2025届高考数学一轮复习专练50 直线的倾斜角与斜率、直线的方程（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)(2024·昆明模拟)直线x+y-2 023=0的倾斜角为( )
A.-π4 B.π4 C.π2 D.3π4
【解析】选D.由于直线x+y-2 023=0的斜率为-1,倾斜角范围是[0,π),所以倾斜角为3π4.
2.(5分)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( )
A.x+y=5
B.x-y=5
C.x+y=5或x-4y=0
D.x-y=5或x-4y=0
【解析】选C.当直线过点(0,0)时,设直线为y=kx,则1=4k,得k=14,所以直线方程为y=14x,即x-4y=0;当直线不过点(0,0)时,可设直线方程为xa+ya=1(a≠0),把(4,1)代入,解得a=5,所以直线方程为x+y=5.
综上可知,直线方程为x+y=5或x-4y=0.
3.(5分)(2024·南京模拟)已知点A(1,3),B(-2,-1).若直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交,则k的取值范围是( )
A.[12,+∞)
B.(-∞,-2]
C.(-∞,-2]∪[12,+∞)
D.[-2,12]
【解析】选D.由已知直线l恒过定点P(2,1),
如图所示,若l与线段AB相交,则kPA≤k≤kPB,
因为kPA=3-11-2=-2,kPB=-1-1-2-2=12,
所以-2≤k≤12.
【加练备选】
设点A(2,-3),B(-3,-2),若直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是( )
A.(-∞,-4]∪[34,+∞)
B.(-∞,-14]∪[34,+∞)
C.[-4,34]
D.[-34,4]
【解析】选A.如图所示:
依题意,kPA=-3-12-1=-4,kPB=-2-1-3-1=34,要想直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则k≥34或k≤-4.
4.(5分)(2024·凉山模拟)已知直线ax+by+c=0经过第一、二、四三个象限,则( )
A.若c>0,则a>0,b>0
B.若c>0,则a<0,b>0
C.若c<0,则a>0,b<0
D.若c<0,则a>0,b>0
【解析】选D.ax+by+c=0经过第一、二、四三个象限,则b≠0,
故变形为y=-abx-cb,
故-ab<0,-cb>0,则a,b同号,b,c异号,
若c>0,则a<0,b<0,若c<0,则a>0,b>0,
D选项正确,其他三个选项均错误.
5.(5分)(多选题)关于直线方程y=kx+2,下列表述正确的有( )
A.是过点0,2的任意直线的方程
B.是过点0,2且斜率为k的直线方程
C.当直线到原点距离最远时,k=0
D.当直线在两坐标轴上截距相等时,k=1
【解析】选BC.对于A,直线方程y=kx+2,不能表示斜率不存在时的直线,所以A错误;对于B,根据直线方程y=kx+2,可得直线方程表示过定点0,2,且斜率为k的直线,所以B正确;对于C,易知原点与直线所过定点0,2的连线为直线与原点的最远距离,此时k=0,所以C正确;对于D,易知直线在y轴上的截距为2,在x轴上的截距为-2k,当直线在两坐标轴上的截距相等时,则有-2k=2,解得k=-1,所以D错误.
6.(5分)(多选题)(2024·邯郸模拟)已知△ABC的三个顶点A(3,2),B(-2,3),C(4,5),则下列说法正确的是( )
A.直线AC的斜率为13
B.直线AB的倾斜角为锐角
C.BC边的中点坐标为(1,4)
D.BC边上的中线所在的直线方程为x+y-5=0
【解析】选CD.对于A,直线AC的斜率为5-24-3=3,故A错误;
对于B,直线AB的斜率为2-33+2=-15<0,所以直线AB的倾斜角为钝角,故B错误;
对于C,设BC边的中点为D(x0,y0),则x0=-2+42=1,y0=3+52=4,即点D(1,4),故C正确;
对于D,BC边上的中线AD所在的直线方程为y-24-2=x-31-3,整理得x+y-5=0,故D正确.
7.(5分)已知直线ax+y-2+a=0在两坐标轴上的截距相等,则实数a=1或2.
【解析】依题意,a≠0,因此直线ax+y-2+a=0在x,y轴上的截距分别为2a-1,2-a,
于是2a-1=2-a,即a2-3a+2=0,解得a=1或a=2,所以实数a=1或a=2.
8.(5分)(2024·大连模拟)直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距小1,且过定点A(-3,8),则直线l的方程为4x+3y-12=0或2x+y-2=0.
【解析】设直线方程的截距式为xa+ya+1=1.
则-3a+8a+1=1,解得a=3或a=1,
则直线方程是x3+y3+1=1或x1+y1+1=1,
即4x+3y-12=0或2x+y-2=0.
9.(10分)(2023·聊城模拟)已知A(1,4),B(-3,-10-2a),C(3-a,8)(a>0)三点在直线l上.
(1)求实数a的值;
(2)求直线l的方程;
(3)已知P(6,4),在直线上求一点Q,使过P,Q的直线与直线l及x轴在第一象限内围成的三角形面积最小.
【解析】(1)因为A(1,4),B(-3,-10-2a),C(3-a,8)(a>0)三点在直线l上,
所以-10-2a-4-3-1=8-43-a-1,
即a2+5a-6=0,
解得a=1或a=-6(舍去).
(2)由(1)知k=8-43-1-1=4,
又因为直线l过点A(1,4),所以直线l的方程为y-4=4(x-1),即4x-y=0.
(3)设Q(m,4m)(m>1),又P(6,4),
则直线PQ:y-4=4m-4m-6(x-6),
令y=0,则x=5mm-1,
即直线PQ与x轴交点的坐标为(5mm-1,0),
所以直线PQ与l以及x轴在第一象限内所围成的三角形的面积:S=12·5mm-1·4m=10m2m-1=10(m-1)2+20(m-1)+10m-1=10(m-1)+10m-1+20≥2100+20=40,
当且仅当10(m-1)=10m-1,即m=2时取等号,故Q为(2,8)时,三角形面积最小.
【能力提升练】
10.(5分)(2024·东营模拟)已知直线l:mx+2y+6=0,且向量(1-m,1)是直线l的一个方向向量,则实数m的值为( )
A.-1 B.1 C.2 D.-1或2
【解析】选D.因为直线l:mx+2y+6=0,直线l的一个方向向量为(-2,m),
又因为向量(1-m,1)是直线l的一个方向向量,所以-2-m(1-m)=0,解得m=-1或m=2.
11.(5分)若光线沿倾斜角为120°的直线射向x轴上的点A(2,0),经x轴反射,则反射直线的点斜式方程是( )
A.y=-33(x-2) B.y=3(x-2)
C.y=-3(x-2) D.y=33(x-2)
【解析】选B.光线沿倾斜角为120°的直线射向x轴,经x轴反射,则反射直线的倾斜角为60°,反射光线斜率为k=tan 60°=3,且反射光线过点A(2,0),则反射光线所在直线的点斜式方程是y=3(x-2).
12.(5分)(多选题)直线l:xa+yb=1中,已知a>0,b>0.若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10,则数对(a,b)可以是( )
A.(3,8) B.(1,9)
C.(7,4) D.(5,3)
【解析】选AC.因为a>0,b>0,所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S=12ab,于是12ab≥10,解得ab≥20.结合选项可知,(3,8),(7,4)满足题意.
13.(5分)已知直线经过A(a,0),B(0,b)和C(1,3)三个点,且a,b均为正整数,则此直线的一般式方程为x+y-4=0(或3x+y-6=0).(只写出符合条件的一条直线方程即可)
【解析】因为直线经过A(a,0),B(0,b),
所以直线的截距式方程为xa+yb=1.
又因为C(1,3)在直线上,所以1a+3b=1,
整理得a=bb-3=1+3b-3.
又因为a,b均为正整数,所以b=4或6.
所以当b=4时,a=4;当b=6时,a=2.
所以直线方程为x4+y4=1或x2+y6=1,
即x+y-4=0或3x+y-6=0.
14.(10分)已知在△ABC中,|AB|=|AC|,∠A=120°,A(0,2),边BC所在的直线方程为3x-y-1=0,求边AB,AC所在的直线方程.
【解析】因为|AB|=|AC|,∠BAC=120°,
所以△ABC是等腰三角形,
且∠ABC=∠ACB=30°,
由3x-y-1=0可知,该直线的斜率为3,
所以该直线的倾斜角为60°.
当过A(0,2)的直线不存在斜率时,此时该直线方程为x=0,
与直线3x-y-1=0的夹角为30°,符合题意;不妨设B(0,-1).如图所示:
当过A(0,2)的直线存在斜率k时,
因为∠CAB=120°,所以直线AC的倾斜角为30°,k=33,直线方程为y=33x+2,
所以边AB,AC所在的直线方程分别是x=0,y=33x+2.
15.(10分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)求证:直线l过定点;
(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)若直线与两坐标轴所围成三角形面积为4,求直线l的方程;
(4)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.
【解析】(1)方法一:设直线过定点(x0,y0),
则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成立,即(x0+2)k-y0+1=0恒成立.
所以x0+2=0,-y0+1=0.
解得x0=-2,y0=1,
故直线l过定点(-2,1).
方法二:kx-y+1+2k=0可化为y-1=k(x+2),
显然x=-2,y=1时对任意k∈R方程都成立,
故直线过定点(-2,1).
(2)直线l的方程为y=kx+2k+1,
则直线l在y轴上的截距为2k+1,
要使直线l不经过第四象限,
则k≥0,1+2k≥0,
解得k的取值范围是[0,+∞).
(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-1+2kk,在y轴上的截距为1+2k,
由题意得(2k+1)2|-2k|=4,
解得k=12或k=22-32或k=-22+32,
故所求直线方程为x-2y+4=0或(22-3)x-2y+4(2-1)=0或(22+3)x+2y+4(2+1)=0.
(4)因为-1+2kk<0且1+2k>0,所以k>0,
所以S=(2k+1)22k=12(4k+1k+4)≥12×(4+4)=4,
当且仅当4k=1k,即k=12时,等号成立.
故S的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.
【素养创新练】
16.(5分)(多选题)已知直线xsin α+ycs α+1=0(α∈R),则下列命题正确的是( )
A.直线的倾斜角是π-α
B.无论α如何变化,直线不过原点
C.直线的斜率一定存在
D.当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
【解析】选BD.直线倾斜角的范围为[0,π),而π-α∈R,所以A不正确;
当x=y=0时,xsin α+ycs α+1=1≠0,所以直线必不过原点,B正确;
当α=π2时,直线斜率不存在,C不正确;
当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积为S=12|1-sinα|·|1-csα|=1|sin2α|≥1,所以D正确.