2025高考数学复习“16道小题保分练＋1道大题增分练”天天练(十六—三十)【含答案】

这是一份2025高考数学复习“16道小题保分练＋1道大题增分练”天天练(十六—三十)【含答案】，共109页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1．设集合A＝{x|lg x0，
故g(x)>0，
当x>1时，g′(x)＝ex－1－ln x－sin x，
设h(x)＝ex－1－ln x－sin x，则h′(x)＝ex－eq \f(1,x)－cs x，h′(x)>e－1－1>0，
则h(x)在(1，＋∞)上单调递增，h(x)>h(1)＝e－1－sin 1>0，所以g′(x)>0，
则g(x)在(1，＋∞)上单调递增，g(x)>g(1)＝e－1＋cs 1>0，
综上，g(x)>0，即当a≥1时，f(x)>x(ln x－1)－cs x.
“16道小题保分练＋1道大题增分练”天天练(十八)
小题限时保分练—选自2022·衡水模拟卷(限时45分钟)
一、单项选择题
1．设全集U＝R，且A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|2x0，得kπ－eq \f(π,6)0.024＝eq \f(3,125)，A正确；
假定eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))eq \r(2)eq \f(2x－1,x＋1)，lneq \f(6,5)>eq \f(2,11)，(eq \r(3)－eq \r(2))lneq \f(6,5)>eq \f(2,11)(eq \r(3)－eq \r(2))，
令g(x)＝ln x－eq \f(x－1,\r(x))，x>1，则g′(x)＝eq \f(－\r(x)－12,2\r(x)·x)＜0，在(1，＋∞)上恒成立，故g(x)在(1，＋∞)上单调递减，
则g(x)1时，ln x20eq \r(6)，
因为49>eq \r(492－1)＝eq \r(50×48)＝20eq \r(6)成立，
则eq \r(2)lneq \f(25,24)c，所以e＝eq \f(c,a)b>c B． a>c>b
C．c>a>b D． c>b>a
解析：选D 设ln a＝2b＝c－eq \f(1,2)＝t，t>0，
则a＝et，b＝lg2t，c＝eq \f(1,t2)，
在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝ex，y＝lg2x，y＝eq \f(1,x2)的图象，
当t＝x1时，c>a>b，
当t＝x2时，a>c>b，
当t＝x3时，a>b>c，
由此可以看出，不可能出现c>b>a这种情况．
8．随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升．某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程．甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件A＝“甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件B＝“甲、乙两人所选课程完全不同”，事件C＝“甲、乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则( )
A．A与B为对立事件 B．A与C互斥
C．A与C相互独立 D．B与C相互独立
解析：选C 依题意甲、乙两人所选课程有如下情形①有一门相同，②两门都相同，③两门都不相同；
故A与B互斥不对立，A与C不互斥，
所以P(A)＝eq \f(C\\al(1,4)·C\\al(1,3)·C\\al(1,2),C\\al(2,4)·C\\al(2,4))＝eq \f(2,3)，P(B)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(2,4)·C\\al(2,4))＝eq \f(1,6)，P(C)＝eq \f(C\\al(2,3)·C\\al(2,3),C\\al(2,4)·C\\al(2,4))＝eq \f(1,4)，且P(AC)＝eq \f(C\\al(1,3)·C\\al(1,2),C\\al(2,4)·C\\al(2,4))＝eq \f(1,6)，P(BC)＝0，所以P(AC)＝P(A)·P(C)，P(BC)≠P(B)·P(C)，即A与C相互独立，B与C不相互独立．
二、多项选择题
9．已知函数f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))))，则下列说法正确的有( )
A．函数f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))对称
B．函数f(x)图象的一条对称轴是x＝eq \f(π,6)
C．若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))，则函数f(x)的最小值为eq \r(3)
D．若f(x1)f(x2)＝4，x1≠x2，则|x1－x2|的最小值为eq \f(π,2)
解析：选BCD 在f(x)的图象上取一点(0，eq \r(3))，其关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))对称的点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，－\r(3)))不在f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))))的图象上，所以函数f(x)的图象不关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))对称，故A不正确；
因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))))＝f(x)，所以函数f(x)图象的一条对称轴是x＝eq \f(π,6)，故B正确；
若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))，则2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))，所以f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))))∈[eq \r(3)，2]，故C正确；
因为f(x)max＝2，所以f(x1)＝f(x2)＝2，所以|x1－x2|min＝eq \f(2π,2)·eq \f(1,2)＝eq \f(π,2)，故D正确．
10．已知随机变量X服从二项分布B(4，p)，其数学期望E(X)＝2，随机变量Y服从正态分布N(p,4)，且P(X＝3)＋P(Y1－a)＝eq \f(1,4) D．P(Y>1－a)＝eq \f(3,4)
解析：选BD 因为E(X)＝4p＝2，所以p＝eq \f(1,2)，即A错误，B正确；易知Y～Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，4))，因为P(X＝3)＝Ceq \\al(3,4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4＝eq \f(1,4)，所以P(Y1－a)＝eq \f(3,4)，即C错误，D正确．
11．已知定义在[1,6]上的函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)，则( )
A．任意a，b，c∈[1,6]，f(a)，f(b)，f(c)均能作为一个三角形的三条边长
B．存在a，b，c∈[1,6]，使得f(a)，f(b)，f(c)不能作为一个三角形的三条边长
C．任意a，b，c∈[1,6]，f(a)，f(b)，f(c)均不能成为一个直角三角形的三条边长
D．存在a，b，c∈[1,6]，使得f(a)，f(b)，f(c)能成为一个直角三角形的三条边长
解析：选AD 函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)在[1,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，f(x)min＝f(2)＝4，f(x)max＝f(6)＝eq \f(20,3)，
任意a，b，c∈[1,6]，不妨令f(a)≥f(b)≥f(c)，则f(b)＋f(c)≥2f(c)≥2f(x)min>f(x)max≥f(a)，
即f(a)，f(b)，f(c)均能作为一个三角形的三条边长，A正确，B错误；
取a＝b＝2，c＝2eq \r(2)＋2，满足a，b，c∈[1,6]，则f(a)＝f(b)＝4，f(c)＝4eq \r(2)，显然有[f(a)]2＋[f(b)]2＝[f(c)]2，即f(a)，f(b)，f(c)为边的三角形是直角三角形，C错误，D正确．
12．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，CC1＝2AB＝2，E为CC1的中点，P为棱AA1上的动点，平面α过B，E，P三点，则( )
A．平面α⊥平面A1B1E
B．平面α与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形
C．当P与A重合时，α截此四棱柱的外接球所得的截面面积为eq \f(11,8)π
D．存在点P，使得AD与平面α所成角的大小为eq \f(π,3)
解析：选AC 因为CC1＝2AB＝2，E为CC1的中点，底面ABCD为正方形，
所以B1E⊥BE，又因为A1B1⊥平面BCC1B1，BE⊂平面BCC1B1，
所以A1B1⊥BE，因为B1E∩A1B1＝B1，
所以BE⊥平面A1B1E，因为BE⊂平面α，
所以平面α⊥平面A1B1E，即A正确；
当PA>PA1时，画出平面α与正四棱柱表面的交线围成的图形如图1：
其中F在线段A1D1上，G在D1C1上，BP∥EG，BE∥PF，
可知交线围成的图形为五边形，即B错误；
如图2，当P与A重合时，取DD1的中点F，截面为图中的矩形ABEF.以A为坐标原点，AD，AB，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
Oeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，A(0,0,0)，
B(0，1,0)，E(1,1,1)，
设平面ABEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·eq \(BE,\s\up7(―→))＝x＋z＝0，,n·eq \(AB,\s\up7(―→))＝y＝0，))令x＝1，则z＝－1，
则n＝(1,0，－1)，
球心O到平面ABEF的距离d＝eq \f(|eq \(AO,\s\up7(―→))·n|,|n|)＝eq \f(\r(2),4)，
此正四棱柱的外接球半径为R＝eq \f(AC1,2)＝eq \f(\r(6),2)，
所以截面半径r＝eq \r(R2－d2)＝eq \r(\f(11,8))，则截面面积S＝πr2＝eq \f(11,8)π，即C正确；
设P(0,0，m)，0≤m≤2，
则平面α的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·eq \(BE,\s\up7(―→))＝x1＋z1＝0，,n1·eq \(BP,\s\up7(―→))＝－y1＋mz1＝0，))
令z1＝1，则x1＝－1，y1＝m，所以n1＝(－1，m,1)，
设AD与平面α所成的角为θ，
则sin θ＝|cs〈n1，eq \(AD,\s\up7(―→))〉|＝eq \f(|n1|·|eq \(AD,\s\up7(―→))|,|n1·eq \(AD,\s\up7(―→))|)＝eq \f(1,\r(2＋m2))≤eq \f(\r(2),2)，
因为y＝sin x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，所以θ∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，
所以不存在点P，使得AD与平面α所成角的大小为eq \f(π,3)，即D错误．
三、填空题
13.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x3－\f(1,x2)))5展开式中的常数项是__________．
答案：－40
14．已知圆锥同时满足条件：①侧面展开图为半圆；②底面半径为正整数，请写出一个这样的圆锥的体积V＝__________.
解析：设底面半径r＝1，母线长为l，由展开图为半圆，可知2π＝l·π，所以l＝2，所以高h＝eq \r(l2－r2)＝eq \r(3)，则体积V＝eq \f(1,3)·π·eq \r(3)＝eq \f(\r(3),3)π.
答案：eq \f(\r(3),3)π(答案不唯一)
15．在平面直角坐标系xOy中，已知点P(1,2)，直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝5交于A，B两点，若△PAB为正三角形，则实数m的值是__________．
解析：由题意可知P(1,2)在圆上， 如图，设AB中点为H，连接PH，则PH过点O，且PH⊥AB ，则直线l的斜率k＝－eq \f(1,kOP)＝－eq \f(1,2) ，
故y＝kx＋m即为y＝－eq \f(1,2)x＋m，
因为△PAB为正三角形，则O点为△PAB的中心，
则OH＝eq \f(OP,2)＝eq \f(\r(5),2)，故eq \f(|m|,\r(1＋\f(1,4)))＝eq \f(\r(5),2) ，解得m＝±eq \f(5,4) ，
结合P(1,2)在圆上，△PAB是圆的内接正三角形，可知m0，b>0，由基本不等式可得a＋b≥2eq \r(ab)，当且仅当a＝b时等号成立，
又a＋b＝2，所以ab≤1，当且仅当a＝b＝1时等号成立，故ab的最大值为1，A错误；
lg2a＋lg2b＝lg2ab≤0，当且仅当a＝b＝1时等号成立，B正确；
2a＋2b≥2eq \r(2a2b)＝2eq \r(2a＋b)＝4，当且仅当a＝b＝1时等号成立，C正确；
eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \f(1,2)(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\f(2a,b)＋\f(b,a)))≥eq \f(1,2)(3＋2eq \r(2))，当且仅当a＝2eq \r(2)－2，b＝4－2eq \r(2)时等号成立，D错误．
10．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0，则下列说法正确的是( )
A.eq \f(y,x)的最大值为eq \f(4,3)
B.eq \f(y,x)的最小值为0
C．x2＋y2的最大值为eq \r(5)＋1
D．x＋y的最大值为3＋eq \r(2)
解析：选ABD 由实数x，y满足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0可得点(x，y)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝1上，作其图象如图，因为eq \f(y,x)表示点(x，y)与坐标原点连线的斜率，
设过坐标原点的圆的切线方程为y＝kx，则eq \f(|2k－1|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝0或k＝eq \f(4,3)，
∴eq \f(y,x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(4,3)))，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)))max＝eq \f(4,3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)))min＝0，A、B正确；
x2＋y2表示圆上的点(x，y)到坐标原点的距离的平方，圆上的点(x，y)到坐标原点的距离的最大值为|OC|＋1，
所以x2＋y2最大值为(|OC|＋1)2，又|OC|＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，
所以x2＋y2的最大值为6＋2eq \r(5)，C错误；
因为x2＋y2－4x－2y＋4＝0可化为(x－2)2＋(y－1)2＝1，
故可设x＝2＋cs θ，y＝1＋sin θ，
所以x＋y＝2＋cs θ＋1＋sin θ＝3＋eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))，
所以当θ＝eq \f(π,4)时，即x＝2＋eq \f(\r(2),2)，y＝1＋eq \f(\r(2),2)时x＋y取最大值，最大值为3＋eq \r(2)，D正确．
11．已知函数f(x)＝sin xcs x－eq \r(3)cs 2x＋eq \f(\r(3),2)，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)的对称轴方程为x＝kπ＋eq \f(5π,12)(k∈Z)
C．函数f(x)的图象可由y＝sin 2x的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度得到
D．方程f(x)＝－eq \f(\r(3),2)在[0,10]内有7个根
解析：选ACD f(x)＝sin xcs x－eq \r(3)cs2x＋eq \f(\r(3),2)
＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \r(3)·eq \f(1＋cs 2x,2)＋eq \f(\r(3),2)
＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \f(\r(3),2)cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，
对于A，函数f(x)的最小正周期为eq \f(2π,2)＝π，所以A正确；
对于B，由2x－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，得x＝eq \f(5π,12)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，所以函数f(x)的对称轴方程为x＝eq \f(5π,12)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，所以B错误；
对于C，y＝sin 2x的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得y＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，所以函数f(x)的图象可由y＝sin 2x的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度得到，所以C正确；
对于D，由f(x)＝－eq \f(\r(3),2)，得2x－eq \f(π,3)＝eq \f(4π,3)＋2kπ，k∈Z或2x－eq \f(π,3)＝eq \f(5π,3)＋2kπ，k∈Z，得x＝eq \f(5π,6)＋kπ，k∈Z或x＝π＋kπ，k∈Z，
由0≤eq \f(5π,6)＋kπ≤10，k∈Z，得k＝0,1,2，
由0≤π＋kπ≤10，k∈Z，得k＝－1,0,1,2，
所以方程f(x)＝－eq \f(\r(3),2)在[0,10]内有7个根，所以D正确．
12．已知函数f(x)＝ax2＋2ln x(a∈R)有两个不同的零点x1，x2，符号[x]表示不超过x的最大整数，如[0.5]＝0，[1.2]＝1，则下列结论正确的是( )
A．a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,e)，＋∞))
B．a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,e)，0))
C．[x1]＋[x2]≥3
D．若[x1]＋[x2]＝4，则a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2ln 3,9)，－\f(ln 2,4)))
解析：选BD 函数f(x)＝ax2＋2ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2ax＋2eq \f(1,x)＝eq \f(2ax2＋1,x)，
当a≥0时，f′(x)≥0，函数f(x)＝ax2＋2ln x在(0，＋∞)上单调递增，
函数f(x)＝ax2＋2ln x在(0，＋∞)上至多只有一个零点，与条件矛盾，
当a