2023-2024学年浙江省宁波市江北区七年级（下）期末数学试卷 含详解

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市江北区七年级（下）期末数学试卷 含详解，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．为配合全科大阅读活动，学校团委对全校学生阅读兴趣调查的数据进行整理．欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是（ ）
A．条形统计图B．频数分布直方图
C．折线统计图D．扇形统计图
2．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1B．x＜1C．x≠1D．x≠0
3．科学家发现人体最小的细胞是淋巴细胞，直径约为0.0000061米，将数据0.0000061用科学记数法表示正确的是（ ）
A．6.1×10﹣5B．0.61×10﹣5C．6.1×10﹣6D．0.61×10﹣6
4．计算a6÷（﹣a2）的结果是（ ）
A．a3B．a4C．﹣a3D．﹣a4
5．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+4y2B．﹣x2+4y2C．x2﹣2y+1D．﹣x2﹣4y2
6．若方程组用代入法消去x，所得关于y的一元一次方程为（ ）
A．3﹣2y﹣1﹣4y＝2B．3（1﹣2y）﹣4y＝2
C．3（2y﹣1）﹣4y＝2D．3﹣2y﹣4y＝2
7．已知直线a∥b，将一块含60°角的直角三角板按如图方式放置，其中60°角的顶点在直线a上，30°角的顶点在直线b上，若∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
8．已知关于x的二次三项式x2+mx﹣n分解因式的结果为（x﹣4）•（x﹣2），则m和n的值分别是（ ）
A．m＝8，n＝2B．m＝﹣6，n＝﹣8C．m＝6，n＝8D．m＝﹣8，n＝﹣2
9．已知a是实数，若分式方程＝1无解，则a的值为（ ）
A．6B．3C．0D．﹣3
10．若A＝（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+2，则A的末位数字是（ ）
A．6B．7C．3D．5
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．计算：20＝ ．
12．将容量为100的样本分成3个组，第一组的频数是30，第二组的频率是0.4，那么第三组的频率是 ．
13．如果两数x，y满足，那么x﹣y＝ ．
14．因式分解：x2y﹣16y ．
15．A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程 ．
16．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于 ．
17．已知，x2+4x﹣4＝0，则3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1）的值为 ．
18．如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为54，大长方形的周长为42，则一张小长方形的面积为 ．
三、解答题（共46分）
19．（8分）计算：
（1）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）；
（2）先化简，再求值：，再从0，1，2三个数中选一个代入求值．
20．（8分）解方程（组）：
（1）；
（2）．
21．（6分）某中学为了了解学生每天完成家庭作业所用时间的情况，从每班抽取相同数量的学生进行调查，并将所得数据进行整理，制成条形统计图和扇形统计图如图：
（1）补全条形统计图；
（2）求扇形统计图扇形D的圆心角的度数；
（3）若该中学有2000名学生，请估计其中有多少名学生能在1.5小时内完成家庭作业？
22．（8分）已知：如图点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM，CE⊥CD．
（1）若∠O＝50°，求∠BCD的度数；
（2）求证：CE平分∠OCA．
23．（8分）学校捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节省运费，该学校打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？
24．（8分）阅读材料
若两个正数a，b，则有下面不等式，当a＝b时取等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
不等式可以变形为不等式，当且仅当a＝b时取到等号．（a，b均为正数）
例：已知x＞0，求的最小值．
解：由得，当且仅当，即x＝1时，有最小值，最小值为2．
根据上面材料回答下列问题：
（1）5+6 ；6+6 ；（用“＝”“＜”“＞”填空）
（2）当x＞0，则的最小值为 ，此时x＝ ；
（3）当x＞2，则的最小值为 ；
（4）用篱笆围一个面积为100m2的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．解：欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是扇形统计图．
故选：D．
2．解：根据题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故选：C．
3．解：0.0000061＝6.1×10﹣6，
故选：C．
4．解：a6÷（﹣a2）
＝﹣a6﹣2
＝﹣a4．
故选：D．
5．解：A．x2+4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式；
B．﹣x2+4y2是2y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式；
C．x2﹣2y+1是三项不能用平方差公式分解因式；
D．﹣x2﹣4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式．
故选：B．
6．解：，
将②代入①得，3（2y﹣1）﹣4y＝2．
故选：C．
7．解：如图：
作c∥a，
∵a∥b，
∴a∥b∥c，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣40°＝50°，
故选：C．
8．解：（x﹣4）（x﹣2）
＝x2﹣2x﹣4x+8
＝x2﹣6x+8，
∵关于x的二次三项式x2+mx﹣n分解因式的结果为（x﹣4）（x﹣2），
∴m＝﹣6，﹣n＝8，即m＝﹣6，n＝﹣8，
故选：B．
9．解：＝1，
方程两边同乘以x+2，得3x+a＝x+2，
移项及合并同类项，得
2x＝2﹣a，
∵关于x的分式方程＝1无解，
∴x+2＝0，解得x＝﹣2．
∴2﹣a＝﹣4，解得a＝6．
故选：A．
10．解：A＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+2
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+2
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）+2
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）+2
＝（216﹣1）（216+1）+2
＝232﹣1+2
＝232+1，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64…，
∴末位数字分别为2，4，8，6，每四个一循环，
∵32÷4＝8，
∴232的末位数字为6，
∴232+1 的末位数字为7，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．解：∵2≠0，
∴20＝1．
故答案为：1．
12．解：由题意得：
30÷100＝0.3，
∴1﹣0.3﹣0.4＝0.3，
∴第三组的频率是0.3，
故答案为：0.3．
13．解：，
②﹣①得：x﹣y＝2，
故答案为：2．
14．解：x2y﹣16y＝y（x2﹣16）＝y（x﹣4）（x+4）．
故答案为：y（x﹣4）（x+4）．
15．解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程：
﹣＝．
故答案为：﹣＝．
16．解：∵AD∥BC，
∴∠CBF＝∠DEF＝30°，
∵AB为折痕，
∴2∠α+∠CBF＝180°，
即2∠α+30°＝180°，
解得∠α＝75°．
故答案为：75°．
17．解：3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1）
＝3x2﹣12x+12﹣6x2+6
＝﹣3x2﹣12x+18，
∵x2+4x﹣4＝0，
∴x2+4x＝4，
∴原式＝﹣3（x2+4x）+18＝﹣3×4+18＝6．
故答案为：6．
18．解：由题意易得大长方形的长为2x+y、宽为x+2y，
∵大长方形的周长为42，
∴2x+y+x+2y＝＝21，整理得x+y＝7，
又∵阴影部分的面积为54，
∴（2x+y）（x+2y）﹣5xy＝54，整理得x2+y2＝27，
将x+y＝7两边平方，得x2+2xy+y2＝49，
∴27+2xy＝49，解得xy＝11，
即一张小长方形的面积为11．
故答案为：11．
三、解答题（共46分）
19．解：（1）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）
＝x2+4x+4﹣x2+1
＝4x+5；
（2）
＝•+
＝+
＝，
∵当a＝0或2时，原分式无意义，
∴a＝1，
当a＝1时，原式＝＝．
20．解：（1），
①+②得：4x＝8，
解得：x＝2，
将x＝2代入②得：2+2y＝6，
解得：y＝2，
故原方程组的解为；
（2）原方程去分母得：2﹣x+1＝2x﹣6，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，x﹣3＝0，
则x＝3是分式方程的增根，
故原方程无解．
21．解：（1）抽取的总人数是：10÷25%＝40（人），
在B类的人数是：40×30%＝12（人）．
；
（2）扇形统计图扇形D的圆心角的度数是：360×＝27°；
（3）能在1.5小时内完成家庭作业的人数是：2000×（25%+30%+35%）＝1800（人）．
22．解：（1）∵AB∥ON，
∴∠MCB＝∠O＝50°，
∠ACM+∠MCB＝180°，
∴∠ACM＝180°﹣50°＝130°，
∵CD平分∠ACM，
∴∠DCM＝65°，
∴∠BCD＝∠DCM+∠MCB＝65°+50°＝115°；
（2）证明：∵CE⊥CD，
∴∠ACE+∠DCA＝90°，
∵∠MCO＝180°，
∴∠ECO+∠DCM＝90°，
∵∠DCA＝∠DCM，
∴∠ACE＝∠ECO，
∴CE平分∠OCA．
23．解：（1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据题意得
，
解得．
答：需甲种车型为8辆，乙种车型为10辆．
（2）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（14﹣a﹣b）辆，由题意得
5a+8b+10（14﹣a﹣b）＝120，
化简得5a+2b＝20，
即a＝4﹣b，
∵a、b、14﹣a﹣b均为正整数，
∴b只能等于5，从而a＝2，14﹣a﹣b＝7，
∴甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，
∴需运费400×2+500×5+600×7＝7500（元）．
答：甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，需运费7500元．
24．解：（1）∵，5＞0，6＞0，
∴5+6≥，
∵5≠6，
∴5+6＞；
∵，6＞0，
∴6+6≥，
∵6＝6，
∴6+6＝；
故答案为＞，＝；
（2）∵x＞0，
由，
得≥2＝2×3＝6，
当且仅当x＝，即x＝3时，有最小值，最小值为6，
故答案为：6，3；
（3）∵x＞2，
∴x﹣2＞0，
把x﹣2看成整体，
即t＝x﹣2，
∴x＝t+2，
∴＝t+2+＝t++2≥2+2＝2×3+2＝6+2＝8，
当且仅当t＝，即t＝3时，有最小值，最小值为8，
故答案为：8；
（4）设这个长方形的长为x cm，宽为y m，
由题意得：xy＝100，
由，
得：x+y＞2＝2×＝20，
当且仅当x＝y时，即x＝10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m，
∴这个长方形的长、宽为10m时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m．
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
5
8
10
汽车运费（元/辆）
400
500
600