2025高考数学一轮复习-2.3-函数的奇偶性与周期性-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-2.3-函数的奇偶性与周期性-专项训练【含解析】，共11页。

A. y=sinx B. y=2x C. y=lg2x D. y=x3
2. [2023·广东顺德高三模拟]已知定义域为[a−4,2a−2] 的奇函数fx=x3−sinx+b+2 ，则fa+fb= ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 不能确定
3. 设偶函数fx 的定义域为R ，当x∈[0,+∞) 时，fx 是增函数，则f−2 ,fπ ,f−3 的大小关系是( )
A. fπ>f−3>f−2 B. fπ>f−2>f−3
C. fπ4.已知偶函数fx 对任意的x∈R 都有fx+2−fx=f1 ，且f0=8 ，则f99+f100= ( )
A. 0 B. 6 C. 8 D. 16
5.（多选）已知函数fx 为R 上的奇函数，gx=fx+1 为偶函数，下列说法正确的有( )
A. fx 的图象关于点−1,0 对称
B. g2023=0
C. gx 的周期为4
D. 对任意x∈R 都有f1−x=f1+x
6. 设偶函数fx 的定义域为[−5,5] ，若当x∈[0,5] 时，fx 的图象如图所示，则不等式fx<0 的解集为 .
7.已知函数fx=x3+1,x>0，ax3+b,x<0 为偶函数，则2a+b= .
8. 设fx 是定义在R 上的周期为2的函数，当x∈(−1,1] 时，fx=x2+2x+m,−19. 设fx 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ,恒有fx+2=−fx .当x∈[0,2] 时，fx=2x−x2 .
（1） 求证：fx 是周期函数；
（2） 当x∈[2,4] 时，求fx 的解析式.
[B级 综合运用]
10. 已知fx 是R 上的最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2 时，fx=x3−x ,则函数y=fx 的图象在区间[0,4] 上与x 轴的交点的个数为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
11. （多选）已知fx 的定义域为R ，其函数图象关于直线x=−3 对称，且fx+3=fx−3 ,若当x∈[0,3] 时，fx=4x+2x−11 ,则下列结论正确的有( )
A. fx 为偶函数B. fx 在[−6,−3] 上单调递减
C. fx 关于直线x=3 对称D. f100=9
12.（多选） 已知函数fx 及其导函数f′x 的定义域均为R ，记gx=f′x .若f32−2x ，g2+x 均为偶函数，则( )
A. f0=0 B. g−12=0 C. f−1=f4 D. g−1=g2
13. 若函数fx 称为“准奇函数”，则必存在常数a ,b ,使得对定义域内的任意x 值，均有fx+f2a−x=2b ，则a=2 ,b=2 的一个“准奇函数”为 （填写解析式）
14.已知函数fx 是定义在R 上的奇函数，当x∈[0,+∞) 时，fx=x2+x+2x+m .
（1） 求fx 在−∞,0 上的解析式；
（2） 若f2a2−1+fa<0 ，求实数a 的取值范围.
[C级 素养提升]
15.已知函数fx 的定义域为R ，且fx+y+fx−y=fxfy ,f1=1 ,则∑22k=1fk= ( )
A. −3 B. −2 C. 0 D. 1
16.设函数fx 的定义域为R .若存在常数T ，AT>0,A>0 ，使得对任意x∈R ，fx+T=Afx 都成立，则称函数fx 具有性质P .
（1） 判断函数y=x 和y=csx 是否具有性质P？ （结论不要求证明）
（2） 若函数fx 具有性质P ，且其对应的T=π ，A=2 .当x∈(0,π] 时，fx=sinx ，求函数fx 在区间[−π,0] 上的最大值.
2025高考数学一轮复习-2.3-函数的奇偶性与周期性-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 下列函数既是奇函数又是增函数的是( D )
A. y=sinx B. y=2x C. y=lg2x D. y=x3
[解析]选D.对于A，因为函数y=sinx 在其定义域内既有增区间又有减区间，所以函数y=sinx 不符合题意，故A不正确；对于B，因为指数函数在其定义域上是非奇非偶函数，所以函数y=2x 不符合题意，故B不正确；对于C，因为对数函数的定义域为0,+∞ ，所以函数y=lg2x 是非奇非偶函数，故C不正确；对于D，y=x3 是奇函数，且是R 上的增函数.故选D.
2. [2023·广东顺德高三模拟]已知定义域为[a−4,2a−2] 的奇函数fx=x3−sinx+b+2 ，则fa+fb= ( A )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 不能确定
[解析]选A.依题意得a−4+2a−2=0 ，解得a=2 ，由f0=b+2=0 ，得b=−2 ，所以fa+fb=f2+f−2=0 .故选A.
3. 设偶函数fx 的定义域为R ，当x∈[0,+∞) 时，fx 是增函数，则f−2 ,fπ ,f−3 的大小关系是( A )
A. fπ>f−3>f−2 B. fπ>f−2>f−3
C. fπ[解析]选A.因为fx 是偶函数，所以f−3=f3 ,f−2=f2 .又因为函数fx 在[0,+∞) 上是增函数，所以fπ>f3>f2 ,即fπ>f−3>f−2 .
4.已知偶函数fx 对任意的x∈R 都有fx+2−fx=f1 ，且f0=8 ，则f99+f100= ( C )
A. 0 B. 6 C. 8 D. 16
[解析]选C.因为fx 为偶函数，fx+2−fx=f1 ，所以f−1+2−f−1=f1 ，解得f1=0 ，
所以fx+2=fx ，即fx 的周期为2，
所以f100=f0=8 ，f99=f1=0 ，故f99+f100=8 .故选C.
5.（多选）已知函数fx 为R 上的奇函数，gx=fx+1 为偶函数，下列说法正确的有( BCD )
A. fx 的图象关于点−1,0 对称
B. g2023=0
C. gx 的周期为4
D. 对任意x∈R 都有f1−x=f1+x
[解析]选BCD.因为fx 为R 上的奇函数，则fx=−f−x ，f0=0.gx=fx+1 为偶函数，即fx 关于直线x=1 轴对称，则fx=f−x+2 .
所以f−x=fx+2=−fx ，则fx+4=−fx+2=fx ，则fx 的周期为4.对A，−f−x−2=fx+2=f−x≠fx ，故fx 的图象不关于点−1,0 对称，A错误；
对B，g2023=g4×506−1=g−1=f0=0 ，B正确；
对C，fx 的周期为4，gx=fx+1=fx+5=gx+4 ，gx 的周期为4，C正确；
对D，f1−x=f[−1−x+2]=fx+1 ，D正确.故选BCD.
6. 设偶函数fx 的定义域为[−5,5] ，若当x∈[0,5] 时，fx 的图象如图所示，则不等式fx<0 的解集为[−5,−2)∪(2,5] .
[解析]由题图可知，当00 ；当20 ;当−5≤x<−2 时，fx<0 .综上，不等式fx<0 的解集为[−5,−2)∪(2,5] .
7.已知函数fx=x3+1,x>0，ax3+b,x<0 为偶函数，则2a+b= 32 .
[解析]因为fx 为偶函数，所以f−1=f1，f−2=f2， 所以−a+b=2，−8a+b=9， 解得a=−1，b=1. 经检验，a=−1，b=1 符合题意，所以2a+b=32 .
8. 设fx 是定义在R 上的周期为2的函数，当x∈(−1,1] 时，fx=x2+2x+m,−1[解析]由题意得，f32=f−12=−122+2×−12+m=−34+m ,f116=116=14 ,所以14=−34+m ，解得m=1 .
9. 设fx 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ,恒有fx+2=−fx .当x∈[0,2] 时，fx=2x−x2 .
（1） 求证：fx 是周期函数；
[答案]解：证明：因为fx+2=−fx ,
所以fx+4=−fx+2=fx .
所以fx 是周期为4的周期函数.
（2） 当x∈[2,4] 时，求fx 的解析式.
[答案]因为x∈[2,4] ,所以−x∈[−4,−2] ,
所以4−x∈[0,2] ,
所以f4−x=24−x−4−x2=−x2+6x−8 .
因为f4−x=f−x=−fx ,
所以−fx=−x2+6x−8 ,
即当x∈[2,4] 时，fx=x2−6x+8 .
[B级 综合运用]
10. 已知fx 是R 上的最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2 时，fx=x3−x ,则函数y=fx 的图象在区间[0,4] 上与x 轴的交点的个数为( D )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
[解析]选D.当0≤x<2 时，fx=x3−x=xx2−1=0 ,所以y=fx 的图象与x 轴交点的横坐标分别为x1=0 ,x2=1 ;当2≤x<4 时，0≤x−2<2 ,又fx 的最小正周期为2，所以fx−2=fx ,所以fx=x−2x−1x−3 ，所以当2≤x<4 时，y=fx 的图象与x 轴交点的横坐标分别为x3=2 ,x4=3 .又f4=f2=f0=0 .综上可知，共有5个交点.
11. （多选）已知fx 的定义域为R ，其函数图象关于直线x=−3 对称，且fx+3=fx−3 ,若当x∈[0,3] 时，fx=4x+2x−11 ,则下列结论正确的有( ACD )
A. fx 为偶函数B. fx 在[−6,−3] 上单调递减
C. fx 关于直线x=3 对称D. f100=9
[解析]选ACD.fx 的图象关于直线x=−3 对称，则f−x=fx−6 .又fx+3=fx−3 ,则fx 的周期T=6 ，所以f−x=fx−6=fx ,所以fx 为偶函数，故A正确；当x∈[0,3] 时，fx=4x+2x−11 单调递增，因为T=6 ，故fx 在[−6,−3] 上也单调递增，故B不正确；fx 关于直线x=−3 对称且T=6 ，所以fx 关于直线x=3 对称，故C正确；f100=f16×6+4=f4=f−2=f2=9 ,故D正确.
12.（多选） 已知函数fx 及其导函数f′x 的定义域均为R ，记gx=f′x .若f32−2x ，g2+x 均为偶函数，则( BC )
A. f0=0 B. g−12=0 C. f−1=f4 D. g−1=g2
[解析]选BC.因为f32−2x 为偶函数，所以f32−2x=f32+2x ，所以函数fx 的图象关于直线x=32 对称，f32−2×54=f32+2×54 ，即f−1=f4 ，所以C正确；因为g2+x 为偶函数，所以g2+x=g2−x ，函数gx 的图象关于直线x=2 对称，因为gx=f′x ，所以函数gx 的图象关于点32,0 对称，所以gx 的周期T=4×2−32=2 ，因为f−1=f4 ，所以f′−1=−f′4 ，即g−1=−g4=−g2 ，所以D不正确；因为f32−2=f32+2 ，即f−12=f72 ,所以f′−12=−f′72 ，所以g−12=−g72=−g2×2−12=−g−12 ，所以g−12=0 ，所以B正确；不妨取fx=1x∈R ，经验证满足题意，但f0=1 ，所以选项A不正确.综上，选BC.
13. 若函数fx 称为“准奇函数”，则必存在常数a ,b ,使得对定义域内的任意x 值，均有fx+f2a−x=2b ，则a=2 ,b=2 的一个“准奇函数”为fx=2x−3x−2x≠2 （答案不唯一）.（填写解析式）
[解析]由fx+f2a−x=2b ,知“准奇函数”fx 的图象关于点a,b 对称，若a=2 ,b=2 ,即fx 图象关于点2,2 对称，如y=1x 向右平移两个单位，向上平移两个单位，得到fx=2+1x−2=2x−3x−2 ,故其图象就关于点2,2 对称.
14.已知函数fx 是定义在R 上的奇函数，当x∈[0,+∞) 时，fx=x2+x+2x+m .
（1） 求fx 在−∞,0 上的解析式；
[答案]解：由题得f0=1+m=0 ，则m=−1 .当x<0 时，−x>0 ，所以f−x=−x2−x+2−x−1=x2−x+2−x−1 ，
则fx=−f−x=−x2+x−2−x+1 ，
所以所求解析式为fx=−x2+x−2−x+1x<0 .
（2） 若f2a2−1+fa<0 ，求实数a 的取值范围.
[答案]当x∈[0,+∞) 时，fx=x2+x+2x−1 ，则fx 在[0,+∞) 上单调递增，
又函数fx 为奇函数，所以fx 在R 上单调递增，
因为f2a2−1+fa<0 ，所以f2a2−1解得−1[C级 素养提升]
15.已知函数fx 的定义域为R ，且fx+y+fx−y=fxfy ,f1=1 ,则∑22k=1fk= ( A )
A. −3 B. −2 C. 0 D. 1
[解析]选A.因为f1=1 ，所以在fx+y+fx−y=fxfy 中，令y=1 ，得fx+1+fx−1=fxf1 ，所以fx+1+fx−1=fx ①，所以fx+2+fx=fx+1 ②.由①②相加，得fx+2+fx−1=0 ，故fx+3+fx=0 ，所以fx+3=−fx ，所以fx+6=−fx+3=fx ，所以函数fx 的一个周期为6.在fx+y+fx−y=fxfy 中，令x=1 ，y=0 ，得fx+fx=fxf0 ，所以f0=2 .令x=1 ，y=1 ，得f2+f0=f1f1 ，所以f2=−1 .由fx+3=−fx ，得f3=−f0=−2 ，f4=−f1=−1 ，f5=−f2=1 ，f6=−f3=2 ，所以f1+f2+…+f6=1−1−2−1+1+2=0 ，根据函数的周期性知，∑22k=1fk=f1+f2+f3+f4=1−1−2−1=−3 ，故选A.
16.设函数fx 的定义域为R .若存在常数T ，AT>0,A>0 ，使得对任意x∈R ，fx+T=Afx 都成立，则称函数fx 具有性质P .
（1） 判断函数y=x 和y=csx 是否具有性质P？ （结论不要求证明）
[答案]解：因为函数y=x 是增函数，
所以函数y=x 不具有性质P .
当A=1 ，T=2π 时，
函数y=csx 对于任意x∈R ,
fx+T=Afx 成立，
所以y=csx 具有性质P .
（2） 若函数fx 具有性质P ，且其对应的T=π ，A=2 .当x∈(0,π] 时，fx=sinx ，求函数fx 在区间[−π,0] 上的最大值.
[答案]设x∈(−π,0] ,
则x+π∈(0,π] ,
由题意得，
fx+π=2fx=sinx+π ,
所以fx=−12sinx ,x∈(−π,0] ,
由f−π+π=2f−π ,
f0+π=2f0 ,
得f−π=14fπ=0 ,
所以当x∈[−π,0] 时，
fx=−12sinx ,
所以当x=−π2 时，fx 在[−π,0] 上有最大值f−π2=12 .