内蒙古呼伦贝尔市牙克石市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份内蒙古呼伦贝尔市牙克石市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了本试卷共6页，满分120分， 下列计算正确的是， 下列说法错误的是， 的三边长a，b，c满足，则是， 如图，已知△ABC．等内容，欢迎下载使用。

温馨提示：
1.本试卷共6页，满分120分。考试时间120分钟．
2.答卷前务必将自己的学校、班级、姓名、考场与考号填写在答题卡相应位置上；选择题答案选出后，请用0.5毫米的黑色字迹签字笔直接答在对应的位置上；非选择题请用0.5毫米的黑色字迹签字笔直接答在答题卡上．在试卷上作答无效．
一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共计36分）
1. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. πC. D. 0
【答案】B
解析：解：A．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．π是无限不循环小数是无理数，故本选项符合题意；
C．是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：B．
2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
解析：解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：A、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
4. 如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征可知，这个几何体是三棱柱．
故选C．
5. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
解析：
如图所示，过顶点作直线l支撑平台，直线l将分成两个角即、
∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l支撑平台
∴直线l支撑平台工作篮底部
∴、
∵
∴
∴
故选D．
6. 下列说法错误的是（ ）
A. 成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件
B. 一元二次方程没有实数根
C. 任意多边形的外角和等于
D. 三角形三条高线一定交于三角形内部一点
【答案】D
解析：解：A、成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件，原说法正确，不符合题意；
B、，则一元二次方程没有实数根，原说法正确，不符合题意；
C、任意多边形的外角和等于，原说法正确，不符合题意；
D、三角形三条高线不一定交于三角形内部一点，例如直角三角形三条高交于直角顶点，原说法错误，符合题意；
故选：D．
7. 的三边长a，b，c满足，则是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】D
解析：解∵
又∵
∴，
∴
解得 ，
∴，且，
∴为等腰直角三角形，
故选：D．
8. 已知点，在直线上，且，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：对于直线来说，
∵，
∴随的增大而减小．
∵，
∴．
故选：A
9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形点与点重合，则点的坐标是( )

A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：如图所示，延长交轴于点，

∵四边形是菱形，点在轴的正半轴上，平分，，
∴，
∵将菱形绕原点逆时针方向旋转，
∴，则，
∴
∴，
在中，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
10. 如图，已知△ABC．
（1）以点A圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N．
（2）分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P．
（3）作射线AP交BC于点D．
（4）分别以A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
（5）作直线GH，交AC，AB分别于点E，F．
依据以上作图，若AF＝2，CE＝3，BD＝，则CD的长是（ ）
A. B. 1C. D. 4
【答案】C
解析：由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，
∴∠EAD＝∠FAD，EA＝ED，FA＝FD.
∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴∠FAD＝∠EDA，
∴DE∥AF，
同理可得AE∥DF，
∴四边形AEDF为平行四边形，
而EA＝ED，
∴四边形AEDF为菱形，
∴AE＝AF＝2.
∵DE∥AB，
∴，即，
∴.
故选：C．
11. 抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
则下列说法错误的是（ ）
A. 抛物线的对称轴为直线x＝1
B. 当x＞1时，y随x的增大而减小
C. 当x＝4时，y＝－21.5
D. 方程的负数解满足
【答案】A
解析：解：A、∵抛物线经过点（﹣1，﹣1.5）和（2，﹣1.5），
∴抛物线的对称轴为直线x＝，所以选项的说法错误，符合题意；
B、由表中数据得x＞1时，y随x的增大而减小，所以选项的说法正确，不符合题意；
C、∵抛物线的对称轴为直线x＝，
∴当x＝4和x＝﹣3对应的函数值相等，
即当x＝4时，y＝﹣21.5，所以选项的说法正确，不符合题意；
D、∵抛物线的对称轴为直线x＝，
∴当x＝1和x＝0对应的函数值相等，
即当x＝0时，y＝2.5，
∴抛物线与x的一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴方程ax2+bx+c＝0的负数解x1满足﹣1＜x1＜0，所以选项的说法正确，不符合题意．
故选：A．
12. 如图1，在矩形中，动点从点出发沿方向运动到点停止，动点从点出发沿方向运动到点停止，若点同时出发，点的速度为，点的速度为，设运动时间为与的函数关系图像如图2所示，则的长为（ ）

A. 8B. 9C. 10D. 14
【答案】C
解析：解：根据题意，结合函数图像可知：
当时，点在上运动，当时，点运动到点，则；
当时，点在上运动，当时，点运动到点，则；
在矩形中，，由勾股定理可知，
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
13. 我国的北斗卫星导航系统星座已部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为________．
【答案】
解析：解： ，
故答案为：．
14. 因式分解：______．
【答案】
解析：解：
．
故答案为：
15. 一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是_________________．
【答案】
解析：解：由图可知：黑色方砖有8个小三角形，每4个三角形是大正方形面积的
∴黑色方砖在整个地板中所占的比值，
∴小球最终停留在黑色区域的概率，
故答案为：．
16. 如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了________cm．

【答案】
解析：解：重物上升高度为：，
故答案为：．
17. 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴正半轴上， ，将向右平移到位置，反比例函数的图象经过点A，交边于点F，若，，则k的值是______．
【答案】18
解析：解：如图，过点F作轴于点P，
由平移的性质得：，；
设，则，，
点A的坐标为，点C的坐标为，
点A在双曲线上，则有；
∵轴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，即点F的坐标为
∵点F在双曲线上，
∴，
即，
解得：，
∴；
故答案为：18．
三、解答题（每题6分，共计24分）
18. 计算：．
【答案】
解析：解：
．
19. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
解析：解：
；
把，代入得：
原式
20. 把算珠放在计数器的3根插棒上可以构成一个数，例如：如图摆放的算珠表示数210．
（1）若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，则构成的数是三位数的概率是______；
（2）现将两颗算珠任意摆放在这3根插棒上，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求构成的数是三位数的概率。
【答案】（1）
（2）
【小问1解析】
解：若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，则构成的数是三位数的概率是，
故答案为：；
【小问2解析】
解：画树状图如下：
共有9个等可能的结果，构成的数是三位数的结果有5个，
∴构成的数是三位数的概率为．
21. 如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为x，四边形的面积为y．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8．
【小问1解析】
解：∵在正方形纸片上剪去4个全等的直角三角形，
在中，，，，
∴
；
【小问2解析】
解：正方形的面积为：，
∴当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8．
四、（本题7分）
22. 如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．

（1）问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？
（2）已知摄像头点D到桌面l的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：）
【答案】（1）
（2）
【小问1解析】
过点D作于点E，过点作，垂足为，过点作的垂线，垂足为、，

∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴悬臂端点C到桌面l的距离约为；
【小问2解析】
∵摄像头点D到桌面l的距离为，
∴，
同理可得四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
五、（本题7分）
23. 为了推动阳光体育运动的开展，引导学生走向操场，走进大自然走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批轮滑鞋供学生使用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了下表
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为____________，图中的值为____________，请补全形统计图．
（2）求本次调查样本中数据的众数和中位数；
（3）若学校计划购买200双轮滑鞋，建议购买35号轮滑鞋多少双?
【答案】（1）40；15；补充图形见解析；（2）众数：35；中位数：36；（3）60双
解析：解：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为（人），
“37号”的人数为（人），
“34号”的占比为，
∴扇形统计图中m的值为15；
∴补充条形统计图如图所示：
故答案为：40，15；
（2）∵这组样本数据中，35出现了12次，出现次数最多，
∴这组样本数据的众数为35；
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，如下：
34 34 34 34 34 34 35 35 35 35
35 35 35 35 35 35 35 35 36 36
36 36 36 36 36 36 36 36 37 37
37 37 37 37 37 37 38 38 38 38
其中处于中间的两个数都为36，
∴中位数为；
（3）∵在40名学生中，鞋号为35的学生人数比例为30%，
∴（双），
∴由样本数据，估计学校各年级中学生鞋号为35的人数比例约为30%，
∴计划购买200双运动鞋，建议购买60双为35号．
六、（本题8分）
24. 如图所示，是的直径，切于点，且，交于点，的延长线交于点，的延长线交于点，连接、．求证：
（1）；
（2）求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【小问1解析】
解：证明：、同对劣弧，
，
，
，
，
．
【小问2解析】
切于点，是的直径，
．
是的直径，
，
，，
，．
，
，
，，
．
，
又，
，
于是有．
，
设，则，
由得，即，
解得：（舍）或，
故的长为．
七、（本题10分）
25. 为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息—
信息二
甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
（1）求x的值；
（2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用?
【答案】（1）x的值为600
（2）该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元
【小问1解析】
解：由题意列方程，得．
方程两边乘，得．
解得．
检验：当时，．
所以，原分式方程的解为．
答：x的值为600．
【小问2解析】
解：设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元．
则．
，
．
1400>0，
随的增大而增大．
当时，取得最小值，最小值为56800．
答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元．
八、（本题13分）
26. 【问题发现】
（1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：．
【类比探究】（2）如图2，在矩形中，E为对角线上动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两垂线交于点F，，连接，求的值．
．【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将点E改为射线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，．若，则当时，请求出的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）的长为或．
解析：（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴点C，点E，点B，点F四点共圆，
∴，
∴，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当E在上时，
由（2）知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵M为的中点，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或（不合题意，舍去），
当E在延长线上时，设，则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（不合题意，舍去）或，
综上所述，的长为或．
x
…
－3
－2
－1
1
2
3
…
y
…
－21.5
－9.5
－1.5
2.5
－15
－9.5
…
工程队
每天施工面积（单位：）
每天施工费用（单位：元）
甲
3600
乙
x
2200