根据二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，可得答案．
此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
5.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质有关知识，由在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，易证得△ABE是等腰三角形，继而求得答案.
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=5，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∴DE=AD−AE=2.
故选D.
6.【答案】C
【解析】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=8cm，
在Rt△BAC中，点F是斜边BC的中点，
则AF=12BC=4cm，
故选：C.
根据三角形中位线定理求出BC，根据直角三角形斜边中线的性质解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵原数据的平均数为15×(170+176+176+178+180)=176，众数是176，
新数据的平均数为15×(172+176+176+176+176)=175.8，众数是176，
∴平均数不变，众数不变．
故选：A.
分别计算出原数据和新数据的平均数和众数，再进行比较即可得出答案．
本题主要考查平均数和众数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
8.【答案】B
【解析】解：由表格可得，
A.y随x的增大而减小，故选项A错误，不符合题意；
B.当x=0时，y=2，可知b=2，y随x的增大而减小，可知k<0，则该函数图象经过第一、二、四象限，故选项B正确，符合题意；
C.x=0时，y=2，故方程kx+b=2的解是x=0，故选项C错误，不符合题意；
D.∵点(0,2)，(1,−1)在该函数图象上，
∴b=2k+b=−1，
解得k=−3b=2，
∴y=−3x+2，
当y=0时，0=−3x+2，得x=23，
∵y随x的增大而减小，
∴当x>23时，kx+b<0，故选项D错误，不符合题意；
故选：B.
根据表格中的数据和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数与一元一次方程、一次函数的性质，解答本题的关键是利用一次函数的性质解答．
9.【答案】B
【解析】解：当点E与点D重合时，即x=0时，EC=DC=2，AE=AD=2，
∵∠A=60∘，∠AEF=30∘，
∴∠AFD=90∘，
在Rt△ADF中，∵AD=2，
∴AF=12AD=1，EF=DF=ADcs∠ADF= 3，
∴BF=AB−AF=1，结合图象可知C、D错误；
当点E与点C重合时，即x=2时，
如图，连接BD交AC于H，
此时EC=0，故A错误；
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60∘，
∴∠DAC=30∘，
∴AE=2AH=2ADcs∠DAC=2×2× 32=2 3，故B正确．
故选：B.
求出当点E与点D重合时，即x=0时EC、AE、EF、BF的长可排除C、D；当点E与点C重合时，即x=2时，求出EC、AE的长可排除A，可得答案．
本题主要考查动点问题的函数图象与菱形的性质、解直角三角形的应用，结合函数图象上特殊点的实际意义排除法求解是解此题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：①若正方形有一组对边与该组平行线平行，
∵相邻2条平行线的距离都是1个单位长度，
∴正方形的边长为1或2或3，
∴正方形的面积为1或4或9，
②若正方形的每条边都与该组平行线不平行，
如图，过点B作EF⊥l2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90∘，
∵∠ABE+∠CBF=180∘−90∘=90∘，
∠CBF+∠BCF=90∘，
∴∠ABE=∠BCF，
在△ABE和△BCF中，
∠ABE=∠BCF∠AEB=∠BFC=90∘AB=BC，
∴△ABE≌△BCF(AAS)，
∴AE=BF，
当为图1时，AB= 12+12= 2，
正方形的面积为( 2)2=2，
当为图2时，AB= 12+22= 5，
正方形的面积为5，
所以，正方形的面积为1或4或9或2或5，
综上所述，只有3不可能．
故选：C.
①正方形有一组对边与该组平行线平行，根据相邻直线间的距离为1，分别求出正方形的面积；②正方形的每条边都与该组平行线不平行，有一对对角顶点在同一直线上与不在同一直线上，过点B作EF⊥l2，根据正方形的性质求出AB=BC，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠BCF，然后利用“角角边”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，然后利用勾股定理列式求出AB的长，再根据正方形的面积求解即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线间的距离，勾股定理的应用，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
11.【答案】2 3
【解析】【分析】
此题主要考查了二次根式的化简求值，正确开平方是解题的关键．
将被开方数12分解为4×3，进而开平方即可得出答案．
【解答】
解： 12= 4×3= 4× 3=2 3，
故答案为：2 3.
12.【答案】y=3x−5
【解析】解：将直线y=3x−3向下平移2个单位，所得直线的解析式是：y=3x−3−2，即y=3x−5.
故答案为：y=3x−5.
直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数平移规律是解题关键．
13.【答案】6
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D为AB中点．CD=3，
∴AB=2CD=2×3=6，
故答案为：6.
根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
14.【答案】40
【解析】解：由S2=110×[(x1−4)2+(x2−4)2+…+(x10−4)2]知共有10个数据，这10个数据的平均数为4，
则该组数据的总和为：10×4=40，
故答案为：40.
样本方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2]，其中n是这个样本的容量，x−是样本的平均数．利用此公式直接求解．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式及公式中的字母所表示的意义．
15.【答案】(0,1)
【解析】解：如图：作C点关于y中的对称点A′，连接DA′交y轴于点P，此时PD+PC的值最小，
∵DC长为定值，
∴当PD+PC的值最小时，△DPC周长最小，
∵A(2,0)，B(0,4)，点C，D分别是OA，AB的中点，
∴C(1,0)，D(1,2)，
∴A′(−1,0)，
设直线DA′为：y=kx+b，
把A′(−1,0)，D(1,2)，代入得，
−k+b=0k+b=2，
解得看k=1，b=1，
∴y=x+1，
令x=0，
∴y=1，
∴P(0,1)，
故答案为：(0,1).
作A点关于y中的对称点A′，连接DA′交y轴于点P，此时PD+PC的值最小，根据中点坐标公式求出D、C点的坐标，再求出直线DA′的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象、最短路线问题，熟练掌握这三个知识点的综合应用，最短路线问题中P点的确定及求出直线DA′的解析式是解题关键．
16.【答案】①②③④
【解析】解：如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH.
∵点F是CD的中点，
∴DF=FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∵CD=2AD，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠CBF，
∵CD//AB，
∴∠CFB=∠FBH，
∴∠CBF=∠FBH，
∴∠ABC=2∠ABF.故①正确，
∵DE//CG，
∴∠D=∠FCG，
∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，
∴△DFE≌△CFG(ASA)，
∴FE=FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90∘，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠EBG=90∘，
∴BF=EF=FG，
∴∠FEB=∠FBE，∠FGB=∠FBG，
∵∠ABC=2∠ABF，
∴∠FBG>∠FBE，
∵∠GFB=∠FEB+∠FBE，∠EFB=∠FGB+∠FBG，
∴∠GFB=2∠FBE，∠EFB=2∠FBG，
∴∠EFB>∠GFB，
假设∠EFB=∠GFB时，
∴∠EFB=∠BFB=90∘，
∵EF=BF，
∴BE= 2BF，
∵∠EFB>∠GFB>90∘，
∴BE> 2BF，故②正确，
∵S△DFE=S△CFG，
∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，
∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，
∴CF=BH，
∵CF//BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF=BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC=∠BFH，
∵FE=FB，FH//AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，
∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，
故答案为：①②③④．
如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH.想办法证明EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
17.【答案】解：(1) 10× 2+ 15÷ 3
=2 5+ 5
=3 5；
(2) 27−( 12− 13)
=3 3−(2 3− 33)
=3 3−2 3+ 33
=43 3.
【解析】(1)根据二次根式的乘除以及加减运算法则进行计算即可求解；
(2)根据二次根式的加减混合运算进行计算即可求解．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵AE=CF.
∴AD−AE=BC−CF，
∴DE=BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE=DF.
【解析】根据平行四边形的性质得出AD=BC，AD//BC，进而根据已知条件得出DE=BF，可得四边形DEBF是平行四边形，即可得证．
本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌平行四边形的性质与判定握是解题的关键．
19.【答案】解：原式=m+2−3m+2÷m2−1m+2
=m−1m+2⋅m+2(m+1)(m−1)
=1m+1，
当m= 2−1时，原式=1 2−1+1= 22.
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：(1)将点(1,−2)代入y=kx−4得，
−2=k−4，
解得：k=2，
∴一次函数的解析式为y=2x−4，
当x=0时，y=−4，
过点(0,−4)，(1,−2)，画出函数图象，如图所示，
(2)a∵点A(2,a)和B( 7,b)在y=2x−4图象上，
又∵2>0，2< 7，
∴y随x的增大而增大，
∴a【解析】(1)待定系数法求解析式，然后根据两点确定一条直线，画出函数图象；
(2)根据一次函数的性质即可求解．
本题主要考查一次函数的解析式，比较函数值的大小，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图，菱形ABCD为所求作的图形．

(2)如图所示，
∵OA=8，OB=2,OC=4 2，
∴BC=AB=AO−BO=8−2=6，
∵OC2+OB2=(4 2)2+22=36=62=BC2，
∴△BOC是直角三角形，且∠O=90∘，
在Rt△ACO中，AC= CO2+AO2= (4 2)2+82=4 6.
【解析】(1)以B点为圆心，AB长为半径画圆，交OM于点C，再分别以C，A为圆心AB长为半径画，相交于D点，即可得出答案；
(2)根据已知条件得出△BOC是直角三角形，进而勾股定理即可求解．
本题考查了作菱形，勾股定理与勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22.【答案】解：(1)7个评委得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩的下3个数为7.5，8.0，8.5，其平均数为8.0，
∴完成分P甲=8.0，
∴A甲=H⋅P×3=3.5×8.0×3=84，
故答案为：8.0，84；
(2)P甲′=4.0+7.0+7.5+8.0+8.5+8.5+9.07=7.5<8.0，
∴P甲′故答案为：<；
(3)由题意得，
3.6×P乙×3=84+13.1，
解得，P乙=971108，
因此P乙至少达到9.0，
故答案为：9.0.
【解析】(1)7个评委得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值即为P甲，
(2)计算7个评委打分的平均分，得出P甲′，比较得出答案；
(3)列方程求解即可．
本题考查平均数的意义和计算方法，理解和掌握完成分P，得分A的计算方法是正确计算的前提．
23.【答案】3.5
【解析】解：任务1：如图所示，
∴S△ABC=−3×3−12×1×2−12×2×3−12×1×3=9−1−3−32=3.5，
故答案为：3.5.
任务2：如图所示△KMN三边KM、MN、KN的长分别为 5，2 2， 17，
∴S△KMN=2×4−12×2×1−12×2×2−12×1×4=8−1−2−2=3；
任务3：如图所示PQ=2 2，PR= 5，QR=3，
∵S△PQR=12×3×2=3=S△PEF，
∴改造后的六边形花圃ORDEFG的面积为3×2+PQ2+PR2=6+8+5=19.
任务1，根据正方形的面积减去三个三角形的面积即可求解；
任务2：根据网格的特点作出△KMN三边KM，MN，KN的长分别为 5、2 2、 17，然后根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解；
任务3，根据任务2的方法，将图形放置网格中求得S△POR=3，进而求得两个正方形的面积，即可求解．
本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
24.【答案】(1)①证明：∵四边形ABCD是矩形，AD=nAB，n=1，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90∘=∠ABC，
∴∠DAF+∠BAF=90∘，
∵AF⊥DE，
∴∠DAF+∠ADE=90∘，
∴∠ADE=∠BAF，
而AD=AB，∠DAE=∠ABF=90∘，
∴△ADE≌△BAF(ASA)，
∴AE=BF；
②过点A作AF⊥HD交BC于点F，如图：
由(1)可知：AE=BF，
∵AH=AD，AF⊥HD，
∴∠HAF=∠DAF，
∵AD//BC，
∴∠DAF=∠AFG，
∴∠HAF=∠AFG，
∴AG=GF，
∵GF=GB+BF，
∴AG=GB+BF=GB+AE；
(3)过点E作EH⊥DF于H，连接EF，如图：
∵E为AB的中点，
∴AE=BE=12AB，
∵∠ADE=∠EDF，EA⊥AD，EH⊥DF，
∴AE=EH，AD=DH=nAB，
∴BE=EH，而EF=EF，
∴Rt△BEF≌Rt△HEF(HL)，
∴BF=FH，
设BF=x=FH，则FC=BC−BF=nAB−x，
∵DF2=FC2+CD2，
∴(nAB+x)2=(nAB−x)2+AB2，
∴x=AB4n=BF，
∴FC=nAB−x=4n2−14nAB，
∴CFBF=4n2−1.
【解析】(1)①由“ASA”可证△ADE≌△BAF，可得AE=BF；
②过点A作AF⊥HD交BC于点F，由等腰三角形的性质和平行线的性质，可得∠HAF=∠AFG=∠DAF，可得AG=FG，即可得证；
(2)过点E作EH⊥DF于H，连接EF，由角平分线的性质可得AE=EH=BE，由“HL”可证Rt△BEF≌Rt△HEF，可得BF=FH，由勾股定理可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
25.【答案】解：(1)令x=0，则y=3，
∴B(0,3)，
令y=0，则y=3，
∴A(3,0)；
(2)将点P(1,m)代入y=−x+3，
∴m=2，
∴P(1,2)，
由(1)可得OA=OB=3，
∴S△AOB=12×3×3=92，
∵S△PAC=79S△AOB，
∴S△PAC=72=12×(3−xC)×2，
∴xC=−12，
∴C(−12,0)，
设直线PC的解析式为y=kx+b，
∴−12k+b=0k+b=2，
解得k=43b=23，
∴y=43x+23；
(3)存在点E，使得四边形EMNQ为正方形，理由如下：
设E(t,−t+3)，则Q(−34t+74,−t+3)，
∴EQ=|74t−74|，EM=|t−3|，
当四边形EMNQ为正方形时，EQ=EM，
∴|74t−74|=|t−3|，
解得t=−53或t=1911，
∴E(−53,43)或(1911,1411).
【解析】(1)由一次函数图象上点的坐标特点直接求解即可；
(2)由题意可得S△PAC=72=12×(3−xC)×2，求出C点坐标，再由待定系数法求函数解析式即可；
(3)设E(t,−t+3)，则Q(−34t+74,−t+3)，当四边形EMNQ为正方形时，EQ=EM，则|74t−74|=|t−3|，求出t即可求E点坐标．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，正方形的判定及性质是解题的关键．x
…
−1
0
1
2
…
y
…
5
2
−1
−4
…
难度系数
裁判
1#
2#
3#
4#
5#
6#
7#
3.5
打分
7.5
8.5
4.0
9.0
8.0
8.5
7.0
问题提出
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 5， 10， 13，求△ABC的面积.
素材1
某数学兴趣小组发现，如果运用三角形面积公式S=12ah(a为底边，h为对应的高)求解，那么高h的计算较为复杂.进一步观察发现AB= 5= 12+22，BC= 10= 12+32，AC= 13= 22+32，若把△ABC放到图1的正方形网格中(每个小正方形的边长为1)，且△ABC的三个顶点恰好都在小正方形的顶点处，这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出△ABC的面积.这种借助网格计算面积的方法称为“构图法”.
素材2
某园艺公司对一块三角形花圃PQR进行改造，如图3所示，分别以原花圃的PQ，PR为边向外扩建正方形花圃PQGF，正方形花圃PRDE，并增加三角形花圃FPE，将原花圃改造为六边形QRDEFG.
任务1
(1)请直接写出图1中的三角形面积______.
任务2
(2)已知△KMN三边KM，MN，KN的长分别为 5，2 2， 17，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为1)画出相应的△KMN，并求出它的面积.
任务3
(3)若三角形花圃的边PQ=2 2，PR= 5，QR=3，求改造后的六边形花圃QRDEFG的面积.