2025届高考数学一轮复习专练16 导数的概念及其意义、导数的运算（Word版附解析）

这是一份2025届高考数学一轮复习专练16 导数的概念及其意义、导数的运算（Word版附解析），共7页。
【基础落实练】
1.(5分)已知函数f(x)=3x+1,则 f(1-Δx)-f(1)Δx的值为( )
A.-13B.13C.23D.0
【解析】选A.f(1-Δx)-f(1)Δx=-f(1-Δx)-f(1)-Δx
=-f'(1)=-(13×1-23)=-13.
2.(5分)(多选题)下列求导运算正确的是( )
A. (x+1x)'=1+1x2
B.(lg2x)'=1xln2
C.(5x)'=5xlg5x
D.(x2cs x)'=2xcs x-x2sin x
【解析】选BD.A中, (x+1x)'=1-1x2,
C中,(5x)'=5xln 5,其余正确.
3.(5分)(2023·广西三市联考)设函数f(x)在R上存在导函数f'(x),f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为y=12x+2,那么f(1)+f'(1)=( )
A.1B.2C.3D.4
【解析】选C.由题意得f(1)=12×1+2=52,
f'(1)=12,所以f(1)+f'(1)=52+12=3.
4.(5分)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f'(2 023)=( )
A.1B.2C.12 023D.2 0242 023
【解析】选D.令ex=t,t>0,
则x=ln t,所以f(t)=ln t+t,
故f(x)=ln x+x(x>0).
则f'(x)=1x+1,故f'(2 023)=12 023+1=2 0242 023.
5.(5分)(2023·保定模拟)吹气球时,气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的关系是V=43πr3.当V=4π3 L时,气球的瞬时膨胀率(气球半径关于气球体积的瞬时变化率)为( )
A.14π dm/LB.13 dm/L
C.3 L/dmD.4π L/dm
【解析】选A.因为V=43πr3,所以r=33V4π,
所以r'=13×(3V4π) -23×34π=14π×(3V4π) -23,
当V=4π3 L时,r'=14π,
所以气球的瞬时膨胀率为14π dm/L.
6.(5分)(2023·丹东模拟)若直线y=2x是曲线y=x(ex-a)的切线,则a=( )
A.-eB.-1C.1D.e
【解析】选B.设切点坐标为(x0,x0(ex0-a)),
因为y=x(ex-a),
所以y'=(ex-a)+xex=(1+x)ex-a,
所以在切点处的切线的斜率为(1+x0)ex0-a,
切线方程为y-x0(ex0-a)=[(1+x0)ex0-a](x-x0),
即y=[(1+x0)ex0-a]x-x02ex0,
由题意知(1+x0)ex0-a=2,-x02ex0=0,解得x0=0a=-1.
7.(5分)设函数f(x)=exx+a.若f'(1)=e4,则a=________.
【解析】f'(x)=ex(x+a)-ex(x+a)2=ex(x+a-1)(x+a)2,则f'(1)=ae(a+1)2=e4,
整理可得a2-2a+1=0,解得a=1.
答案:1
8.(5分)(2021·全国甲卷)曲线y=2x-1x+2在点(-1,-3)处的切线方程为__________.
【解析】y'=(2x-1x+2)'=2(x+2)-(2x-1)(x+2)2=5(x+2)2,
所以y'|x=-1=5(-1+2)2=5,
所以切线方程为y+3=5(x+1),
即5x-y+2=0.
答案:5x-y+2=0
9.(10分)已知曲线y=x3+x-2在点P0处的切线l1平行于直线4x-y-1=0,且点P0在第三象限.
(1)求切点P0的坐标;
(2)若直线l⊥l1,且l也过切点P0,求直线l的方程.
【解析】(1)由y=x3+x-2,得y'=3x2+1,
由已知得3x2+1=4,解得x=±1.
当x=1时,y=0;当x=-1时,y=-4.
又点P0在第三象限,
所以切点P0的坐标为(-1,-4).
(2)因为直线l⊥l1,l1的斜率为4,
所以直线l的斜率为-14.
因为l过切点P0,点P0的坐标为(-1,-4),
所以直线l的方程为y+4=-14(x+1),即x+4y+17=0.
【能力提升练】
10.(5分)(2023·广州模拟)曲线y=f(x)=x3+1在点(-1,a)处的切线方程为( )
A.y=3x+3B.y=3x+1
C.y=-3x-1D.y=-3x-3
【解析】选A.因为f'(x)=3x2,所以f'(-1)=3,
又当x=-1时,a=(-1)3+1=0,
所以y=x3+1在点(-1,a)处的切线方程为y=3(x+1),即y=3x+3.
11.(5分)已知函数f(x)=aln x,g(x)=bex,若直线y=kx(k>0)与函数f(x),g(x)的图象都相切,则a+1b的最小值为( )
A.2B.2eC.e2D.e
【解析】选B.设直线y=kx与函数f(x),g(x)的图象相切的切点分别为A(m,km),B(n,kn).
由f'(x)=ax,有km=alnm,am=k,
解得m=e,a=ek.
又由g'(x)=bex,有kn=ben,ben=k,
解得n=1,b=ke,
所以a+1b=ek+ek≥2e2=2e,
当且仅当a=e,b=1e时等号成立.
12.(5分)(多选题)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x).若f(32-2x),g(2+x)均为偶函数,则( )
A.f(0)=0B.g(-12)=0
C.f(-1)=f(4)D.g(-1)=g(2)
【解析】选BC.因为f(32-2x)为偶函数,所以f(32-2x)=f(32+2x),所以函数f(x)的图象关于直线x=32对称,f(32-2×54)=f(32+2×54),即f(-1)=f(4),故C正确;因为f(x)的图象关于直线x=32对称,所以f(x)=f(3-x),所以f'(x)=-f'(3-x),即g(x)=-g(3-x),所以g(x)的图象关于点(32,0)对称,所以g(32)=0,g(1)=-g(2),又g(2+x)为偶函数,所以g(2+x)=g(2-x),函数g(x)的图象关于直线x=2对称,所以g(x)的周期T=4×(2-32)=2,所以g(-12)=g(32)=0,g(-1)=g(1)=-g(2),故B正确,D错误;不妨取f(x)=1(x∈R),经验证满足题意,但f(0)=1,故A错误.
13.(5分)设函数f(x)=mex-ln x,参数m>0,过点(0,1)作曲线C:y=f(x)的切线(斜率存在),则切线的斜率为____________(用含m的式子表示).
【解析】由f(x)=mex-ln x,得f'(x)=mex-1x,设切点坐标为(t,met-ln t),则f'(t)=met-1t,
所以过切点的切线方程为y-(met-ln t)= (met-1t) (x-t),把(0,1)代入,可得1-(met-ln t)= (met-1t) (0-t),整理得met(t-1)+ln t=0,
令g(t)=met(t-1)+ln t,g'(t)=mtet+1t>0,g(t)在(0,+∞)上单调递增,
又g(1)=0,所以1-(met-ln t)= (met-1t) (0-t)的根为t=1,所以切线的斜率为f'(1)=me-1.
答案:me-1
14.(10分)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2xf'(e)+ln x.
(1)求f'(e)及f(e)的值;
(2)求f(x)在点(e2,f(e2))处的切线方程.
【解析】(1)因为f(x)=2xf'(e)+ln x,
所以f'(x)=2f'(e)+1x,f'(e)=2f'(e)+1e,
所以f'(e)=-1e,f(x)=-2xe+ln x,
所以f(e)=-2ee+ln e=-1.
(2)因为f(x)=-2xe+ln x,f'(x)=-2e+1x,
所以f(e2)=-2e2e+ln e2=2-2e,f'(e2)=-2e+1e2,
所以f(x)在点(e2,f(e2))处的切线方程为y-(2-2e)= (-2e+1e2) (x-e2),
即(2e-1)x+e2y-e2=0.
15.(10分)已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).
(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值;
(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.
【解析】f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).
(1)由题意得f(0)=b=0,f'(0)=-a(a+2)=-3,
解得b=0,a=-3或a=1.
(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,
所以关于x的方程f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,
所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,
即4a2+4a+1>0,所以a≠-12.
所以a的取值范围为(-∞,-12)∪(-12,+∞).
【素养创新练】
16.(5分)(多选题)定义方程f(x)=f'(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新不动点”,则下列函数中只有一个“新不动点”的是( )
A.g(x)=x·2x
B.g(x)=-ex-2x
C.g(x)=ln x
D.g(x)=sin x+2cs x
【解析】选ABC.对于A,g'(x)=2x+x·2x·ln 2,由x·2x=2x+x·2x·ln 2,
解得x=11-ln2,
所以g(x)只有一个“新不动点”,故A符合题意;
对于B,g'(x)=-ex-2,
由-ex-2=-ex-2x,得x=1,
所以g(x)只有一个“新不动点”,故B符合题意;
对于C,g'(x)=1x,
根据y=ln x和y=1x的图象(图略)可以看出ln x=1x只有一个实数根,
所以g(x)只有一个“新不动点”,故C符合题意;
对于D,g'(x)=cs x-2sin x,
由sin x+2cs x=cs x-2sin x,
得3sin x=-cs x,
所以tan x=-13,
根据y=tan x和y=-13的图象(图略)可看出方程tan x=-13有无数个解,
所以g(x)有无数个“新不动点”,故D不符合题意.