2025届高考数学一轮复习专练55 椭圆的几何性质（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)(2024·大连模拟)椭圆x225+y29=1与椭圆x222+y26=1的( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
【解析】选D.椭圆x225+y29=1的焦点在x轴上,
长轴长为10,短轴长为6,焦距为8,离心率为45.
椭圆x222+y26=1的焦点在x轴上,
长轴长为222,短轴长为26,焦距为8,离心率为22211,所以两椭圆焦距相等.
2.(5分)(2022·全国甲卷)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为14,则C的离心率为( )
A.32B.22C.12D.13
【解析】选A.已知A(-a,0),
设P(x0,y0),则Q(-x0,y0),
kAP=y0x0+a,kAQ=y0a-x0,
故kAP·kAQ=y0x0+a·y0a-x0=y02a2-x02=14①,
因为x02a2+y02b2=1,即y02=b2(a2-x02)a2②,
②代入①整理得:b2a2=14,
e=ca=1-b2a2=32.
3.(5分)(2022·全国甲卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若BA1·BA2=-1,则C的方程为( )
A.x218+y216=1 B.x29+y28=1
C.x23+y22=1 D.x22+y2=1
【解析】选B.依题意,得A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),所以BA1=(-a,-b),BA2=(a,-b),
BA1·BA2=-a2+b2=-(a2-b2)=-c2=-1,故c=1,
又C的离心率e=ca=1a=13,所以a=3,a2=9,
b2=a2-c2=8,即C的方程为x29+y28=1.
4.(5分)若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,P为椭圆上的任意一点,则OP·FP的最大值为( )
A.2 B.3 C.6 D.8
【解析】选C.由题意,O(0,0),F(-1,0),
设P(x,y),则OP=(x,y),FP=(x+1,y),
所以OP·FP=x(x+1)+y2=x2+y2+x.
又x24+y23=1,所以y2=3-34x2,
所以OP·FP=14x2+x+3=14 (x+2)2+2.
因为-2≤x≤2,所以当x=2时,OP·FP有最大值6.
5.(5分)(多选题)已知P是椭圆C:x24+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=14上的动点,则( )
A.椭圆C的焦距为3
B.椭圆C的离心率为32
C.圆D在椭圆C的内部
D.|PQ|的最小值为63
【解析】选BC.因为椭圆方程为:x24+y2=1,
所以a2=4,b2=1,c2=a2-b2=3,e=ca=32,焦距为23,故A错误,B正确;
由x24+y2=1(x+1)2+y2=14,得3x2+8x+7=0,
因为Δ=82-4×3×7=-20b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,长轴长为23,点P(1,1)在椭圆Γ外,点Q在椭圆Γ上,则( )
A.椭圆Γ的离心率的取值范围是(22,1)
B.当椭圆Γ的离心率为32时,|QF1|的取值范围是[3-32,32+3]
C.存在点Q使∠F2QF1=90°
D.1|QF1|+1|QF2|的最小值为2
【解析】选ABC.由题意得a=3,又点P(1,1)在椭圆Γ外,则13+1b2>1,解得00)即可.
8.(5分)(2024·大同模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,且四边形PF1QF2的面积为49a2,则C的离心率为73.
【解析】因为点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,
所以四边形PF1QF2为矩形,即PF1⊥PF2,
所以S四边形PF1QF2=2S△PF1F2=|PF1|·|PF2|,
由椭圆定义与勾股定理知:
|PF1|+|PF2|=2a|PF1|2+|PF2|2=4c2,
所以|PF1|·|PF2|=2b2,所以49a2=2b2= 2(a2-c2),所以ca=73,即C的离心率为73.
9.(10分)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;
(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
【解析】(1)连接PF1(图略),由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,
∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=3c,
于是2a=|PF1|+|PF2|=(3+1)c,
故C的离心率为e=ca=3-1.
(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,
当且仅当12|y|·2c=16,
yx+c·yx-c=-1,x2a2+y2b2=1,
即c|y|=16,①
x2+y2=c2,②
x2a2+y2b2=1,③
由②③及a2=b2+c2得y2=b4c2,又由①知y2=162c2,故b=4;
由②③及a2=b2+c2得x2=a2c2(c2-b2),
所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,
故a≥42.当b=4,a≥42时,存在满足条件的点P.
故b=4,a的取值范围为[42,+∞).
【能力提升练】
10.(5分)(2024·资阳模拟)如图,已知定圆A的半径为4,B是圆A内一个定点,且|AB|=2,P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q,当点P在圆上运动时,则点Q的轨迹是( )
A.面积为π的圆
B.面积为2π的圆
C.离心率为14的椭圆
D.离心率为12的椭圆
【解析】选D.连接BQ,AB,因为线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q,所以|BQ|=|PQ|,
因为|AQ|+|PQ|=|AP|=4>|AB|=2,
所以|AQ|+|BQ|=|AP|=4>|AB|=2,
所以点Q的轨迹是以A,B为焦点,4为长轴长,焦距为2的椭圆,所以椭圆的离心率为e=ca=2c2a=24=12.
11.(5分)(多选题)已知F1,F2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,B为椭圆短轴的一个端点,BF1·BF2≥14F1F22,则椭圆的离心率的取值可以是( )
A.12 B.36 C.33 D.32
【解析】选ABC.由椭圆的定义可知:
|BF1|=|BF2|=a,|OF1|=|OF2|=c,
则sin∠OBF1=ca=e,
所以cs∠F1BF2=1-2sin2∠OBF1=1-2e2,
因为BF1·BF2≥14F1F22,即(1-2e2)a2≥c2,所以1-2e2≥e2,又0