[数学]安徽2024届新高考模拟预测卷(七)(解析版)

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1.已知i是虚数单位，若是实数，则实数（ ）
A. 2B. -2C. 1D. -1
【答案】B
【解析】为实数，
∴．
故选：B．
2.已知“x>2”是“<1”的（ ）条件．
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】，
所以是的充分不必要条件.
故选：A．
3.若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，是夹角为的两个单位向量，
所以，
故，
，
，
故 ，
由于 ，故.
故选：B.
4.如图，高速服务区停车场某片区有A至H共8个停车位每个车位只停一辆车，有2辆黑色车和2辆白色车要在该停车场停车，则两辆黑色车停在同一列的条件下，两辆白色车也停在同一列的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设事件“两辆黑色车停在同一列”，事件“两辆白色车停在同一列”，
则所求概率为，
因为，，
所以，
故选：A．
5.《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、大寒、雨水的日影长的和为36.3尺，小寒、惊蛰、立夏的日影长的和为18.3尺，则冬至的日影长为（ ）
A. 4尺B. 8.5尺C. 16.1尺D. 18.1尺
【答案】C
【解析】由题意，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，记为数列，公差为d，
则有，即，解得：，
即冬至的日影长为16.1尺.
故选：C．
6.下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①若分别是平面α，β的法向量，则⇔α∥β；
②若分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ⇔；
③若是平面α的法向量，是直线l的方向向量，若l与平面α平行，则；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知②③④正确
故选：C．
7.心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A选项：，故A错误；
B选项：记，则，故为奇函数，
不符合题意，故B错误；
C选项：记，则，
故为偶函数，
当时，，
此函数在上单调递增，在上单调递减，
且，故C正确；
D选项：记，则，
故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误.
故选：C.
8.设直线与圆交于、两点，若线段的中点为，则圆上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】圆的圆心为，由垂径定理可知，
直线的斜率为，所以，直线的斜率为，
故直线的方程为，即，
圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
因此，圆上的点到直线的距离的最小值为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集了他们一年内的课外阅读量（单位：本）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．
下面推断合理的是（ ）
A. 这200名学生阅读量的平均数可能是26本；
B. 这200名学生阅读量的75%分位数在区间内；
C. 这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间内；
D. 这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间内．
【答案】BCD
【解析】对于A选项，由表中数据可知，男生的阅读量为24.5本，女生的阅读量为25.5本，故200名学生的平均阅读量在区间内，故错误；
对于B选项，由于，阅读量在内的有人，在内的有人，故这200名学生阅读量的75%分位数在区间内，正确；
对于C选项，设在区间中的初中生有人，由于在内的人数共15人，故，故当时，初中学生共116人，中位数为第58个与第59个的平均数，此时区间有25人，有36人，故中位数在内；当时，初中学生共131人，中位数为第66个,，此时区间有15人，有25人，有36人，故中位数在内，所以当区间人数最多和最少时，中位数都在区间内，故这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间内，正确；
对于D选项，设在区间中的初中生有人，由于在内的人数共15人，故，故当时，初中学生共116人，则人，此时区间有25人，有36人，故25%分位数可能在区间内；当时，初中学生共131人，则，此时区间有15人，有25人，共40人，25%分位数可能在区间内，故这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间内，正确.
故选：BCD.
10.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 当时，函数单调递增.
C. 当时，函数最小值为.
D 当9时，
【答案】BD
【解析】由题，，，，
故，
又当时，，且，，
所以，故A错误：
当时，，
所以函数在是单调递增的，故B正确：
当时，，所以函数在是单减的，故最小值为，故C错误：
当时，，的横坐标为，
又，此时点，为水车直径，故，故D正确．
故选：BD．
11.已如函数，则以下结论正确的是（ ）
A. 函数存在极大值和极小值
B.
C. 函数存在最小值
D. 对于任意实数k，方程最多有4个实数解
【答案】BCD
【解析】由可得，
由可得：，由可得：，
所以在单调递减，在单调递增，故选项A不正确，C正确：
对于选项B：在单调递增，
因为，所以，故B正确；
对于选项D：方程即，有一根为，
令．则，
令可得或，
令可得，
所以在和0,+∞单调递增，在单调递减，
，
作出，的图形如图所示：
所以存在时，方程有3个实数解，此时方程有4个实数解，故D正确.故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．（第13题答对第一空得3分，答对第二空得2分.）
12.设集合，且，则___________.
【答案】
【解析】由题意，集合，且，
可得是方程的根，即，解得，
所以，则.
13.如图，圆锥底面半径为，母线PA＝2，点B为PA的中点，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，其最短路线长度为________，其中下坡路段长为________．

【答案】
【解析】如图，将圆锥侧面沿母线PA剪开并展开成扇形，
易知该扇形半径为2，弧长为，故圆心角∠APB＝，
最短路线即为扇形中的直线段AB，由余弦定理易知
AB＝＝，
cs∠PBA＝＝；
过P作AB垂线，垂足为M，
当蚂蚁从A点爬行到M点过程中，它与点P的距离越来越小，故AM为上坡路段，
当蚂蚁从M点爬行到B点的过程中，它与点P的距离越来越大，故MB为下坡路段，
下坡路段长MB＝PB･cs∠PBA＝．
14.已知有两个极值点，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】由求导，，由可得：，
因不满足此式，故可得：，
则函数有两个极值点，即函数与的图象有两个交点.
由求导，，则当时，，当时，，当时，
则函数在和上是减函数，在上是增函数，故时，取得极小值.且当时，，当从0的左边趋近于0时，，当从0的右边趋近于0时，，当时，.故可作出函数的图象如图.

由图可知：函数与的图象有两个交点等价于.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）议，当取得最小值时，求n的取值．
解：（1）因为，
当时，，
所以，
又时，不满足上式，
故数列的通项公式为.
（2）当n为奇数时，，
当，时，
因为单调递增，
∴，
综上，当n为奇数时，；
当n为偶数时，，
因为单调递增，
∴．
综上所述，当取得最小值时，n的取值为1，2，3．
16.某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：
产品的性能指数在的适合托班幼儿使用（简称A类产品），在的适合小班和中班幼儿使用（简称B类产品），在的适合大班幼儿使用（简称C类产品），A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.
（1）求每件产品的平均销售利润；
（2）该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用，和年销售量数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.
表中，，，.
根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程.
（i）建立关于的回归方程；
（ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？
（收益=销售利润-营销费用，取）.
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
解：（1）设每件产品的销售利润为元，则的所有可能取值为1.5，3.5，5.5，
由直方图可得，，，三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4，
所以，，，，
所以随机变量的分布列为：
所以，，
故每件产品的平均销售利润为4元；
（2）（i）由得，，
令，，，则，
由表中数据可得，，
则，
所以，，
即，
因为，所以，
故所求的回归方程为；
（ii）设年收益为万元，则，
设，，
则，
当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，
所以，当，即时，有最大值为768，
即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.
17.如图，垂直于梯形所在平面，，为中点，，，四边形为矩形．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出FQ的长；若不存在，说明理由．
（1）证明：以原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
由题意得，，，，，，，，
则，平面的一个法向量，
，，
由，取，得，
，
，
平面；
（2）解：设平面的一个法向量，，，
由，取，解得
设平面的一个法向量，，
由图可知二面角为锐二面角，
二面角的大小为；
（3）解：设存在点满足条件，
由，，
设，，
整理得，，
直线与平面所成角的大小为，
，
则，由，得，即点和点重合，
故在线段上存在一点，且．
18.已知椭圆C：的左右焦点分别为、，离心率，、分别为椭圆C的左、右顶点，且.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若O为坐标原点，过的直线l与椭圆C交于A、B两点，求面积的最大值；
（3）若椭圆上另有一点M，使得直线与斜率、满足，请分析直线BM是否恒过定点.
解：（1）由已知可得：，
解得：，，则，则有C：；
（2）由于直线l不能与y轴垂直，
故设，，
代入可得，
恒成立，设，，
则有，，
，
点O到直线l的距离为，
所以，
当且仅当：时取最大值；

（3）设直线MB的方程为，，
代入可得，
，可设、，
则有，，
因为，所以，
因为在椭圆上，所以，所以，
代入，且，
可得，
即，即
即
由于，化简得，即直线MB恒过定点.

19.设，函数．
（1）判断的零点个数，并证明你的结论；
（2）若，记的一个零点为，若，求证：．
（1）解：，令，则，
当时，单调递增，当时，单调递减，，
在处取得极小值也是最小值，，，
即单调递增，
当x趋于0时，趋于，，
在内存在唯一的零点，即的零点个数为1；
（2）证明：令是减函数，，
即当时， ，当时，，
由知：；
由（1）的讨论知存在唯一的零点，
当时，，，
，
又，…①，其中，
令，，则；
式即为 ，不等式等价于，
其意义为：当函数与函数 的函数值相等时，比较对应的自变量之间的大小关系；
设 ，
，当时，，
当时，，是减函数，
又，时，，即，
时，当且仅当时等号成立；
即.A
B
C
D
E
F
G
H
阅读量
人数
学生类别
性别
男
7
31
25
30
4
女
8
29
26
32
8
学段
初中
25
36
44
11
高中
16.30
24.87
0.41
1.64
1.5
3.5
5.5
0.15
0.45
0.4