四川省雅安市2023-2024学年高三三诊数学（文）试题（原卷版+解析版）

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（本试卷满分150分，答题时间120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名，考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效.
3.考试结束后，将答题卡收回.
一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，则（ ）
A. 3B. 2C. D.
3. 已知平面向量，则向量在向量方向上的投影是（ ）
A. B. 1C. D.
4. 从三个数字组成的没有重复数字的三位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 在等差数列中，若，则（ ）
A. 21B. 24C. 27D. 29
6. 已知如图中程序框图的输出结果为1275，则判断框里可填（ ）

A. B. C. D.
7. 已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条直径与拋物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
8. 已知函数是偶函数，则实数（ ）
A. 1B. C. 2D.
9. 如图，在各棱长均为2的正三棱柱（底面为正三角形且侧棱垂直底面的棱柱）中，P，E，F分别是，，AC的中点.则四棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
10. 设分别为双曲线的左右焦点，过点的直线交双曲线右支于点，交轴于点，且为线段的中点，并满足，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
11. 已知函数，则下列说法中正确的个数是（ ）
①当时，函数有且只有一个零点；
②当时，函数为奇函数，则正数最小值为；
③若函数在上单调递增，则的最小值为；
④若函数在上恰有两个极值点，则取值范围为.
A. 1B. 2C. 3D. 4
12. 已知函数，则（ ）
A B.
C. D.
二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）将答案填写在答题卡相应的横线上.
13. 等比数列an中，每项均为正数，且，则______.
14. 已知点的坐标满足条件，则的最大值为__________.
15. 已知奇函数，且当时，，若，则__________.
16. 已知在直三棱柱中，，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为__________.
三､解答题（本大题共6小题，共70分）解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 在△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角；
（2）若，求的最小值．
18. 同城配送是随即时物流发展而出现的非标准化服务，省时省力是消费者使用同城配送服务的主要目的.某同城配送服务公司随机统计了800名消费者的年龄（单位：岁）以及每月使用同城配送服务的次数，得到每月使用同城服务低于5次的有550人，并将每月使用同城配送服务次数不低于5次的消费者按照年龄进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）估计每月使用同城配送服务不低于5次的消费者年龄的平均值和中位数（结果精确到0.1，每组数据用该组区间的中点值代表）；
（2）若年龄在内的人位于年龄段，年龄在内的人位于年龄段II，把每月使用同城配送服务低于5次的消费者称为“使用同城配送服务频率低”，否则称为“使用同城配送服务频率高”，若800名消费者中有400名在年龄段I，补全列联表，并判断是否有的把握认为消费者使用同城配送服务频率的高低与年龄段有关？
参考公式：，其中.附：
19. 四棱锥中，，底面为等腰梯形，，，为线段的中点，.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
20. 设分别为椭圆的左右焦点，椭圆的短轴长为是直线上除外的任意一点，且直线的斜率与直线的斜率之比为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点的直线交椭圆于两点，设直线的斜率分别为，判断是否成等差数列？并说明理由.
21. 已知函数.
（1）若函数有极值，求实数的取值范围；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
选做题：请考生在22､23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方柜涂黑.
[选修4-4：坐标系与参数方程
22. 如图，在极坐标系中，曲线是以为圆心的半圆，曲线是以为圆心的圆，曲线都过极点.

（1）分别写出曲线，曲线的极坐标方程；
（2）射线与曲线分别交于两点（异于极点），求面积的最大值.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知．
（1）若，解不等式；
（2）当（）时，的最小值为3，若正数、满足，证明：．
年龄段I
年龄段II
合计
使用同城配送服务频率高
使用同城配送服务频率低
合计
0.050
0.010
0.001
3841
6.635
10.828