高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示巩固练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示巩固练习，共30页。

考点一 空间直角坐标系
1．空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(i，j，k))，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
(2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
2．右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
考点二 空间一点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq \(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq \(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 eq \(OA,\s\up6(→)) 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
考点三 空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
考点四 空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有


考点五 空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))；
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3)) \r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3))).
知识点三 空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
则P1P2＝|eq \(P1P2,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).


【题型归纳】
题型一：空间直接坐标对称问题
1．点关于平面的对称点为（ ）
A．B．C．D．
2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，关于轴的对称点为，则、间的距离为（ ）
A．B．6C．4D．
3．在空间直角坐标系中，已知点，那么下列说法正确的是（ ）
①点关于轴对称的点的坐标是；②点关于平面对称的点的坐标是；③点关于平面对称点的坐标是；④点关于原点对称点的坐标是.
A．①②B．①④C．②④D．③④






题型二：空间图像上的点坐标
4．如图所示，在一个长、宽、高分别为2、3、4的密封的长方体装置中放一个单位正方体礼盒，现以点D为坐标原点，、、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则正确的是（ ）
A．的坐标为B．的坐标为
C．的长为D．的长为
5．在空间直角坐标系中，记点在平面内的正投影为点B，则（ ）
A．B．C．D．
6．在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则
A．B．
C．D．










题型三：空间中点坐标公式的应用
7．如图所示的空间直角坐标系中，正方体的棱长为，，则点的空间直角坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．已知△ABC的三个顶点A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为
A．2B．3C．D．
9．在空间直角坐标系中，给出以下结论：①点关于轴的对称点的坐标为；②点关于平面对称的点的坐标是；③已知点与点，则的中点坐标是；④两点间的距离为.其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④

题型四：空间两点间的距离公式应用
10．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则、两点间的距离为（ ）
A．B．2C．4D．
11．正方体的棱长为，且，，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．已知点，，则，两点的距离的最小值为
A．B．C．D．



题型五：空间坐标的运算及其模的求法
13．若向量，满足条件，则x的值为（ ）
A．B．2C．0D．1
14．平行六面体中，，，，则对角线的长为（ ）
A．B．12C．D．13
15．设，向量，，，且，，则（ ）
A．B．3C．D．4

题型六：空间向量的平行的坐标表示问题
16．已知向量，则与共线的一个单位向量（ ）
A．B．C．D．
17．已知点，.点为坐标原点，若，则点的坐标为（ ）
A． B．C．D．
18．已知，，若与共线，则实数（ ）
A．-2B．C．D．2

题型七：空间向量的垂直的坐标表示问题
19．下列各组向量互相垂直的是（ ）
A．2，，
B．4，，0，
C．2，，
D．4，，


20．已知，，且与互相垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
21．已知为坐标原点，向量，点，.若点在直线上，且，则点的坐标为（ ）.
A．B．
C．D．

题型八：空间向量的夹角余弦的坐标问题
22．若向量，且与的夹角余弦为，则λ等于（ ）
A．B．C．或D．2
23．已知空间向量，，且，则与的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
24．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O(0,0,0)，与的夹角为120°，则λ的值为( )
A．±B．C．－D．±


【双基达标】
一、单选题
25．已知向量，，且与互相垂直，则（ ）
A．1B．C．D．
26．设，，向量，，，且，，则（ ）
A．B．3C．4D．
27．已知空间四点，，，，则（ ）
A．B．C．D．

28．一束光线自点P（1，1，1）出发，被xOy平面反射到达点Q（3，3，6）被吸收，那么光线所经过的距离是（ ）
A．B．C．D．
29．已知向量，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
30．已知空间三点，，，若向量与的夹角为60°，则实数（ ）
A．1B．2C．D．
31．空间有四点A、B、C、D，其中，且，则直线AB与CD（ ）
A．平行B．重合C．必定相交D．必定垂直
32．如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点在平面内，且，，则点的坐标为（ ）．
A．
B．
C．
D．
33．若＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件


34．已知，，则向量与的夹角是（ ）
A．90°B．60°
C．45°D．30°
35．已知，，当取最小值时，的值为
A．19B．C．D．

【高分突破】
一：单选题
36．已知向量，，且与互相垂直，则的值是
A．-1B．C．D．
37．如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为
A．B．C．D．
38．已知空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
39．正方体的棱长为，点在且，为的中点，则为( )
A．B．C．D．


40．已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）
A．B．C．D．
41．已知空间向量，，则的最小值为
A．B．C．2D．4
42．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在底面上（包括边界）移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ）
A．B．C．D．3

二、多选题
43．已知向量，，， 下列等式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
44．已知空间三点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
45．已知向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．不存在实数，使得
D．若，则
46．如图，在正方体中，点，分别是棱和的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
47．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，则以下结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．


三、填空题
48．已知向量，若，则实数的值为______.
49．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是_______．
50．已知向量，，则在方向上的投影为________．
51．如图所示，正方体的棱长为是它内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值围是_______________________．

四、解答题
52．已知，，，.
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的值.
53．直三棱柱中，，棱，是的中点．
(1)求的长；
(2)求的值．
54．如图，，原点是的中点，点的坐标为，，，点在平面上，且，．
（1）求向量的坐标．
（2）求与的夹角的余弦值．



55．已知空间三点.
（1）若点在直线上，且，求点的坐标；
（2）求以为邻边的平行四边形的面积.
56．已知，．
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）求确定、的值使得与轴垂直，且．
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘
λa
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积
a·b
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
【答案详解】
1．A
【详解】
因为点关于平面的对称点为，
所以点关于平面的对称点为
故选：A
2．B
因为关于平面的对称点为，所以，
又因为关于轴的对称点为，所以，
所以，
故选：B.
3．D
【详解】
空间直角坐标系中，点.
对于①，点关于轴对称的点的坐标是，①错误；
对于②，点关于平面对称的点的坐标是，②错误；
对于③，点关于平面对称点的坐标是，③正确；
对于④，点关于原点对称点的坐标是，④正确；
综上知，正确的命题序号是③④.
故选：D.
4．D
【详解】
由所建坐标系可得：，，，
.
故选：D.
5．B
点在平面内的正投影为点，则．
故选：B.
6．C
【详解】
解：三棱锥各顶点在平面上的正投影坐标为，，，，在平面上正投影的图形为直角三角形，其面积为；
三棱锥各顶点在平面上的正投影坐标为，，，，在平面上正投影的图形为直角梯形，其面积为；
三棱锥各顶点在平面上的正投影坐标为，，，，在平面上正投影的图形为直角梯形，其面积为；
所以得，故选C．
7．D
【详解】
因为，故为中点，又，故，即
故选：D
8．B
【详解】
由题意的中点为，∴．
故选：B．
9．C
【详解】
①点关于轴的对称点的坐标为，故①错误；
②点关于平面对称的点的坐标是，故②正确；
③已知点与点，则的中点坐标是，故③正确；
④两点间的距离为，故④错误.
故选：C.
10．B
【详解】
由题意，∴．
故选：B．
11．A
【详解】
以为坐标原点，正方向为轴可建立如图所示空间直角坐标系，
，又，，，
同理可得：，，
，，，，，，
，
的轨迹为（平面），即平面；
点关于平面对称点在上且满足，；
（当且仅当三点共线时取等号），
，，，
的最小值为.
故选：A.
12．C
【详解】
因为点，
所以
有二次函数易知，当时，取得最小值为
的最小值为
故选：C.
13．B
【详解】
由，即，
则，
∴1＋2＋1－(1＋2＋x)＝－1，得x＝2.
故选：B
14．D
【详解】
因为，所以
故选：D
15．C
【详解】
解：，，得，
又，则，得，
，
，
.
故选：C.
16．B
设，由已知可得，解得.
因此，或.
故选：B.
17．A
【详解】
设点的坐标为，，
因为点，，，
由，可得，
解得:，
所以点的坐标为
故选：A.
18．B
【详解】
∵，，
∴，.
∵与共线，
∴，即.
故选：B.
19．C
【详解】
解：对于，，、不垂直；
对于，由得、是共线向量，不垂直；
对于，，；
对于，，、不垂直．
故选：．
20．D
【详解】
解：根据题意，向量 .，，则， ，，，2，，
若向量.与.互相垂直，则有，
解可得：；
故选：D.
21．A
【详解】
因为在直线上，故存在实数使得，
.若，则，所以，解得，
因此点的坐标为.
故选：A.
22．A
【详解】
解：∵向量，
∴，
解得．
故选：A．
23．B
【详解】
，
因为，解得，即.
所以.
故选：B
24．C
【详解】
因为，，
所以，，，，，
，
，
，
所以 ，
所以，
且
解得，故选C．
25．B
，
由于与互相垂直，
所以.
故选：B
26．B
【详解】
因为，所以，解得，所以，
因为，所以，解得，所以，
所以，
所以.
故选：B
27．A
【详解】
由题意得，，
所以
，
所以，
故选：A
28．D
【详解】
P关于xOy平面对称的点为P′（1，1，-1），则光线所经过的距离为
|P′Q|=.
故选:D
29．A
【详解】
由题意，，而，，
∴，则，又，
∴.
故选：A
30．B
【详解】
，，，
，
由题意有
即，
整理得，
解得
故选：B
31．D
【详解】
，由因为，所以，即，所以，
又因为，所以，
故选：D.
32．B
【详解】
过点作，垂足为，
在中，，，，
得、，
所以，
所以，
所以点的坐标为，
故选：B．
33．A
【详解】
解析：设，则=k，即，即“”可推出“”；
又若＝时，＝(0，0，0)，虽有成立，但条件显然不成立，
所以“”推不出“”，故“”是“”充分不必要条件.
故选：A．
34．A
【详解】
依题意，，，
则，，
所以，
所以，即向量与的夹角是90°．
故选：A.
35．C
【详解】
，故当时，取得最小值.
36．D
【详解】
∵向量（1，1，0），（﹣1，0，2），
∴k（k，k，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2），
2（2，2，0）﹣（﹣1，0，2）＝（3，2， 2），
∵k和2互相垂直，
∴（k）•（2）＝
解得k．
故选D．
37．A
【详解】
取AB的中点D，连接CD，以AD为x轴，以CD为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，
可得，，故，而
，设平面的法向量为，根据
，解得，
.
故与平面所成角的大小为，故选A．
38．C
【详解】
设，
由点在直线上，可得存在实数使得，
即，可得,
所以,
则，
根据二次函数的性质，可得当时，取得最小值，此时.
故选：C.
39．A
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系
则N(a，a，a)，C1（0，a，a），A（a，0，0）
因为
所以
所以

所以
所以
所以选A
40．A
【详解】
解：由空间向量，，若与垂直，
则，
即，
即，
即，
即，
即，
故选：A.
41．C
【详解】
解：∵，，
∴，
则，
∴当时，取最小值为2．
故选：C．
42．D
【详解】
解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
设P（a，b，0），则（0，0，2），E（1，2，0），（2，2，2），
＝（a−2，b−2，−2），＝（1，2，−2），
∵P⊥E，
，
∴a＋2b−2＝0，
∴点P的轨迹是一条线段，
，
由二次函数的性质可得当时，可取到最大值9，
∴线段P的长度的最大值为3．
故选：D．
43．BCD
【详解】
由题，所以
不相等，所以A选项错误；
，所以，所以B选项正确；
，所以C选项正确；
，
即，，所以D选项正确.
故选：BCD
44．AC
【详解】
，
，
，故A正确；
不存在实数，使得，故不共线，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：AC.
45．AC
【详解】
对于A中，由，可得，解得，故A选项正确；
对于B中，由，可得，解得，故B选项错误；
对于C中，若存在实数，使得，则，显然无解，即不存在实数，使得，故C选项正确；
对于D中，若，则，解得，于是，故D选项错误.
故选：AC.
46．ACD
【详解】
以为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则，，，，
，
，，，，A正确；
，，B错；
，，C正确；
，D正确．
故选：ACD．
47．CD
【详解】
如图，连接AC和BD交于O，连接SO，由题可知OA，OB，OS两两垂直，则以OA，OB，OS为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
，
底面是边长为的正方形，，
，，
则,
,
,
，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，
，
即，故D正确.
故选：CD.
48．2
【详解】
由题意知，向量，所以，
又由，
解得．
49．
【详解】
，
，
，
故答案为：．
50．
依题意在方向上的投影为.
51．
【详解】
当弦的长度最大时，弦过球心，
如图，建立空间直角坐标系，不妨设是上下底面的中心，
则，，
，，，
则
，
而表示点和定点距离的平方，很显然正方体的顶点到定点距离的平方最大，最大值是 正方体面的中心到定点的距离的平方最小，最小值是，所以的最小值是，最大值是.
故答案为：
52．（1）2；（2）.
【详解】
（1）.
∵ ，
∴ 设，
∴ ，
∴ 即
∴ 的值为2.
（2），
.
∵ ，
∴ ，
∴ .
53．（1）；（2）
以为原点，以为轴，轴，轴的正方向，
建立空间直角坐标系．
(1)依题意，得.
(2)依题意，得．
∴，
∴.
54．（1）；（2）.
（1）过作于，
则，，
所以的坐标为，
又因为，所以．
（2）依题设有点坐标为，所以，，
则与的夹角的余弦值为．
55．（1）；（2）.
解：（1），点在直线上，
设，
，
，
，
，，.
（2），
，
，，
，
所以以为邻边得平行四边形的面积为.
56．（1）；（2）；（3），．
【详解】
（1）因为，，
所以.
（2）∵，，
∴，
∴与夹角的余弦值为，
（3）取轴上的单位向量，，
依题意，
即，
故，
解得，．