六安市裕安区新安中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份六安市裕安区新安中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列统计量中，能度量一组数据离散程度的是( )
A.平均数B.中位数C.标准差D.众数
2．已知点P在平面内，且对空间任意一点O，若，则x的值为( )
A.B.C.D.
3．如图，在四面体中，点M在棱上，且满足，点N，G分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为( )
A.B.
C.D.
4．下列说法正确的是( )
A.直线必过定点
B.直线在y轴上的截距为1
C.直线的倾斜角为
D.过点且垂直于直线的直线方程为
5．如图，在正方体中，M，N，P分别为棱，，的中点，则与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
6．如图，是棱长为6的正方体，若，则点P到直线的距离为( )
A.4B.3C.2D.1
7．过定点A的直线与过定点B的直线交于点P（P与A、B不重合），则面积的最大值为( )
A.4B.C.2D.
8．在长方体中，，，O是的中点，点P在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知是直线l的方向向量，是平面的法向量，则( )
A.若，则
B.若，则，
C.若，则，
D.若，则
10．不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球.A表示事件“第二次取出的球上标有的数字大于等于”，B表示事件“两次取出的球上标有的数字之和为5”，则下列说法错误的是( )
A.B.
C.事件A与B相互独立D.
11．下列说法正确的是( )
A.“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件
B.直线的倾斜角的取值范围是
C.过，两点的所有直线，其方程均可写为
D.已知，，若直线与线段有公共点，则
12．在正方体中，，点P满足，其中，，则下列结论正确的是( )
A.当平面时，可能垂直
B.当时，的最小值为
C.若与平面所成的角为，则点P的轨迹的长度为
D.当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为
三、填空题
13．在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为29，30，39，25，37，41，42，32，那么这组数据的第75百分位数为__________.
14．经过点且在x轴上的截距等于y轴上截距的3倍的直线的方程为__________.
15．已知向量在向量上的投影向量为，则实数的取值范围为__________.
16．已知是棱长为4的正四面体的外接球的一条直径，点P是该正四面体表面上的一点，则的取值范围为__________.
四、解答题
17．已知三个顶点的坐标：，，.
（1）求过点A且与直线平行的直线的方程；
（2）求中边上的高所在直线的方程.
18．设直线的方程为，直线的方程为，其中.
（1）若直线经过第二､三､四象限，求a的取值范围；
（2）若直线，求a的值.
19．面对某种新型冠状病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A、B、C三个独立的研究机构在一定的时期研制出疫苗的概率分别为：，，.
（1）求这种疫苗能被研制出的概率；
（2）求至多有一个机构研制出这种疫苗的概率.
20．如图，在四棱锥中，平面，，，且，.
（1）求证：平面平面.
（2）若E为的中点，点M在上，且，求点M到平面的距离.
21．如图，四棱柱的底面是正方形，O为底面的中心，平面，.
（1）求证：平面；
（2）求平面和平面的夹角的正切值.
22．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，P为棱的中点，四棱锥的体积为.
（1）若E为棱的中点，求证：平面；
（2）在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点M的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：由方差的定义知，方差反映了一组数据的离散程度。
2．答案：B
解析：由点P在平面内，可知
又
，得
故选:B.
3．答案：D
解析：连接，因为点N，G分别是线段，的中点，
所以
化简可得.
故选:D.
4．答案：D
解析：对于选项A:直线可化为，所以直线必过定点，故选项A错误；
对于选项B:直线，令得，，所以直线在y轴上的截距为-1，故选项B错误；
对于选项C:直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，故选项C错误；
对于选项D:直线的斜率为，所以过点且垂直于直线的直线方程为，即，故选项D正确，故选:D.
5．答案：C
解析：如图以A为原点，分别以，，所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，，，，
所以，，设与所成的角为，
所以
与所成角的余弦值为
故选C
6．答案：A
解析：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则根据题意可得，，，，，，
又，
，，
在上的投影向量的长度为，
P到直线的距离为.
故选:A.
7．答案：B
解析：直线化为，可知定点，
动直线化为，令
解得，，可知定点，
又，
所以直线与直线、垂直，P为交点，
，
，当且仅当时，等号成立，即面积的最大值为.
故选:B.
8．答案：С
解析：以D为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，设，则，，，
设平面的法向量为
则，令，得
所以，
由于，，，
，，，
由于，所以
9．答案：AC
解析：，则，，
即，A正确，B错误；
，则，，解得，，C正确，D错误.
故选:AC.
10．答案：BC
解析：对于选项A:因为，所以，故A正确；
对于选项B:因为，所以，故B错误；
对于选项C:因为，所以事件A与B不相互独立，故C错误.
对于选项D:因为，则，所以，故D正确；
故选BC.
11．答案：ABD
解析：对于A,当时,两直线分别为和,此时两直线垂直,充分性成立;若两直线垂直,则,解得:或，必要性不成立；
""是"直线与直线互相垂直"的充分不必要条件,A正确;
对于B,由直线得：,
直线的斜率,即,
又,,B正确;
对于C,平行于坐标轴的直线,即或时,直线方程不能写为,C错误；
对于D,由得:直线l恒过定点;
,,
结合图象可知:,,D正确.
故选:ABD.
12．答案：ACD
解析：对于A选项：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，
所以，，
则，设平面的一个法向量为，
所以，令，则，即平面的一个法向量为，
若平面，则，即，则当时，，即P为中点时，有平面，且，故A正确；
B选项：如图，将平面与平面沿展成平面图形，
线段即为的最小值，
由余弦定理可知
所以，故B错误；
C选项：因为平面，连接，则即为与平面所成角，若与平面所成角为，则，所以，
即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，故C正确；
D选项：正方体经过点、P、C的截面为平行四边形，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，，，
所以点P到直线的距离为
，
于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为；
当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，故D正确.
13．答案：40
解析：将得分从小到大排列有25，29，30，32，37，39，41，42，
由，
故第75百分位数为.
故答案为:40.
14．答案：或
解析：当直线的截距都是零，即直线过原点时，可设其方程为，
代入点得
当直线截距不为零时，设该直线在y轴上截距为b，则其在x轴上的截距为，可设该直线方程为，代入点得，即
故答案为:或.
15．答案：
解析：由已知得，则向量在向量上的投影向量为，
所以，当时，，
当且仅当，即时，等号成立；当时(易错:此处极易出棤，运用基本不等式时要注意"一正二定三相等"，此处x正负未知，所以要分和两种情况进行讨论)，，当且仅当，即时，等号成立.则实数的取值范围为.
16．答案：
解析：设正四面体的外接球球心为O，外接球半径为R.内切球半径为y，且平面于H，则，；
由得.
且，此时点P在四面体的四个项点处，
则；
，此时P为该正四面体的内切球与各面的切点。
则；
所以的取值范围为.
故答案为:
17．答案：（1）
（2）
18．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由题意得：，解得：
（2）因为，所以，解得：或
检验：当时，与重合，应舍去；当时，.
综上：
19．答案：（1）；
（2）
解析：（1）记“A机构在一定时期研制出疫苗”为事件D，“B机构在一定时期研制出疫苗”为事件E，“C机构在一定时期研制出疫苗”为事件F，显然事件D，E，F相互独立，且
，，，
设能研制出疫苗为事件M，其对立事件是都没有研制出疫苗的事件，
则，
所以他们能研制出疫苗的概率是.
（2）至多有一个机构研制出疫苗的事件为N，则
所以至多有一个机构研制出疫苗的概率是.
20．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）作，垂足为F，由题意可知：，，且，则四边形为正方形，
所以，，
又因为，可知，即，
因为平面，平面，所以.
且，平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）以点A为坐标原点，以，，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.
，则，，.
设平面的法向量为，则，
令，则，，可得平面的一个法向量为，
设点M到平面的距离为d，则
所以点M到平面的距离为.
21．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）因为平面，且平面，所以在正方形中，，，
所以平面，且平面，故.
在中，易求得，，所以，
所以，又因为，所以
又平面，且平面，且，所以平面.
（2）如图，，，两两垂直，则以O为原点，分别以向量，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.
，，
，，，，，
由，易得，则，.
设平面的一个法向量为
则得取，得，.
又，，设平面的一个法向量为，
则，得，取，得所以，
平面和平面的夹角的余弦值为，故夹角的正弦值为，
平面和平面的夹角的正切值为.
22．答案：（1）证明见解析；
（2）存在点M，位于的中点处
解析：（1）取中点F，连接，，E，F分别为，的中点，
，底面四边形是矩形，P为棱的中点，，.
，，故四边形是平行四边形，所以.
又平面，平面，平面.
（2）假设在棱上存在点M满足题意，
在等边中，P为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，则是四棱锥的高.
设，则，，
，所以.
以点P为原点，，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
故，，.
设，.
设平面的一个法向量为，
则，令得.
由题意可得
整理得，解得或又因为，所以
故存在点M，位于的中点处满足题意.