湖南省湘西州凤凰县2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份湖南省湘西州凤凰县2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.的倒数是( )
A. B. C. D.
2.下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.年前三季度全国强城市排名已经揭晓，长沙约为亿名列第十五，同比增速为，数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们青少年要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为，，，，，，有关这一组数，下列说法错误的是( )
A. 中位数为
B. 从，，，，，中随机抽取一个数，取得奇数的可能性比较大
C. 众数是
D. 平均数为
6.如图，已知直线，平分，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
7.一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
8.孙子算经是唐初作为“算学”教科书的著名的算经十书之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料，下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”便是其中一题．下卷中还有一题，记载为：“今有甲乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”意思是：“甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱文．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱文．问甲、乙二人原来各有多少钱？”设甲原有钱文，乙原有钱文，可得方程组( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点；以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点若此时射线恰好经过点，则的大小是( )
A. B. C. D.
10.已知二次函数的图象如图所示，在下列个结论：；；；；的实数其中正确结论个数有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.写出一个小于的正无理数是______．
12.已知点关于轴对称的点位于第______象限．
13.函数的自变量的取值范围是______．
14.因式分解： ______．
15.中国书画扇面是中国传统文化艺术的重要表现形式，同时也具有极高审美的艺术价值如图，一件扇形艺术品完全打开后，测得，，，则由线段，弧，线段，弧围成扇面的面积是______结果保留．
16.如图，过原点的直线与双曲线交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，若，则的值是______．
17.周礼考工记中记载有：“半矩谓之宣，一宣有半谓之欘”意思是：“直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘”即：宣矩，欘宣其中，矩．
问题：图为中国古代一种强弩图，图为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则 ______度
18.如图是某激光黑白纸张打印机的机身，其侧面示意图如图，，出纸盘下方为一段以为圆心的圆弧，与上部面板线段相接于点，与相切于点测得，进纸盘可以随调节扣向右平移，，当向右移动至时，点，，在同一直线上，则的长度为 若点到的距离为，，连接，线段恰好过的中点若，则点到直线的距离为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.计算：．
四、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
先化简，再求值：，其中．
21.本小题分
“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有名学生参加决赛，根据测试成绩成绩都不低于分绘制出如图所示的部分频数分布直方图．
请根据图中信息完成下列各题．
将频数分布直方图补充完整人数；
若测试成绩不低于分为优秀，则本次测试的优秀率是多少；
现将从包括小明和小强在内的名成绩优异的同学中随机选取两名参加市级比赛，求小明与小强同时被选中的概率．
22.本小题分
图是一台手机支架，图是其侧面示意图，，可分别绕点，转动，测得，，，．
在图中，过点作，垂足为填空： ；
求点到的距离结果保留小数点后一位，参考数据：，，，
23.本小题分
如图，在▱中，，交于点，点，在上，．
求证：四边形是平行四边形；
若，求证：四边形是菱形．
24.本小题分
如图，以的边为直径作圆，交于，在弧上，连接、、，若．
求证：为切线；
求证：；
若点是弧的中点，与交于点，当，时，求的长．
25.本小题分
根据以下素材探索完成任务．
26.本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其顶点为点，连接．

求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点的坐标；
在抛物线的对称轴上取一点，点为抛物线上一动点，使得以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，求点的坐标；
在的条件下，将点向下平移个单位得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．
答案和解析
1.
解析：解：的倒数是；
故选：．
根据乘积是的两数互为倒数解答即可．
本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．
2.
解析：解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.
解析：解：，
故选：．
将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
4.
解析：解：，故该选项不符合题意；
B.，故该选项不符合题意；
C.，故该选项符合题意；
D.，故该选项不符合题意；
故选：．
根据完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则，逐项分析判断即可求解．
本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则，熟练掌握以上运算法则以及乘法公式是解题的关键．
5.
解析：解：、，，，，，这一组数从小到大排列为：，，，，，，
中位数为，原说法错误，符合题意；
B、，，，，，中随机抽取一个数，取得奇数的可能性为，取得偶数的概率为，
取得奇数的可能性比较大，正确，不符合题意；
C、，，，，，这一组数中最多，
众数是，正确，不符合题意；
D、，，，，，这一组数的平均数是，正确，不符合题意．
故选：．
根据中位数，众数及概率公式解答即可．
本题考查的是可能性的大小，中位数及众数，熟记概率公式是解题的关键．
6.
解析：解：，
，
平分，
，
，
．
故选：．
由平角的定义可得，由角平分线的定义可得，再利用两直线平行，内错角相等即可求解．
本题主要考查平角的定义、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质是解题关键．
7.
解析：解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8.
解析：解：设甲原有文钱，乙原有文钱，
根据题意，得：，
故选：．
设甲原有文钱，乙原有文钱，根据题意可得，甲的钱乙的钱的一半文钱，乙的钱甲所有钱的文钱，据此列方程组可得．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
9.
解析：解：在中，，
，
根据作图过程可知：
是的垂直平分线，是的平分线，
是的垂直平分线，
，
，
是的平分线，
，
，
，
．
故选：．
根据三角形内角和定理可得，根据作图过程可得是的垂直平分线，是的平分线，可得，进而可得结果．
本题考查了作图复杂作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
10.
解析：解：开口向下，；
对称轴在轴的右侧，、异号，则；
抛物线与轴的交点在轴的上方，，
，
所以正确，符合题意；
当时图象在轴下方，则，
即，
所以不正确，不符合题意；
对称轴为直线，则时图象在轴上方，
则，
所以正确，符合题意；
，则，而，
则，，
所以正确，符合题意；
开口向下，当，有最大值；
当时，，
则，
即，
所以错误，不符合题意．
故正确，
故选：．
根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点判定系数符号，及运用一些特殊点解答问题．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定．
11.
解析：解：一个小于的正无理数是答案不唯一
故答案为：．
根据，以及无理数的特征，一个小于的正无理数是．
此题主要考查了实数大小比较的方法，以及无理数的特征和应用，解答此题的关键是要明确：无限不循环小数叫做无理数．
12.一
解析：解：点关于轴对称的点的坐标为，
关于轴对称的点位于第一象限．
故答案为：一．
根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出点关于轴对称的点的坐标，再根据各象限内点的坐标特征解答．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
13.且
解析：解：依题意，，，
解得：且，
故答案为：且．
根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为的条件列不等式组求解即可．
本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为是解题的关键．
14.
解析：解：
．
故答案为：．
先提取公因式，再运用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
15.
解析：解：，，
，
，
由线段，弧，线段，弧围成扇面的面积是，
故答案为：．
由扇形面积公式计算即可．
本题考查扇形的面积，关键是掌握扇形面积的公式．
16.
解析：解：设，
直线与双曲线交于，两点，
，
，，
，
，，则．
又由于反比例函数位于一三象限，，故．
故答案为：．
由题意得：，又，则的值即可求出．
本题主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点．
17.
解析：解：宣矩，欘宣，矩，矩，欘，
，，
，
故答案为：．
根据题意可知：，，然后根据三角形内角和即可求得的度数．
本题考查勾股定理的应用、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
18.

解析：解：如图，过点作，垂足为，交于点，
由题意得，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
故答案为：；
如图，过点作平行线交于点，交过点作的平行线与点，连接，，的延长线交于点，
在中，，，
，
，
由可得：，
，
，
设，，则，，
线段恰好过的中点，
是的垂直平分线，
，
在，中由勾股定理可得，
，
即，
解得取正值，
即：，
，
故答案为：．
根据题意构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例，求出，进而求出的值；
利用垂径定理可得是的垂直平分线，得到，在中利用锐角三角函数可求出，进而求出的长，通过作平行线构造直角三角形和矩形，
设，，表示出，，在，中由勾股定理列方程求出的值即可．
本题考查勾股定理、垂径定理，相似三角形的判定和性质、解直角三角形等．
19.解：原式

．
解析：化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，然后先算乘法，再算加减．
本题考查实数的混合运算，理解，，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
20.解：原式

，
当时，原式．
解析：先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着约分得到原式，然后把代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
21.解：到分的人数为人，
补全频数分布直方图如下：
本次测试的优秀率是；
设小明和小强分别为、，另外两名学生为：、，
则所有的可能性为：、、、、、，
所以小明和小强同时被选中的概率为．
解析：本题考查了频数分布表、频数分布直方图，也考查了列表法和画树状图求概率．
根据各组频数之和等于总数可得分的人数，据此即可补全直方图；
用成绩大于或等于分的人数除以总人数可得；
列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
22.
解析：解：如图：
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
过点作，垂足为，过点作，垂足为，
则，，
，
，
在中，，，
，
在中，，
，
，
点到的距离约为．
根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用角的和差关系进行计算即可解答；
过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.证明：在▱中，，，
．
，
四边形是平行四边形；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
平行四边形为菱形，
，
平行四边形是菱形．
解析：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
根据平行四边形的性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，进而可以证明四边形是菱形．
本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24.证明：如图，

为的直径，
，
，
，，
，
，
，
是的半径，
为切线；
证明：如图，

，，
∽，
，
；
解：如图，连接交于点，连接，

，，，
，
，
，
点是弧的中点，
，，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，即，
．
解析：由圆周角定理得出，得出，由，，得出，得出，即可证明为切线；
证明∽，得出，即可得出；
连接交于点，连接，由，，，求出，，由垂径定理的推论得出，，由中位线定理得出，由勾股定理得出，进而求出，证明∽，利用相似三角形的性质即可求出的长．
本题考查了圆的综合应用，掌握圆周角定理，切线的判定方法，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理是解决问题关键．
25.解：由题意得，，
，
；
当元，
若单件寄送，则需寄费元，
若分两件寄送，则需寄费元，
若分三件寄送，则需寄费元，
，
寄送杨梅的最省费用为元；
设有杨梅需要寄送，设的余数为，
当时，，
当时，，
当时，采用超过的寄送方式最省钱，当，采用分两件不超过的寄送方式省钱，
设小聪购买的杨梅一共分件不超过的寄送方式，
由题意得，，
解得，
又时正整数，
最大值为，
还剩下元，
的余数小于，
最省钱的寄送方式应该是件不超过的寄送，一件超过的寄送，
件不超过的寄送的寄费为元，，，，，
一件超过的寄送的杨梅数量是，
小聪最多可以购买杨梅，寄送方式为件，件．
解析：根据寄送千克花费元列出方程求出的值，进而求出关于的函数关系式即可；
分若单件寄送，若分两件寄送，若分三件寄送，三种情况分别计算出寄费即可得到答案；
设有杨梅需要寄送，设的余数为，推出当时，采用超过的寄送方式最省钱，当，采用分两件不超过的寄送方式省钱；设小聪购买的杨梅一共分件不超过的寄送方式，则，求出最大值为，进而推出最省钱的寄送方式应该是件不超过的寄送，一件超过的寄送，计算出件不超过的寄送方式的总花费为元，寄送的总花费为元，寄送的总花费为元，由于，，则一件超过的寄送的杨梅数量是，即可得到小聪最多可以购买杨梅，寄送方式为件，件．
本题主要考查了列函数关系式，一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
26.解：抛物线经过、，，
，
解得，
抛物线的解析式为，
，
顶点的坐标为；
设直线的解析式为，
把，代入，
得，
，
直线的解析式为，
过点作于点，
以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形，
，，
，
，
≌，
，
设，则，
，
或，
当时，，
，
当时，，

综上所述，满足条件点的坐标为或；
由题意，，，关于对称轴直线对称，连接交对称轴于点，连接，，过点作于点，交对称轴于点，连接则，，，

在中，，则在中，，
，
，
为最小值，
，
，
的最小值为．
的最小值为．
解析：利用待定系数法，把问题转化为解方程组即可；
过点作于点，证明≌，推出，设，则，可得，推出或，即可解决问题；
由题意，，，关于对称轴直线对称，连接交对称轴于点，连接，，过点作于点，交对称轴于点，连接则，，，证明，由，推出为最小值，即可求出最后结果．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．杨梅季将至，梅企与某快递公司合作寄送杨梅．
素材
某快递公司规定：从当地寄送杨梅到市按重量收费：当杨梅重量不超过千克时，需要寄送费元；当重量超过千克时，超过部分另收元千克．
寄送杨梅重量均为整数千克．
素材
电子存单
托寄物：杨梅包装服务产品类型：某快递公司
计量重量：千克
件数：总费用：元
电子存单
托寄物：杨梅包装服务产品类型：某快递公司
计量重量：千克
件数：总费用：元
电子存单
托寄物：杨梅包装服务产品类型：某快递公司
计量重量：千克
件数：总费用：元
问题解决
任务
分析变量关系
根据以上信息，请确定的值，并求出杨梅重量超过千克时寄送费用元关于杨梅重量千克之间的函数关系式．
任务
计算最省费用
若杨梅重量达到千克，请求出最省的寄送费用．
任务
探索最大重量
小聪想在当地梅企购买一批价格为元千克的杨梅并全部寄送给在市的朋友们，若小聪能用来支配的钱有元，他最多可以购买多少千克的杨梅？并写出一种寄送方式．