2024天津市五区县重点校联考高二下学期7月期末考试数学含解析

这是一份2024天津市五区县重点校联考高二下学期7月期末考试数学含解析，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设函数的图象在点处的切线方程为，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
3. 若，函数为奇函数，则是（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C D.
5. 通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图.若去掉图中右下方的点后，下列说法正确的是（ ）
A. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关
B. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变
C. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大
D. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小
6. 已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，，甲、乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往A，B，C，D四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去B小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（ ）
A. 72B. 78C. 68D. 80
8. 已知为上偶函数，且对时，都有成立，若则（ ）
A. B. C. D.
9. 已知函数，若方程有7个不同实根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）
10. 设命题，，则该命题的否定为_____________.
11. 某校高二年级一次数学考试的成绩服从正态分布.若平均分为100，120分以下人数概率为0.8，理论上说在80~120分数段人数概率为____________.
12. 已知为正数，的展开式中各项系数的和为1，则常数项为___________.
13. 已知，则最小值是_________．
14. 为了备战2023斯诺克世锦赛，丁俊晖与赵心童两人进行了热身赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设丁俊晖在每局中获胜的概率为，赵心童在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为，则__________．
15. 设函数，若且，使得成立，则实数a的取值范围为______.
三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答必须写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤）
16. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）若，，求的值.
17. 袋子中有大小相同的2个白球､3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球.
（1）若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率；
（2）若对摸出的球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数的分布列和均值.
18. “马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表：
附：，其中．
（1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？
（2）为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题．
①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率；
②设随机变量表示戏迷乙正确完成题的个数，求的分布列及数学期望．
19. 已知函数，.
（1）若曲线在点处的切线斜率为4，求a的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，.
20. 已知函数，（e为自然对数的底数），.
（1）若时，求函数极值；
（2）若恒成立，求实数m的值；
（3）若直线是曲线的一条切线.求证：对任意实数，都有.不喜爱
喜爱
合计
男性
90
120
女性
25
合计
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
2023～2024学年度第二学期期末重点校联考
高二数学
一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化简集合，再由交集的概念，即可得出结果.
【详解】因为，，
所以.
故选：D.
【点睛】本题主要考查求集合的交集，熟记交集的概念即可，属于基础题型.
2. 设函数的图象在点处的切线方程为，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用导数的定义及导数的几何意义计算作答.
【详解】因为函数的图象在点处的切线方程为，则，
所以.
故选：D
3. 若，函数为奇函数，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】将值代入函数，根据奇函数的定义式是否成立来判断充分性；由奇函数的定义式来构造方程求参数的值，从而判断必要性.
【详解】因为，所以，
所以，
所以此时是奇函数，
所以p是q的充分条件.
若是奇函数，则，
即，所以，即
所以p是q的不必要条件.
综上得：p是q的充分不必要条件.
故选：A.
4. 函数的图象大致为（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据时，，排除BD，结合函数单调性排除C即可．
【详解】，
当时，，恒成立，排除BD；
，
令得：，此时在单调递增，
其中，排除C；
故当时，取得最大值，故A正确．
故选：A
5. 通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图.若去掉图中右下方的点后，下列说法正确的是（ ）
A. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关
B. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变
C. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大
D. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小
【答案】D
【解析】
【分析】根据相关系数的概念逐一判断.
【详解】对于A：去掉图中右下方的点后，根据图象，两个变量还是负相关，A错误；
对于BCD：去掉图中右下方的点后，相对来说数据会集中，相关程度会更高，
但因为是负相关，相关系数会更接近线性相关系数会变小，故D正确，BC错误.
故选：D.
6. 已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，，甲、乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全概率公式，结合已知条件，即可求得结果.
【详解】设分别表示产品由甲、乙车间生产；表示产品优品，
由题可得：，
故.
故选：A.
7. 某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往A，B，C，D四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去B小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（ ）
A. 72B. 78C. 68D. 80
【答案】B
【解析】
【分析】用排除法，先求出把5人分到四个小学的方法数，减去小学去了甲，乙，丙中一个或两个的方法即可得．
【详解】先把5人分到四个小学，排除小学安排了甲，乙，丙的情况（分为小学只去1人是甲，乙，丙中的一个，B小学去了2人，其中1人是甲，乙，丙中的一个，或2人都是甲，乙，丙中的一个），因此方法数为：
,
故选：B．
8. 已知为上偶函数，且对时，都有成立，若则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由函数的奇偶性把转化到同一区间，再利用单调性比较即可.
【详解】因为，又为上偶函数，所以，
所以，
又，，
因为对时，都有成立，
设，因为，，
即自变量小时函数值大，所以为减函数，
所以即，
故选：B.
9. 已知函数，若方程有7个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出函数的大致图象，由已知得或，有3个解，则有4个解，数形结合可得，可求得实数的取值范围．
【详解】作出函数的大致图象，如图所示．
由，得，
得或．
由图象可知直线与的图象有3个公共点，所以方程有3个不同的实根，
因为方程有7个不同的实根，
所以直线与的图象有4个公共点，
故，故，则实数的取值范围是．
故选：A.
二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）
10. 设命题，，则该命题的否定为_____________.
【答案】，
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解.
【详解】命题，，为存在量词命题，
其否定为：，.
故答案为：，
11. 某校高二年级一次数学考试的成绩服从正态分布.若平均分为100，120分以下人数概率为0.8，理论上说在80~120分数段人数概率为____________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据正态分布的性质求解即可.
【详解】由题意得，，
所以
所以，
故答案为：
12. 已知为正数，的展开式中各项系数的和为1，则常数项为___________.
【答案】60
【解析】
【分析】先利用已知条件求出参数，再展开式的通项公式找出常数项，然后用公式计算即可.
【详解】因为的展开式中各项系数的和为1，且为正数，
所以，则，
故的展开式的通项为，
令，解得，
所以的展开式中常数项为，
故答案：60.
13. 已知，则的最小值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题得，化简整理得再利用基本不等式可得解.
【详解】由，
得，
则
，
当且仅当时等号成立，
此时或；
则的最小值是.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
14. 为了备战2023斯诺克世锦赛，丁俊晖与赵心童两人进行了热身赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设丁俊晖在每局中获胜的概率为，赵心童在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】依题意得到的可能取值，再求出对应的概率，从而求解期望即可．
【详解】解：依题意知，的所有可能值为2，4，6，
设每两局比赛为一轮，可以得到该轮结束时比赛停止的概率为，
如果该轮结束时比赛还将继续，那么丁俊晖､赵心童在该轮中必是各得一分，
此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，
从而有，
故，
故答案为：．
15. 设函数，若且，使得成立，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】如果的图象含有二次函数的对称轴右侧的一部分，则满足题意，否则在和的各存在一点关于直线对称，由此可得参数范围．
【详解】由题意的图象上存在两点关于直线对称，
又是对称轴为的抛物线，
所以当时，显然满足题意，
当时，是增函数，不存在关于直线的对称点，
所以不妨设，由得，解得，
所以，即，即，
综上，，
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于分析得分段函数的大致图象，从而得到当时，有，由此得解.
三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答必须写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤）
16. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）若，，求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）1
【解析】
【分析】（1）根据幂的运算法则计算；
（2）利用换底公式后计算；
（3）指数式与对数式互化后，由对数运算法则、换底公式求解．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
，又，
所以.
17. 袋子中有大小相同的2个白球､3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球.
（1）若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率；
（2）若对摸出的球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数的分布列和均值.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据条件概率公式的定义或者公式，即可求解；
（2）首先写出随机变量的取值，再根据取值的意义，写出概率，即可求出分布列和数学期望.
【小问1详解】
角度一：第一次摸到白球，第二次摸球时袋子中有1个白球，3个黑球，所求概率.
角度二：设“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”，
则，,
所求概率；
【小问2详解】
的所有可能取值为.
，，
，，
的分布列为：
,的均值.
18. “马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表：
附：，其中．
（1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？
（2）为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题．
①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率；
②设随机变量表示戏迷乙正确完成题的个数，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）列联表见解析，性别与对活动的喜爱程度无关．
（2）①概率为；②的分布列见解析；数学期望
【解析】
【分析】（1）计算出卡方，与2.706比较后得到结论；
（2）①利用二项分布求概率公式求出概率；②得到的可能取值及对应的概率，得到分布列，求出数学期望.
【小问1详解】
补全的列联表如下：
根据表中数据，计算得到，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此我们可以认为成立，即认为对该场活动的喜爱程度与性别无关．
【小问2详解】
①记“戏迷甲至少正确完成其中3道题”为事件A，则
．
②的可能取值为，
，
，
的分布列为；
数学期望.
19. 已知函数，.
（1）若曲线在点处的切线斜率为4，求a的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由可求得；
（2）求出导函数，分类讨论确定和的解得单调区间；
（3）根据（2）的求解，先确定的导函数在区间上存在零点时的范围，确定单调性后得的最小值，引入新函数后，由导数得新函数的最小值，从而证得结论．
【小问1详解】
，
则，
由题意可得，解得；
【小问2详解】
由（1）可得：，
当时，则恒成立，
令，解得；令，解得；
故在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，解得或，
①当，即时，令，解得或；
令，解得；
故在，上单调递增，在上单调递减；
②当，即时，则在定义域内恒成立，
故在上单调递增；
③当，即时，令，解得或；
令，解得；
故在，上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当，在，上单调递增，在上单调递减；
当，在上单调递增；
当，在，上单调递增，在上单调递减；
【小问3详解】
由（2）知：若在区间上存在零点，则，解得.
由（2）知：在上单调递增，在上单调递减，
则，
构建，，则，
令，则当时恒成立，
故在上单调递减，则，
即当时恒成立，
则在上单调递减，则，
故.
【点睛】方法点睛：求单调区间的方法，求出导函数，然后解不等式得增区间，得减区间，题中不等式的证明可以在利用导数的基础上求得函数的最小值，由于此最小值中含有参数，以此参数为自变量得一新函数，再利用导数求得其极值、最值，从而可证明结论成立．
20. 已知函数，（e为自然对数的底数），.
（1）若时，求函数的极值；
（2）若恒成立，求实数m的值；
（3）若直线是曲线一条切线.求证：对任意实数，都有.
【答案】（1）的极小值为，无极大值
（2）1 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出导函数，确定单调性后可得极值；
（2）不等式转化为恒成立，利用导数求得的最小值，则最小值大于或等于0求得参数的值；
（3）由导数的几何意义求得值，再利用导数证明恒成立，即.从而有，化简后利用刚才所得不等式可得证．
【小问1详解】
当时，，则.
令，得，
当时，，当时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
所以的极小值为，无极大值.
【小问2详解】
若恒成立，即恒成立，
即恒成立，
设，则，
当时，恒成立，所以是上的增函数
注意到，所以时，Fx>1，不合题意：
当时，若，则，若，则，
所以是上的减函数，是上的增函数，
故只需，
令.
则，
当时，，若时，，
所以是上的减函数，是上的增函数，
故，当且仅当时取等号，
所以时，即，从而.
【小问3详解】
设直线与曲线相切于点，
因为，所以切线的斜率为，
所以切线方程为，
即，
所以解得，
所以，则
令，得，当时，；
当时，.
所以在区间内单调递减，在区间内单调递增.
所以，即.
所以，
所以
.
【点睛】方法点睛：不等式恒成立求参数值或范围的方法，不等式恒成立，一种方法利用导数求得，然后由转化为关于参数的不等式，从而求得参数范围或值，另一种方法是分离参数，化不等式不，由导数求的最大值，然后解不等式可得．
0
1
2
3
不喜爱
喜爱
合计
男性
90
120
女性
25
合计
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
不喜爱
喜爱
合计
男性
30
90
120
女性
25
55
80
合计
55
145
200
X
2
3
4
P