2025高考数学一轮复习-1.4-基本不等式及其应用-专项训练【含答案】

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这是一份2025高考数学一轮复习-1.4-基本不等式及其应用-专项训练【含答案】，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．已知4a2＋b2＝6，则ab的最大值为( )
A．34 B．32
C．52 D．3
2．已知0A．2 B．4
C．5 D．6
3．若正数x，y满足x＋6y＝3，则3yx+1y的最小值为( )
A．4 B．98
C．23 D．2
4．下列函数中，函数的最小值为2的是( )
A．y＝x＋2x
B．y＝x2+3x2+2
C．y＝ex＋e－x
D．y＝lg3x＋lgx3(05．)现设计一个两邻边长度分别为a，b的矩形广告牌，其面积为S，且S＝a－b＋5，则当该广告牌的周长l最小时，S＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
6．原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是( )
A．第一种方案更划算
B．第二种方案更划算
C．两种方案一样
D．无法确定
二、多项选择题
7．下列说法正确的有( )
A．若x<12，则2x＋12x−1的最大值是－1
B．若x>－2，则x+6x+2≥4
C．若x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最大值是2
D．若x<1，则x2−x+9x−1有最大值－5
8．(2024·河南信阳模拟)已知正实数x，y满足2x＋y＝3，则( )
A．xy≤98 B．4x＋2y≥42
C．x2＋y24≤98 D．xy+1x≥23+233
三、填空题
9．已知a＞0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为________ ；a＋b的取值范围是________．
10．已知正实数x，y满足x＋y＝1，则x2＋y2的最小值为________；若1x+4y≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．
四、解答题
11．某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为多少时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)?
12．甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h，已知货车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变成本是v24(速度v的单位为km/h)元，固定成本为a元．
(1)将全程运输成本y(单位：元)表示为速度v(单位：km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？
13．某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3 m，底面为24 m2，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的背面靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左、右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14 400元．设屋子的左、右两面墙的长度均为x m(3≤x≤6)．
(1)当左、右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；
(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为1 800a1+xx元(a>0)，若无论左、右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．
参考答案
1．B [由题意得，6＝4a2＋b2＝(2a)2＋b2≥2·2a·b，即ab≤32，
当且仅当2a＝b，即a＝32，b＝3或a＝－32，b＝－3时等号成立，
所以ab的最大值为32.故选B.]
2．B [因为0当且仅当x2＝4－x2时取等号，因为03．A [∵x，y为正数，x＋6y＝3，
∴3yx+1y＝3yx+x+6y3y＝3yx+x3y＋2≥23yx·x3y＋2＝4当且仅当3yx=x3y，即x=1，y=13时取等号，即3yx+1y的最小值为4.故选A.]
4．C [当x＜0时，选项A不符合；当0＜x＜1时，lg3x＜0，lgx3＜0，选项D不符合；因为y＝x2+3x2+2＝1x2+2+x2+2＞2，故选项B不符合．因为ex＞0，e－x＞0，所以y＝ex＋e－x≥2ex·e−x＝2，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时，等号成立．故选C.]
5．A [由题意知a>0，b>0，且ab＝a－b＋5，所以b＝a+5a+1，则该广告牌的周长l＝2(a＋b)＝2a+a+5a+1＝2a+1+4a+1≥2×2a+1·4a+1＝8，当且仅当a＋1＝4a+1，即a＝1，b＝3时，取得等号，此时S＝ab＝3.
故选A.]
6．B [设小李这两次加油的油价分别为x元/升、y元/升(x≠y)，则
方案一：两次加油平均价格为40x+40y80＝x+y2>xy，
方案二：两次加油平均价格为400200x+200y＝2xyx+y＜xy，故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算．故选B.]
7．ABD [对于A，因为x<12，所以2x－1<0，1－2x>0，所以2x＋12x−1＝(2x－1)＋12x−1＋1＝－1−2x+11−2x＋1≤－21−2x·11−2x＋1＝－1(当且仅当x＝0时等号成立)，此时2x＋12x−1有最大值为－1，故A正确；
对于B，因为x>－2，所以x＋2>0，所以x+6x+2＝x+2+4x+2＝x+2+4x+2≥2x+2·4x+2＝4，当且仅当x+2＝4x+2，即x＝2时取等号，故B正确；
对于C，因为x>0，y>0，所以x·2y≤x+2y22，即2xy≤x+2y24，因为x＋2y＋2xy＝8，所以2xy＝8－(x＋2y)，所以8－(x＋2y)≤x+2y24，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，解得x＋2y≤－8(舍去)或x＋2y≥4(当且仅当x＝2y时等号成立)，所以x＋2y的最小值为4，故C错误；
对于D，x2−x+9x−1＝x−12+x−1+9x−1＝－1−x+91−x＋1≤－29＋1＝－5，当且仅当－(x－1)＝－9x−1，即x＝－2时，等号成立．故D正确．]
8．ABD [因为2x＋y＝3，且x，y均为正实数，所以由基本不等式得2x＋y＝3≥22xy，即xy≤98，4x＋2y≥24x×2y＝222x+y＝42，当且仅当2x＝y时等号成立，A，B正确；
由不等式a2+b22≥a+b2，得4x2+y22≥2x+y2，所以4x2＋y2≥2x+y22，即x2＋y24≥98，当且仅当2x＝y时等号成立，C错误或x2+y24=144x2+y2=143−y2+y2=14 2y−322+92 ≥98.
因为2x＋y＝3，所以xy+1x＝xy+13x(2x＋y)＝23+xy+y3x≥23＋2xy·y3x＝23+233，当且仅当y＝3x时等号成立，D正确．故选ABD.]
9．[9，＋∞) [6，＋∞) [因为a＞0，b>0，所以ab－3＝a＋b≥2ab，于是ab－2ab－3≥0，解得ab≤－1(舍去)或ab≥3，所以ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，所以ab的取值范围是[9，＋∞)．
因为a＞0，b>0，所以a＋b＋3＝ab ≤a+b22，变形，得(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号，即a＋b的取值范围是[6，＋∞)．]
10．12 (－∞，9] [因为x＋y＝1，所以xy≤x+y22＝14，
所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy≥1－14×2＝12，当且仅当x＝y＝12时取等号，即x2＋y2的最小值为12.
若a≤1x+4y恒成立，则a≤1x+4ymin，
因为1x +4y＝1x+4y(x＋y)＝5＋yx+4xy≥5＋2yx·4xy＝9，当且仅当2x＝y，即x＝13，y＝23时等号成立，所以1x+4y的最小值为9，即a≤9，
故实数a的取值范围是(－∞，9].]
11．解：设直角梯形的高为x cm，
∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm，
∴海报宽AD＝(x＋4)cm，海报长DC＝1 440x+8cm，
故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)1 440x+8＝8x＋5 760x＋1 472≥28x·5 760x＋1 472＝1925＋1 472，
当且仅当8x＝5 760x，即x＝125时，等号成立．
∴当直角梯形的高为125 cm时，用纸量最少．
12．解：(1)由题意得，可变成本为14v2元，固定成本为a元，所用时间为1 000v小时，所以y＝1 000v14v2+a＝1 00014v+av，定义域为(0，80].
(2)y＝1 00014v+av≥1 000×2a4＝1 000a，当14v＝av时，得v＝2a，因为0所以当0当a＞1 600时，货车以80 km/h的速度行驶，全程运输成本最小．
13．解：(1)设甲工程队的总报价为y元，
则y＝3300×2x+400×24x＋14 400＝1 800x+16x＋14 400≥1 800×2x·16x＋14 400＝28 800，当且仅当x＝16x，即x＝4时等号成立．
故当左、右两侧墙的长度为4 m时，甲工程队的报价最低为28 800元．
(2)由题意可得1 800x+16x＋14 400>1 800a1+xx，对任意的x∈[3，6]恒成立，故x+42x＞a1+xx，从而x+42x+1>a恒成立，
令x＋1＝t，x+42x+1＝t+32t＝t＋9t＋6，t∈[4，7].
令g(t)＝t＋9t＋6，则g(t)在t∈[4，7]上单调递增，故g(t)min＝12.25.
所以a的取值范围为(0，12.25)．
点拨：当f (x)＝x＋ax(a＞0)不能用基本不等式求最值(“＝”取不到)时，要用对勾函数的单调性