2023-2024学年湖南省益阳市沅江市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年湖南省益阳市沅江市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列安全标志中，是中心对称图形的是( )
A. 禁止通行B. 严禁烟火
C. 当心溺水D. 小心有电
2.在平面直角坐标系中，点A(1,2)关于x轴对称点的坐标是( )
A. (2,1)B. (−1,2)C. (1,−2)D. (−1,−2)
3.某班50名学生的身高中，最低为150cm，最高为176cm，在绘制频数分布直方图时，取组距为5cm，则分成的组数是( )
A. 5B. 6C. 8D. 10
4.在△ABC中，下列条件能说明△ABC是直角三角形的是( )
A. ∠A=35∘，∠B=65∘B. ∠A=∠B=∠C
C. ∠A=∠B+∠CD. ∠A=2∠B=3∠C
5.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB//CD.下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A. AB=CDB. AD=BCC. AC=BDD. AO=BO
6.若ab<0，则在平面直角坐标系中，点P(a,b)可能在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. x轴上D. y轴上
7.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，∠C=40∘，D是AC的中点，则∠ABD的度数为( )
A. 30∘
B. 40∘
C. 45∘
D. 50∘
8.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若AB=8，AC=6，△ABC的面积为14，则DE的长为( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 5
9.小智根据四边形的不稳定性制作了一个探究特殊四边形的学具，他用四根长度相同的木条在两端用螺栓两两连接，构成一个可以活动的四边形.他先将学具成为图1所示的四边形ABCD，并测得∠B=60∘，对角线AC=20cm，再将学具成为图2所示四边形A′B′C′D′，并测得∠B=90∘，则图2中对角线A′C′的长为( )
A. 20cmB. 40cm.C. 20 2cmD. 20 3cm
10.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=7，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B两点重合，且EF=AB，G是五边形AEFCD内一点，满足GE=GF，∠EGF=90∘.下列结论错误的是( )
A. ∠GEB与∠GFB一定互补
B. 点G到边AB，BC的距离一定相等
C. G，B两点之间距离的最大值为6
D. 点G到CD边的距离的最小值为2 2
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.梁启超先生曾说：“少年智则国智，少年富则国富；少年强则国强，……”，在这句话划线部分的所有汉字中，“国”字出现的频率是______.
12.平面直角坐标系中，点(3,4)到y轴的距离为______.
13.若点(a,b)在一次函数y=2x−3的图象上，则6a−3b+1的值是______.
14.海拔每升高100米，气温下降约0.6℃，某地地面温度为28℃，海拔升高x(百米)后温度为y(℃)，则y关于x的函数表达式为______.
15.如图，A、B两地是一座山的两端，为修建高速公路需沿AB方向修一条隧道，工程测量队在地面上确定点O，分别取OA、OB的中点C、D，量得CD=600m，则A、B之间的距离是______m.
16.在▱ABCD中，AB17.明朝数学家程大位在《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置(踏板的厚度忽略不计)，踏板离地高度为一尺(AC=1尺)，将踏板往前推两步升高到点B的位置(EB⊥OC于点E，且EB=2步=10尺)，此时踏板离地高度五尺(BD=5尺，BD=EC)，则秋千绳索长______尺.
18.如图1，动点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→C→D以1cm/s的速度运动到点D停止．设点P的运动时间为x(s)，△PAB的面积为y(cm2).表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则a的值为______.
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
一个多边形的每一个内角是它相邻外角的9倍，这个多边形是几边形？
20.(本小题6分)
如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC=DF，AB=DE.求证：CE=BF.
21.(本小题8分)
如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形.
(1)证明：▱ABCD是矩形；
(2)若AB=4，求AD的长.
22.(本小题8分)
如图，直线y=−12x+52与x轴交于点A，与直线y=2x交于点B.
(1)求点A，B的坐标；
(2)判断△ABO是什么特殊三角形，并说明理由.
23.(本小题9分)
跳绳是一种很好的运动方式，某校对八年级学生进行了1分钟跳绳次数的测试，所有学生的成绩绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下.
请根据图表信息回答下列问题：
(1)在频数分布表中，a的值为______， b的值为______， c的值为______；
(2)将频数分布直方图补充完整；
(3)小健说“我的跳绳次数是此次测试所得数据的中位数”，小健的成绩在哪个范围内？
(4)若跳绳次数在120次以上(含120次)属优良，求此次测试中成绩优良的人数占总人数的百分比.
24.(本小题9分)
综合与实践：利用函数图象探究y=|x−1|−3的性质及函数与不等式的关系.下面是创新组的探究过程，请补充完整：
(1)列表：如表是x与y的几组对应值，则m=______，n=______；
(2)在平面直角坐标系中，描出表中以各对x，y的值为坐标(x,y)的点，并画出该函数的图象；
(3)请根据画出的图象，探究一条该函数的性质：______；
(4)已知直线y=kx+b(k≠0)过点(0,−2)与(4,0)，结合函数图象直接写出关于x的不等式|x−1|−3>kx+b的解集为______.
25.(本小题10分)
电动汽车因绿色环保、经济实惠受到越来越多的家庭购买使用，如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y(千瓦时)与已行驶路程x(千米)的函数图象.
(1)根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为30千瓦时时汽车已行驶的路程；
(2)当0≤x≤400时，求行驶100千米所消耗的电量；
(3)当x≥400时，求y关于x的函数表达式；
(4)当蓄电池剩余电量10千瓦时的时候汽车开始报警，提示要及时充电，通过计算求出报警时汽车已行驶多少千米？
26.(本小题10分)
【探索发现】(1)如图1，正方形ABCD的对角线交点O是正方形A1B1C1O的一个顶点，当正方形A1B1C1O绕点O旋转，边A1O与AB相交于点E，边C1O与BC相交于点F时，总有△AEO≌△BFO.连接EF，求证：AE2+CF2=EF2；
【类比迁移】(2)如图2，矩形ABCD的对角线交点O是矩形A1B1C1O的一个顶点，当矩形A1B1C1O绕点O旋转，边A1O与AB相交于点E，边C1O与BC相交于点F时，连接EF，判断(1)中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
【迁移拓展】(3)如图3，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AB=6，BC=8，点D是斜边AC的中点，以D为顶点的直角∠EDF绕点D旋转时，它的两边分别与直线AB，BC相交于点E，F，当CF=2时，直接写出线段EF的长度.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A选项，是中心对称图形，故B选项正确，符合题意；
B选项，不是中心对称图形，故C选项错误，不符合题意；
C选项，不是中心对称图形，故C选项错误，不符合题意；
D选项，不是中心对称图形，故D选项错误，不符合题意；
故选：A.
中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180∘，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，对称中心在旋转图形对应点连线的垂直平分线的交点处，由此即可求解．
此题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转180∘，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：关于x轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数
可知，A(1,2)关于x轴对称点的坐标是(1,−2).
故选C.
利用平面直角坐标系点对称的性质求解．
此题比较简单，考查直角坐标系点的对称性质．
3.【答案】B
【解析】解：(176−150)÷5=5.2，
∴分成的组数是6.
故选：B.
先求出数据的最大值与最小值的差，再用差值除以组距，进而可得组数．
本题考查频数(率)分布直方图，掌握频数分布直方图分组方法是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A：∵∠A=35∘，∠B=65∘，
∴∠C=180∘−35∘−65∘=80∘，
故A不符合题意；
B：∵∠A=∠B=∠C，
∴△ABC是等边三角形，
故B不符合题意；
C：∵∠A=∠B+∠C，
∴∠A=90∘，
故C符合题意；
D：∵∠A=2∠B=3∠C，∠A+∠B+∠C=180∘，
∴∠A+12∠A+13∠A=180∘，
∴∠A=108011∘≠90∘，且∠B，∠C也不等于90∘，
故C不符合题意；
故选：C.
根据三角形内角和定理，分别求出各选项中最大角的度数即可判断．
本题主要考查了三角形内角和定理，根据题意分别列出方程是解题的关键，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：A.∵AB//CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故A符合题意；
B、C、D都不能判定四边形ABCD是平行四边形，
故选：A.
根据平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．
本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形判定定理是解答本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵ab<0，
∴a，b异号，
∴点P(a,b)在第二或第四象限．
故选：B.
根据点的坐标特点判断即可．
此题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵∠ABC=90∘，∠C=40∘，
∴∠A=90∘−∠C=50∘，
∵D为AC的中点，
∴AD=BD=12AC，
∴∠A=∠ABD=50∘，
故选：D.
先利用直角三角形的两个锐角互余可得∠A=50∘，然后再利用直角三角形斜边上的中线性质可得AD=BD，从而利用等边对等角，即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴S△ABC=12AB⋅DE+12AC⋅DF=12(AB+AC)⋅DE=12×(8+6)⋅DE=14，
解得DE=2.
故选：B.
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：如图1，连接AC，
∵AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠B=60∘，
∴△ABC是正三角形，
∴AC=AB=BC=20cm，
在图2中，在Rt△ABC中，A′B′=B′C′=20cm，
∴A′C′= A′B′2+B′C′2=20 2(cm)，
故选：C.
根据菱形的性质求出菱形的边长，再根据正方形的性质以及勾股定理进行计算即可．
本题主要考查菱形、正方形、正三角形的性质以及勾股定理，掌握菱形、正方形的性质以及勾股定理是正确解答的关键．
10.【答案】D
【解析】解：A、∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90∘，
又∵∠EGF=90∘，四边形内角和是360∘，
∴∠GEB+∠GFB=180∘，
故A正确；
B、过G作GM⊥AB，GN⊥BC，分别交AB于M，交BC于N，
则四边形MGNB是正方形，
∴∠MBN=∠MGN=90∘.
∵∠EGF=90∘，
∴∠GEM=∠GFN，
在△GEM和△GFN中，
∠GME=∠GNF∠GEM=∠GFNGE=GF，
∴△GEM≌△GFN(AAS)，
∴GM=GN，
故B正确；
C、∵∠B+∠G=180∘，
∴点B、E、G、F四点共圆，
∵EF=AB=6是直径，
∴点G到点B最大值为6.
故C正确．
D、由图B可知，点G到CD边的距离的最小值为1；
故D错误．
故选：D.
A：根据矩形的性质得出∠B=90∘，又∠EGF=90∘，由四边形内角和为360∘可判断A；
B：过G作GM⊥AB，GN⊥BC，分别交AB于M，交BC于N，构造正方形MGNB，则∠MBN=∠MGN=90∘，结合∠EGF=90∘来∠GEM=∠GFN，然后证明△GEM≌△GFN，可以判断B；
C：由四点共圆判断G，B两点之间距离的最大值为6即可，
D：由四点共圆判断点G到CD边的距离的最小值为1.
本题主要考查点与圆的位置关系、垂线段最短、矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及四边形内角和，关键是对知识的掌握和运用．
11.【答案】16
【解析】解：在“少年智则国智，少年富则国富；少年强则国强”这18个字中，“国”字有3个，
∴“国”字出现的频率是318=16；
故答案为：16.
先计算划线部分字的总数，再数“国”字个数，根据频率=频数除以总数的定义即可得．
本题主要考查频数与频率，频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值(或者百分比)，即频率=频数÷数据总数．
12.【答案】3
【解析】解：P(3,4)到y轴的距离是3.
故答案为：3.
根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
本题考查了点的坐标，熟记点到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
13.【答案】10
【解析】解：∵点(a,b)在一次函数y=2x−3的图象上，
∴b=2a−3，
∴2a−b=3，
∴6a−3b+1
=3(2a−b)+1
=3×3+1
=9+1
=10.
故答案为：10.
根据题意，将点(a,b)代入函数解析式即可求得2a−b的值，变形即可求得所求式子的值．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及整体代入法的运用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
14.【答案】y=28−0.6x
【解析】解：y=28−0.6x.
故答案为：y=28−0.6x.
根据y=28−海拔升高x(百米)后温度降低的度数，进而得出答案．
本题主要考查函数关系式，找到等量关系是解题的关键．
15.【答案】1200
【解析】解：∵点C、D分别为OA、OB的中点，
∴CD是△OAB的中位线，
∴AB=2CD，
∵CD=600m，
∴AB=1200m，
故答案为：1200.
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
16.【答案】5
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，BC=AD=8，AB=CD，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵DE=3，
∴AE=AD−DE=5=AB，
∴CD=AB=5，
故答案为：5.
由平行四边形的性质可得AD//BC，BC=AD=8，AB=CD，由角平分线的定义可得∠ABE=∠EBC=∠AEB，可证AB=AE，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键．
17.【答案】292
【解析】解：设OB=OA=x尺，
∵四边形BECD是矩形，
∴BD=EC=5尺，
在Rt△OBE中，OB=x尺，OE=(x−4)尺，BE=10尺，
∴x2=102+(x−4)2，
∴x=292.
∴OA的长度为292尺．
故答案为：292.
设OB=OA=x尺，在Rt△OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题．
本题考查勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
18.【答案】4 33
【解析】解：由图2知，菱形的边长为a，对角线AC=4，
则对角线BD为：2 a2−22=2 a2−4，
当点P在线段AC上运动时，
y=12AP×12BD=12 a2−4x，由图2知，当x=4时，y=a，
即a=12× a2−4×4，
解得：a=±4 33(负值舍去)，
∴a=4 33，
故答案为：4 33.
由图2知，菱形的边长为a，对角线AC=4，则对角线BD为：2 a2−22=2 a2−4，当点P在线段AC上运动时，y=12AP×12BD=12 a2−4x，即可求解．
本题考查的是动点问题的函数图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
19.【答案】解：每一个外角的度数是180÷(9+1)=18度，
360÷18=20，
则这个多边形是二十边形．
【解析】一个内角是一个外角的9倍，内角与相邻的外角互补，因而外角是18度，内角是162度．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
本题考查了多边形的内角与外角．根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
20.【答案】证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠ABC=∠DEF=90∘.
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
AC=DFAB=DE
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).
∴BC=EF.
∴BC−BE=EF−BE.
即：CE=BF.
【解析】先根据直角三角形全等的判定方法证得Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，则BC=EF，即CE=BF.
本题考查三角形全等的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL(直角三角形).判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
21.【答案】(1)证明：∵△AOB为等边三角形，
∴∠BAO=60∘=∠AOB，OA=OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴OA=OD，
∴∠OAD=30∘，
∴∠BAD=30∘+60∘=90∘，
∴平行四边形ABCD为矩形；
(2)解：∵△AOB为等边三角形，
∴∠BAO=60∘，
∴在Rt△ABC中，∠ACB=30∘，
∴AB=4，
∴AC=8，
∴AD= AC2−AB2=4 3.
【解析】(1)根据题意可求OA=OB=DO，∠AOB=60∘，可得∠BAD=90∘，即结论可得；
(2)根据含30∘角的直角三角形的性质和勾股定理可求AD的长．
本题考查了矩形的性质和判定，含30∘角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
22.【答案】解：(1)y=2xy=−12x+52，
解得x=1y=2，
∴B(1,2)，
对于直线y=−12x+52，
令y=0，可得x=5，
∴A(5,0)，
(2)结论：△ABO是直角三角形．
理由：∵OA=5，OB= 12+22= 5，AB= 42+22=2 5，
∴OA2=OB2+AB2，
∴∠OBA=90∘，
∴△ABO是直角三角形．
【解析】(1)联立两个方程进行解答即可；
(2)利用勾股定理以及勾股定理的逆定理判断即可．
本题主要考查了两条直线相交或平行的问题，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，关键是根据两条直线相交时交点为方程组的解进行解答．
23.【答案】0.35600.3
【解析】解：(1)八年级学生人数为20÷0.1=200(人)，
∴a=70÷200=0.35，b=200−20−40−70−10=60，c=60÷200=0.3.
故答案为：0.35；60；0.3.
(2)补全频数分布直方图如图所示．
(3)将八年级200名学生的1分钟跳绳次数的测试成绩按照从小到大的顺序排列，排在第100和101名的成绩排在120≤x<140范围内，
∴此次测试所得数据的中位数在120≤x<140范围内，
∴小健的成绩在120≤x<140范围内．
(4)此次测试中成绩优良的人数占总人数的百分比为70+60+10200×100%=70%.
(1)用表格中80≤x<100的频数除以频率可得八年级学生人数，用120≤x<140的频数除以八年级学生人数可得a的值，用八年级学生人数分别减去80≤x<100，100≤x<120，120≤x<140，160≤x<180的频数可得b的值，用b的值除以八年级学生人数可得c的值．
(2)根据(1)所求数据补全频数分布直方图即可．
(3)根据中位数的定义求出此次测试所得数据的中位数所在范围，即可得出答案．
(4)用跳绳次数在120次及以上的人数除以八年级学生人数再乘以100%可得答案．
本题考查频数(率)分布直方图、频数(率)分布表、中位数，能够读懂统计图表，掌握中位数的定义是解答本题的关键．
24.【答案】0 1 当x>1时，y随x的增大而增大(答案不唯一)x<0或x>4
【解析】解：(1)当x=−2时，y=|−2−1|−3=0，即m=0；
当y=−3时，|x−1|−3=−3，解得x=1，即n=1，
故答案为：0，1；
(2)在平面直角坐标系中，描出表中以各对x，y的值为坐标(x,y)的点，并画出该函数的图象如下：
(3)观察函数的图象可得，当x>1时，y随x的增大而增大；
故答案为：当x>1时，y随x的增大而增大(答案不唯一)；
(4)由图象的交点可得，关于x的不等式|x−1|−3>kx+b的解集为x<0或x>4.
故答案为：x<0或x>4.
(1)根据函数关系式计算即可；
(2)先描出相关点，再连线即可；
(3)观察图象即可得到答案(答案不唯一)；
(4)画出直线y=kx+b(k≠0)，再结合它与函数y=|x−1|−3的交点解答即可．
本题考查了一次函数的图象，一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系，能熟记一次函数的图象和性质，数形结合是解此题的关键．
25.【答案】解：(1)由图象可得，蓄电池剩余电量为30千瓦时时汽车已行驶了400千米．
(2)由题意，行驶100千米所消耗的电量为：90−304=15(千瓦时).
(3)由题意，当x≥400时，设y关于x的函数表达式为y=kx+b，
把(400,30)，(460,15)代入y=kx+b，得，
400k+b=30460k+b=15，
∴k=−14b=130.
∴当x≥400时，y=−14x+130.
(4)由题意，把y=10代入−14x+130=10，
∴x=480.
答：报警时汽车已行驶480千米．
【解析】(1)依据题意，由图象，即可判断得解；
(2)依据题意，行驶100千米所消耗的电量为：90−304=15(千瓦时)，进而可以得解；
(3)依据题意，当x≥400时，设y关于x的函数表达式为y=kx+b，再把(400,30)，(460,15)代入y=kx+b，进而计算可以得解；
(4)依据题意，把y=10代入−14x+130=10，计算即可得解．
本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
26.【答案】(1)证明：∵△AEO≌△BFO，
∴AE=BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90∘，
∴AB−AE=BC−BF，
∴BE=CF，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE2+BF2=EF2，
∴AE2+CF2=EF2；
(2)解：AE2+CF2=EF2成立，理由如下：
如图2，延长EO与DC相交于点G，连接FG，
∵点O是矩形ABCD的对角线交点，
∴AO=CO，AE//CG，∠BCD=90∘，
∴∠AEO=∠CGO，∠EAO=∠GCO，
∴△AEO≌△CGO(AAS)，
∴AE=CG，EO=GO，
∵∠A1OC1=90∘，EF=GF，
在Rt△CFG中，由勾股定理得CG2+CF2=FG2，
∴AE2+CF2=EF2；
(3)解：当CF=2时，EF=5 133或5 5，理由如下：
①如图3−1，点E，F分别在线段AB，BC时，
由(2)的结论可得AE2+CF2=EF2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得BE2+BF2=EF2，
∴AE2+CF2=BE2+BF2，
设BE=x，则AE=6−x，
∵CF=2，BF=8−2=6，
∴(6−x)2+22=x2+62，
∴x=13，
∴BE=x=13，
∴EF= x2+62= 3259=5 133；
②如图3−2，点E，F分别在线段 AB，BC的延长线上时，
由(2)的结论可得AE2+CF2=EF2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得BE2+BF2=EF2，
∴AE2+CF2=BE2+BF2，
设BE=x，则AE=6+x，
∵CF=2，BF=8+2=10，
∴(6+x)2+22=x2+102，
∴x=5，
∴BE=x=5，
∴EF= x2+102= 125=5 5，
综上所述：线段EF的长度为5 133或5 5.
【解析】(1)根据△AEO≌△BFO，得AE=BF，根据四边形ABCD是正方形，得AB=BC，∠ABC=90∘，再利用勾股定理即可解决问题；
(2)延长EO与DC相交于点G，连接FG，证明△AEO≌△CGO(AAS)，得AE=CG，EO=GO，再利用勾股定理即可解决问题；
(3)分两种情况讨论：①如图3−1，点E，F分别在线段AB，BC时，②如图3−2，点E，F分别在线段AB，BC的延长线上时，由(2)的结论可得AE2+CF2=EF2，利用勾股定理得BE2+BF2=EF2，得AE2+CF2=BE2+BF2，代入值计算即可解决问题．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、灵活利用方程思想是解题的关键．跳绳次数(x)
频数(人数)
频率
80≤x<100
20
0.1
100≤x<120
40
0.2
120≤x<140
70
a
140≤x<160
b
c
160≤x<180
10
0.05
x
…
−4
−2
−1
0
n
2
3
4
…
y
…
2
m
−1
−2
−3
−2
−1
0
…