富顺第三中学校2024届九年级下学期中考适应性检测数学试卷(含解析)

这是一份富顺第三中学校2024届九年级下学期中考适应性检测数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题只有唯一正确答案，每小题 4 分，共 48 分）
1．下列新能汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各数：，，0，，其中比小的数是（ ）
A．B．C．0D．
3．2021年5月15日07时18分，我国首个火星探测器“天问一号”经过470000000公里旅程成功着陆在火星上，从此，火星上留下中国的脚印，同时也为我国的宇宙探测之路迈出重要一步．将470000000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．2a+a＝3a2B．a3•a2＝a6C．a5﹣a3＝a2D．a3÷a2＝a
5．如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
6．某校九年级8个班的同学积极参与“一木一环保”捐书活动，以班为单位自愿捐赠废旧书本，经统计，每个班捐赠的书本质量（单位：kg）如下：26，30，28，28，30，32，34，30，则这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A．30，30B．29，28C．28，30D．30，28
7．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（ ）
A．32°B．58°
C．68°D．60°
8．从、、这三个数中任取两数，分别记为、，那么点在函数图象上的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在边长为2的正方形中，是以为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．1D．
11．如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（ ）
A．（-3，0）B．（-2，0）C．（-4，0）或（-2，0）D．（-4，0）
12．（2017•鄂州）如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E为CD上一点，且∠BAE=45°．若CD=4，则△ABE的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
13．因式分解： ．
14．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 ．
15．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是 （只写一个）．
16．点、、在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点到线段所在直线的距离是 .
17．如图，AB是⊙O的弦，AB＝5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是 ．
18．如图所示，点，，在轴上，且，分别过点，，作轴的平行线，与反比例函数的图象分别交于点，，，分别过点，，作轴的平行线，分别于轴交于点，，，连接，，，那么图中阴影部分的面积之和为 ．

三．解答题（本大题共 8 小题，共 78 分，其中 19、20、21、22 题 8 分，23、24 题 10 分，25 题 12 分，26 题14 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．计算：．
20．如图，点 A、D、C、B 在同一条直线上，，，求证：
(1)；
(2)四边形是平行四边形．
21．某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）九（1）班的学生人数为 ，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中m= ，n= ，表示“足球”的扇形的圆心角是 度；
（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．
22．先化简，再求值：，其中为，，，等几个数字中合适的数．
23．如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C
（1）求证：AE与⊙O相切于点A；
（2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的长．
24．如图，已知反比例函数的图象经过点（，8），直线y=﹣x+b经过该反比例函数图象上的点Q（4，m）．
（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；
（2）设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连接OP、OQ，求△OPQ的面积．
25．问题背景
如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAFα，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系．
（1）特殊情景
在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为______．
（2）类比猜想
类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．
（3）解决问题
如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD，请直接写出DE的长．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值．
参考答案与解析
1．A
解析：A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
2．A
解析：解：∵∣﹣4∣=4，4＞3＞2.8，
∴﹣4＜﹣3＜﹣2.8＜0＜∣﹣4∣，
∴比﹣3小的数为﹣4，
故选：A．
3．C
解析：科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法，
则，
故选：C．
4．D
解析：解：A、2a+a＝3a，故A不符合题意；
B、a3•a2＝a5，故B不符合题意；
C、a5与a3不能合并，故C不符合题意；
D、a3÷a2＝a，故D符合题意；
故选：D．
5．C
解析：解：从上面看简单组合体可得两行小正方形，第二行四个小正方形，第一行一个小正方形右侧对齐．
故选C．
6．A
解析：解：根据题意，
这组数据按从小到大排列为：26，28，28，30，30，30，32，34；
∴这组数据的中位数是第5个数和第6个数的平均数为30；出现最多的数是30，则众数是30；
故选：A
7．B
解析：根据题意可知∠1+∠2=90°，
所以∠2=90°-∠1=58°．
故选B
8．C
本题考查反比例函数与概率的结合，解题关键是掌握反比例函数的性质，掌握画树状图求概率的方法．
解析：解：画树状图如下，
，，
共有种等可能的结果，点在反比例函图象上的有种情况，
点在反比例函数图象上的概率为，
故选：C．
9．C
解析：解：二次函数的图象开口方向向下，
，
对称轴在轴的右边，
、异号，即．
反比例函数的图象位于第二、四象限，
正比例函数的图象位于第一、三象限．
观察选项，C选项符合题意．
故选：C．
10．D
解析：解：取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，
∴BC=AB=2，∠ABC=∠BCD=90°，
∵是以为直径的半圆的切线，
∴OB=OC=OF=1，∠OFA=∠OFE=90°，
∴AB=AF=2，CE=CF，
∵OA=OA，
∴Rt△ABO≌Rt△AFO（HL），
同理可证△OCE≌△OFE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选D．
11．A
解析：连接AQ，AP．
根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；
要使PQ最小，只需AP最小，
则根据垂线段最短，则作AP⊥x轴于P，即为所求作的点P；
此时P点的坐标是（-3，0）．
故选A．
12．D
解析：解：如图取CD的中点F，连接BF延长BF交AD的延长线于G，作FH⊥AB于H，EK⊥AB于K．作BT⊥AD于T．∵BC∥AG，∴∠BCF=∠FDG，∵∠BFC=∠DFG，FC=DF，∴△BCF≌△GDF，∴BC=DG，BF=FG，∵AB=BC+AD，AG=AD+DG=AD+BC，∴AB=AG，∵BF=FG，∴BF⊥BG，∠ABF=∠G=∠CBF，∵FH⊥BA，FC⊥BC，∴FH=FC，易证△FBC≌△FBH，△FAH≌△FAD，∴BC=BH，AD=AB，由题意AD=DC=4，设BC=TD=BH=x，在Rt△ABT中，∵AB2=BT2+AT2，∴（x+4）2=42+（4﹣x）2，∴x=1，∴BC=BH=TD=1，AB=5，设AK=EK=y，DE=z，∵AE2=AK2+EK2=AD2+DE2，BE2=BK2+KE2=BC2+EC2，∴42+z2=y2①，（5﹣y）2+y2=12+（4﹣z）2②，由①②可得y=，∴S△ABE=×5×=，故选D．
13．
解析：解：原式，
故答案为：．
14．且
解析：解：根据题意得且，
解得且．
故答案为∶ 且．
15．6
解析：∵关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4×2×3＞0，
解得：b＜﹣2或b＞2，
故答案可以为：6．
16．；
解析：试题分析：连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，∵S△ABC=3×3﹣×2×1﹣×2×1﹣×3×3﹣1=9﹣1﹣1﹣﹣1=，AB==，∴×h=，∴h=．故答案为．
17．
解析：解：∵点M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN＝BC，
∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，
连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，如图，
∵BC′是⊙O的直径，
∴∠BAC′＝90°．
∵∠ACB＝45°，
∴∠AC′B＝45°，
∴BC′＝
∴BC的最大值是5
∴MN最大＝ ．
故答案为：．
18．．
解析：解：根据题意可知

∵轴
∴
设图中阴影部分的面积从左向右依次为
则，
∴
同理
∴图中阴影部分的面积分别是
∴图中阴影部分的面积之和=．
故答案为：．
19．0
解析：解：
=
=
=0
20．(1)见解析
(2)见解析
解析：（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
（2）∵，
∴，
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形．
21．（1）40，补全统计图见详解.（2）10；20；72.（3）见详解.
解析：解： (1)九(1)班的学生人数为：12÷30%=40(人)，
喜欢足球的人数为：40−4−12−16=40−32=8(人)，
补全统计图如图所示；
(2)∵×100%=10%，
×100%=20%，
∴m=10，n=20，
表示“足球”的扇形的圆心角是20%×360°=72°；
故答案为(1)40;(2)10；20；72；
(3)根据题意画出树状图如下：
一共有12种情况，恰好是1男1女的情况有6种，
∴P(恰好是1男1女)==.
22．，当时，原式．
解析：解：
，
，
，
，
当，或时，原分式无意义，
，
当时，原式．
23．（1）证明见解析；（2）AD=2．
解析：（1）如图，连接OA，交BC于F，
则OA=OB，
∴∠D=∠DAO，
∵∠D=∠C，
∴∠C=∠DAO，
∵∠BAE=∠C，
∴∠BAE=∠DAO，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
即∠DAO+∠BAO=90°，
∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°，
∴AE⊥OA，
∴AE与⊙O相切于点A；
（2）∵AE∥BC，AE⊥OA，
∴OA⊥BC，
∴，FB=BC，
∴AB=AC，
∵BC=2，AC=2，
∴BF=，AB=2，
在Rt△ABF中，AF==1，
在Rt△OFB中，OB2=BF2+（OB﹣AF）2，
∴OB=4，
∴BD=8，
∴在Rt△ABD中，AD=．
24．（1）反比例函数的解析式为y=；直线的函数表达式为y=﹣x+5；（2）
解析：解：（1）把点（，8）代入反比例函数，得k=•8=4，
∴反比例函数的解析式为y=；
又∵点Q（4，m）在该反比例函数图象上，
∴4•m=4，
解得m=1，即Q点的坐标为（4，1），
而直线y=﹣x+b经过点Q（4，1），
∴1=﹣4+b，
解得b=5，
∴直线的函数表达式为y=﹣x+5；
（2）联立，
解得或，
∴P点坐标为（1，4），
对于y=﹣x+5，令y=0，得x=5，
∴A点坐标为（0，5），
∴S△OPQ=S△AOB﹣S△OBP﹣S△OAQ
=•5•5﹣•5•1﹣•5•1
=．
25．（1）BE+DF＝EF；（2）成立；（3）DE
解析：解：（1）BE+DF＝EF，
如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，
∵∠ADC＝∠B＝∠ADG＝90°，
∴∠FDG＝180°，即点F，D，G共线．
由旋转可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．
∵∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣∠BAD=90°-45°＝45°，
∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠FAG=45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG．
又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴BE+DF＝EF，
故答案为BE+DF＝EF．
（2）成立．
如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，
可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH．
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADH+∠ADC＝180°，
∴点C，D，H在同一直线上．
∵∠BAD＝α，∠EAFα，
∴∠BAE+∠FADα，
∴∠DAH+∠FADα，
∴∠FAH＝∠EAF，
又∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AHF（SAS），
∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；
（3）DE，
如图3，将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′．
可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，
在Rt△ABC中，∵AB＝AC＝4，∠BAC=90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝4，
∴CD=BC=BD=3，
∴∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，
∴E′B2+BD2＝E′D2．
易证△AE′D≌△AED，
∴DE＝DE′，
∴DE2＝BD2+EC2，即DE2，
解得．
26．（1）；（2）存在点P，点P坐标为（2＋，1＋）或（2−，1−）或（2，−3）；（3）＋
解析：（1）由题意，令，即
∴A的坐标为（4,0）
令，即
∴B的坐标为（0，-2）
将A、B、C三点坐标代入抛物线，得
解得
∴抛物线解析式为：；
（2）如图1，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线于点P，

∵OP∥AB，
∴△ABP和△ABO是等底等高的两个三角形，
∴S△PAB＝S△ABO，
∵OP∥AB，
∴直线PO的解析式为y＝x，
联立方程组可得，
解得：或，
∴点P（2＋，1＋）或（2−，1−）；
当点P"在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP"∥AB，交抛物线于点P"，连接AP"，BP"，
∴AB∥EP"∥OP，OB＝BE，
∴S△AP"B＝S△ABO，
∵EP"∥AB，且过点E（0，−4），
∴直线EP"解析式为y＝x−4，
联立方程组可得，
解得，
∴点P"（2，−3），
综上所述：点P坐标为（2＋，1＋）或（2−，1−）或（2，−3）；
（3）如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，

设点M（m，），则点F（m，m−2），
∴MF＝m−2−（）＝−（m−2）2＋2，
∴△MAB的面积＝×4×[−（m−2）2＋2]＝−（m−2）2＋4，
∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值，
∴点M（2，−3），
如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，

∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，
∴KN＝ON，
∴MN＋ON＝MN＋KN，
∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN＋ON有最小值，即最小值为MP，
∵∠KOB＝30°，
∴直线OK解析式为y＝x，
当x＝2时，点Q（2，2），
∴QM＝2＋3，
∵OB∥QM，
∴∠PQM＝∠PON＝30°，
∴PM＝QM＝＋，
∴MN＋ON的最小值为＋．