2025届高考数学一轮复习专练25 简单的三角恒等变换（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)cs40°cs25°1-sin40°的值为( )
A.1B.3C.2D.2
【解析】选C.原式=cs220°-sin220°cs25°(cs20°-sin20°)=cs20°+sin20°cs25°=2cs25°cs25°=2.
2.(5分)已知x∈(-π2,0),cs(π-x)=-45,则tan 2x等于( )
A.724B.-724C.247D.-247
【解析】选D.因为x∈(-π2,0),cs(π-x)=-45,所以cs x=45,sin x=-1-cs2x=-35,由同角三角函数的关系得tan x=sinxcsx=-34.因此tan 2x=2tanx1-tan2x=2×(-34)1-(-34) 2=-247.
3.(5分)(2023·枣庄模拟)已知sin(π6-α)=23,则cs(2α-4π3)等于( )
A.-59B.59C.-13D.13
【解析】选A.cs(2α-4π3)=cs(-π+2α-π3)=-cs(2α-π3)=-cs(π3-2α)
=-[1-2sin2(π6-α) ]=-(1-2×29)=-59.
4.(5分)(2023•新高考Ⅰ卷)已知sin (α-β)=13,cs αsin β=16,则cs(2α+2β)=( )
A.79B.19C.-19D.-79
【解析】选B.因为sin (α-β)=sin αcsβ-sin βcs α=13,cs αsin β=16,所以sin αcs β=12,所以sin (α+β)=sin αcs β+sin βcs α=12+16=23,则cs(2α+2β)=1-2sin 2(α+β)=1-2×49=19.
5.(5分)(多选题)(2023·合肥模拟)下列计算结果正确的是( )
A.cs(-15°)=6-24
B.sin 15°sin 30°sin 75°=18
C.cs(α-35°)cs(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=-12
D.2sin 18°cs 36°=12
【解析】选BD.对于A,cs(-15°)=cs 15°=cs(45°-30°)=cs 45°cs 30°+sin 45°sin 30°=6+24,所以A错误;对于B,sin 15°sin 30°sin 75°=sin 15°sin 30°cs 15°=12sin 15°cs 15°=14sin 30°=18,所以B正确;对于C,cs(α-35°)cs(25°+α)+
sin(α-35°)sin(25°+α)=cs[(α-35°)-(25°+α)]=cs(-60°)=cs 60°=12,所以C错误;
对于D,2sin 18°cs 36°=2cs 72°cs 36°=2×sin144°2sin72°×sin72°2sin36°=sin36°2sin36°=12,所以D正确.
6.(5分)(多选题)(2023·长沙模拟)若sin α2=33,α∈(0,π),则( )
A.cs α=13
B.sin α=23
C.sin(α2+π4)=6+236
D.sin(α2-π4)=23-66
【解析】选AC.因为sin α2=33,α∈(0,π),所以α2∈(0,π2),cs α2=1-sin2α2=63.
所以cs α=1-2sin2α2=1-2×(33)2=13,故A正确;
sin α=2sin α2cs α2=2×33×63=223,故B错误;
sin(α2+π4)=sin α2cs π4+cs α2sin π4=33×22+63×22=6+236,故C正确;
sin(α2-π4)=sin α2cs π4-cs α2sin π4=33×22-63×22=6-236,故D错误.
7.(5分)(2024·长春模拟)若csπ4-θ=12,则sin 2θ=________.
【解析】因为csπ4-θ=12,所以sin 2θ=cs(π2-2θ)=cs [2(π4-θ) ]=2cs2(π4-θ)-1
=2×122-1=-12.
答案:-12
8.(5分)(2023·青岛模拟)已知tan 2θ=-22,π4