陕西省部分学校2024届高三上学期8月入学考试数学（文）试卷(含答案)

这是一份陕西省部分学校2024届高三上学期8月入学考试数学（文）试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．设,则( )
A.1B.C.2D.
3．若,则( )
A.B.C.D.
4．函数的图象在点处的切线方程为( )
A.B.C.D.
5．已知抛物线的顶点为O,经过点,且F为抛物线C的焦点,若,则( )
A.B.1C.D.2
6．某公司统计了2023年1月至6月的月销售额（单位：万元）,并与2022年比较,得到同比增长率数据,绘制了如图所示的统计图,则下列说法正确的是( )
注：同比增长率＝（今年月销售额－去年同期月销售额）÷去年同期月销售额
A.2023年1月至6月的月销售额的极差为
B.2023年1月至6月的月销售额逐月递增
C.2023年1月至6月的月销售额的中位数为9.5
D.2022年5月的月销售额为8万元
7．设函数在区间上单调递增,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．一个封闭的圆锥形容器内装水若干,如图①所示,锥体内的水面高度为,将锥顶倒置,如图②所示,水面高度为,已知该封闭的圆雉形容器的高为,且,忽略容器的厚度,则( )
A.B.C.D.
9．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,既经济又环保.明代科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2,将筒车抽象为一个半径为10的圆O,设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒,以筒车的中心O为原点,线段,所在的直线分别为,轴建立如图所示的直角坐标系（A,B为圆O上的点）,分别用,表示t秒后A,B两点的纵坐标,则的最大值为( )
A.50B.75C.D.100
10．在三棱锥中,是边长为3的等边三角形,侧棱平面,且,则三棱锥的外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
11．已知函数的定义域为R,,,则下列说法不正确的是( )
A.B.
C.是奇函数D.是偶函数
12．已知,分别为双曲线的左、右焦点,过原点O的直线l与E交于A,B两点（点A在第一象限）,延长交E于点C,若,,则双曲线E的离心率为( )
A.B.2C.D.1
二、填空题
13．已知向量,,若,则____________.
14．若x,y满足约束条件则的最大值为____________.
15．甲、乙两位同学从A,B,C三种课外读物中各自选读两种,则两人所选的课外读物不全相同的概率为____________.
16．在锐角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,则a的取值范围是________.
三、解答题
17．某校开展了航天知识竞赛活动,竞赛分为初赛和复赛两个阶段.全校共有1000名学生参加,将他们的初赛成绩（成绩都在内）分为,,,,5组,得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值并估计全校学生初赛成绩的平均数（同组数据以这组数据的中间值作为代表）;
（2）若规定初赛成绩前的学生进入复赛,试估计进入复赛的分数线n.
18．已知为正项等比数列,记为数列的前n项和,,.
（1）求的通项公式;
（2）求.
19．如图,在正四棱台中,.
（1）证明：.
（2）若正四棱台的高为3,求点D到平面的距离.
20．已知椭圆的右顶点为,离心率为.
（1）求椭圆C的方程;
（2）不经过点M的直线l与C交于A,B两点,且直线和的斜率之积为1,证明：直线l过定点.
21．已知函数.
（1）当,求的极值;
（2）若恒成立,求a的取值范围.
22．在直角坐标系中,曲线的参数方程为（t为参数）,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线与的直角坐标方程;
（2已知直线l的极坐标方程为,直线l与曲线,分别交于A,B（异于点O）两点,若,求.
23．已知函数.
（1）当时,解不等式;
（2）若对任意的,存在,使得,求m的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：.
2．答案：B
解析：,则.
3．答案：B
解析：
4．答案：D
解析：,,,,
所求的切线方程为,即.
5．答案：C
解析：由,可得,所以,则,解得.
6．答案：C
解析：对于A,2023年1月至6月的月销售额的极差为8,故A不正确;
对于B,2023年1月的月销售额大于2月的销售额,故B不正确;
对于C,2023年1月至6月的月销售额的中位数为9.5,故C正确;
对于D,设2022年5月的月销售额为x万元,则,解得10,故D不正确.
7．答案：D
解析：函数在R上单调递增,而函数在区间上单调递增,因此,解得,所以a的取值范围是.
8．答案：B
解析：因为且图①和②内所装水的体积相等,所以根据相似可知,即.
9．答案：A
解析：由题意可知,且,解得,
所以,.
,最大值为50.
10．答案：A
解析：由底面是边长为3的等边三角形,平面,
可得此三棱雉的外接球即以为底面,为高的正三棱柱的外接球.
设正三棱柱的上、下底面的中心分别为M,N,则外接球的球心O为的中点,
外接圆的半径,,
所以球的半径,
所以三棱锥外接球的表面积.
11．答案：D
解析：令,可得,故A正确;
令,可得,令,,可得,则,故B正确;
由,可得,
令,则,令,可得,令,
则,所以是奇函数,即是奇函数,故C正确;
因为,所以不是偶函数,故D不正确.
12．答案：A
解析：结合双曲线的对称性可知,,,所以为等边三角形,
则,则.由双曲线的定义,得,所以,,
则.
13．答案：
解析：由,可得,则,解得.
14．答案：9
解析：画出可行域（图略）知,当过点时,z取得最大值,最大值为9.
15．答案：
解析：甲从A,B,C三种课外读物中各自选读两种,有,,三种情况,
乙从A,B,C三种课外读物中各自选读两种,有,,三种情况,则甲、乙两位同学从A,B,C三种课外读物中各自选读两种总共有9种情况,其中两人所选的课外读物不全相同的有6种情况,则所求的概率为.
16．答案：
解析：由,得,即,所以,
由正弦定理得,即.由题意得,解得,,解得,又,所以,所以,
则a的取值范围是.
17．答案：（1）75
（2）85
解析：（1）由,
解得.
全校学生初赛成绩的平均数估计为.
（2）由直方图可知,成绩在内的频率为,成绩在内的频率为,
则分数线n位于区间内,
故.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）设等比数列的公比为,,即,
,
所以,
解得或（舍去）,
所以数列的通项公式是.
（2）
.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：连接,,设正四棱台上、下底面的中心分别为,O,
连接,则,O分别为,的中点.
因为是正四棱台,所以平面.
又平面,则.
因为为正方形,所以.
又,所以平面.
因为平面,所以.
（2）连接,.因为正四棱台的高为3,
所以,
且侧面的斜高为,
所以.
设点D到平面的距离为h,
因为,所以,解得,
即点D到平面的距离为.
20．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由题可知,
因为,所以.
又,所以,
所以椭圆的方程为.
（2）证明：当直线l的斜率不存在时,显然不符合题意,
故设,,直线,
联立消去y整理得,
方程的判别式,
则,
因为,所以,
所以,
所以,
整理得.
若,则,则直线l过定点,与题意矛盾;
若,则,则直线l过定点.
21．答案：（1）的极大值为-3,无极小值
（2）
解析：（1）当时,,,
则,
所以在上单调递增,在上单调递减,
当时,取得极大值,,故的极大值为-3,无极小值.
（2）由,可得,则,即.
令,则,因为在上单调递增,所以,则.
令,则,则在上单调递增,在上单调递减,
即,
所以,则a的取值范围为.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为曲线的参数方程为（t为参数）,
所以,所以的直角坐标方程为.
又曲线的极坐标方程为,所以,即,
所以的直角坐标方程为.
（2）的极坐标方程为,即,
把代入,的极坐标方程得,
由题可知,解得,
因为,所以.
23．答案：（1）或
（2）
解析：（1）当时,.
当时,,所以;
当时,,无解;
当时,,所以.
综上,原不等式的解集为或.
（2）由,得,
,则,
,
所以,解得或.
故m的取值范围为.