2025高考数学一轮复习-3.1-导数的概念及运算-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-3.1-导数的概念及运算-专项训练【含答案】，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1．已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式为h＝13t3＋t2，当t＝t0时，液体上升高度的瞬时变化率为3 cm/s，则当t＝t0＋1时，液体上升高度的瞬时变化率为( )
A．5 cm/s B．6 cm/s
C．8 cm/s D．10 cm/s
2．过坐标原点作曲线y＝ex-2＋1的切线，则切线方程为( )
A．y＝x B．y＝2x
C．y＝1e2x D．y＝ex
3．已知函数f (x)＝2cs x－f ′π3sin x，则f ′π3＝( )
A．233 B．－233
C．2 D．－2
4．已知直线y＝x是曲线f (x)＝ln x＋a的切线，则a＝( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
5．若P为函数f (x)＝12ex－3x图象上的一个动点，以P为切点作曲线y＝f (x)的切线，则切线倾斜角的取值范围是( )
A．0，2π3 B．π2，2π3
C．2π3，π D．0，π2∪2π3，π
6．牛顿迭代法是求方程近似解的另一种方法．如图，方程f (x)＝0的根就是函数f (x)的零点r，取初始值x0，f (x)的图象在横坐标为x0的点处的切线与x轴的交点的横坐标为x1，f (x)的图象在横坐标为x1的点处的切线与x轴的交点的横坐标为x2，一直继续下去，得到x1，x2，…，xn，它们越来越接近r.若f (x)＝x2－2(x>0)，x0＝2，则用牛顿迭代法得到的r的近似值x2约为( )
A．1.438 B．1.417
C．1.416 D．1.375
二、多项选择题
7．已知函数f (x)及其导函数f ′(x)，若存在x0，使得f (x0)＝f ′(x0)，则称x0是f (x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )
A．f (x)＝x2 B．f (x)＝e－x
C．f (x)＝ln x D．f (x)＝tan x
8．已知函数f (x)＝ex＋2(e为自然对数的底数)，则下列结论正确的是( )
A．曲线y＝f (x)的切线斜率可以是－2
B．曲线y＝f (x)的切线斜率可以是3
C．过点(0，2)且与曲线y＝f (x)相切的直线有且只有1条
D．过点(1，4)且与曲线y＝f (x)相切的直线有且只有2条
三、填空题
9．曲线y＝2x−1x+2在点(－1，－3)处的切线方程为________．
10．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：记y＝f ′(x)为y＝f (x)的导函数，y＝f ′′(x)为y＝f ′(x)的导函数，则曲线y＝f (x)在点(x，f (x))处的曲率为K＝f''x1+f'x232.曲线f (x)＝ln x－cs (x－1)在点(1，f (1))处的曲率为 ________．
四、解答题
11．已知两曲线y＝x3＋ax和y＝x2＋bx＋c都经过点P(1，2)，且在点P处有公切线．
(1)求a，b，c的值；
(2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(3)若曲线y＝ln (bx－1)上的点M到直线2x－y＋3＝0的距离最短，求点M的坐标和最短距离．
12．已知函数f (x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f (x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f (x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
13．若过点(a，b)可作曲线y＝x2－2x的两条切线，则点(a，b)可以是( )
A．(0，0) B．(1，1)
C．(3，0) D．(3，4)
参考答案
1．C [由h＝13t3＋t2，得h′＝t2＋2t.
当t＝t0时，h′＝t02＋2t0＝3，解得t0＝1(t0＝－3舍去)．
故当t＝t0＋1＝2时，液体上升高度的瞬时变化率为22＋2×2＝8 cm/s.故选C.]
2．A [由函数y＝ex-2＋1，可得y′＝ex-2，
设切点坐标为(t，et-2＋1)，可得切线方程为y－(et-2＋1)＝et-2(x－t)，
把原点(0，0)代入方程，可得0－(et-2＋1)＝et-2(0－t)，即(t－1)et-2＝1，
解得t＝2，所以切线方程为y－(e0＋1)＝e0(x－2)，即y＝x.故选A.]
3．B [因为f (x)＝2cs x－f ′π3sin x，
所以f ′(x)＝－2sin x－f ′π3cs x，
故f ′π3＝－2sin π3－f ′π3cs π3，
即f ′π3＝－3−12f ′π3，
所以f ′π3＝－233.故选B.]
4．B [由f (x)＝ln x＋a，得f ′(x)＝1x，令直线y＝x与曲线f (x)＝ln x＋a相切的切点为(x0，ln x0＋a)，于是1x0＝1且ln x0＋a＝x0，所以a＝x0＝1.故选B.]
5．D [设P点坐标为(x0，y0)，
由f (x)＝12ex－3x，x∈R，得f ′(x)＝12ex－3，
则以P为切点的切线斜率为12ex0－3>－3，
令切线倾斜角为θ，θ∈[0，π)，则tan θ>－3，
则θ∈0，π2∪2π3，π.故选D.]
6．B [f ′(x)＝2x，而x0＝2，则f ′(x0)＝4，又f (x0)＝2，于是函数f (x)的图象在横坐标为x0＝2的点处的切线方程为y－2＝4(x－2)，
令y＝0，得x1＝32，则f ′(x1)＝3，f (x1)＝322－2＝14，
因此函数f (x)的图象在横坐标为x1＝32的点处的切线方程为y－14＝3x−32，令y＝0，得x2＝1712≈1.417，所以x2约为1.417.故选B.]
7．AC [若f (x)＝x2，则f ′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f (x)＝e－x，则f ′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f (x)＝ln x，则f ′(x)＝1x，令ln x＝1x，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝1x的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f (x)＝f ′(x)存在实数解，故C符合要求；若f (x)＝tan x，则f ′(x)＝sinxcsx′＝1cs2x，令tanx＝1cs2x，化简得sinx cs x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求．故选AC.]
8．BCD [因为f (x)＝ex＋2，所以f ′(x)＝ex，
对于A，令f ′(x)＝ex＝－2，方程无解，所以曲线y＝f (x)的切线斜率不可以是－2，故A错误；
对于B，令f ′(x)＝ex＝3，解得x＝ln 3，所以曲线y＝f (x)的切线斜率可以是3，故B正确；
对于C，设切点(x0，ex0＋2)，则切线方程为y−ex0－2＝ex0(x－x0)，因为点(0，2)在切线上，
所以2−ex0－2＝ex0(0－x0)，即−ex0＝−x0ex0，显然ex0≠0，所以x0＝1，
故过点(0，2)且与曲线y＝f (x)相切的直线有且只有1条，故C正确；
对于D，设切点(x_1 ，e^(x_1 ) ＋2)，则切线方程为y−ex1－2＝ex1(x－x1)，
因为点(1，4)在切线上，所以4−ex1－2＝ex1(1－x1)，即x1ex1−2ex1＋2＝0，
令g(x)＝xex－2ex＋2，则g′(x)＝(x－1)ex，所以当x0，
即a2－2a－b>0，即b12－2×1，B不满足；
对于点(3，0)，032－2×3，D不满足．
故选C.