2025高考数学一轮复习-4.3.1-两角和与差的正弦、余弦和正切-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-4.3.1-两角和与差的正弦、余弦和正切-专项训练【含答案】，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．sin α＝33，α∈0，π2，β＝π4，则tan (α－β)＝( )
A．22－1 B．22－3
C．22＋3 D．3－22
2．cs2π12－cs25π12＝( )
A．12 B．33
C．22 D．32
3．已知sin θ＋cs θ−π6＝1，则cs θ−π3＝( )
A．33 B．－33
C．63 D．－63
4．若sin (α＋β)＋cs (α＋β)＝2 2cs α+π4sin β，则( )
A．tan (α－β)＝1 B．tan (α＋β)＝1
C．tan (α－β)＝－1 D．tan (α＋β)＝－1
5．已知cs α＋cs β＝12，sin α－sin β＝13，则cs (α＋β)的值为( )
A．－1372 B．1372
C．－5972 D．5972
6．已知α，β∈−π2，π2，若tan α，tan β是方程x2－43x＋5＝0的两根，则α＋β＝( )
A．－π3或2π3 B．－π3
C．2π3 D．5π6
二、多项选择题
7．若5sin 2α＋5cs 2α＋1＝0，则tan α的值可能为( )
A．2 B．3
C．－13 D．－12
8．已知cs α＝13，cs (α＋β)＝－13，且α，β∈0，π2，则( )
A．cs β＝79 B．sin β＝23
C．cs (α－β)＝2327 D．sin (α－β)＝－427
三、填空题
9．已知α，β∈−π2，0，且tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α＋β＝________．
10．已知sin (α＋β)＝12，sin (α－β)＝13，则tanαtanβ＝________．
四、解答题
11．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y＝2x上．
(1)求cs 2α的值；
(2)已知α∈0，π2，sin β+π4＝1010，－π2<β<0，求sin (α－2β)的值．
12．在①tan(π＋α)＝3；②sin (π－α)－2sin π2−α＝cs (－α)；③3sin π2+α＝cs 3π2+α中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题．
已知0<β<α<π2，________，cs (α＋β)＝－55.
(1)求sin α−π4；
(2)求β.
13．在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高．如图为室内5人制足球场示意图，设球场(矩形ABCD)长BC大约为40 m，宽AB大约为20 m，球门长PQ大约为4 m．在某场比赛中有一位球员欲在边线BC上的点M处射门(假设球贴地直线运行)，求当张角∠PMQ最大时， BM的长大约为多少(精确到1 m)．
参考答案
1．B [sin α＝33，α∈0，π2，则有cs α＝1−sin2α＝63，tanα＝sinαcsα＝22，
tan (α－β)＝tanα−tanβ1+tanαtanβ＝22−11+22＝22－3.故选B.]
2．D [因为cs5π12＝sin π2−5π12＝sin π12，
所以cs2π12－cs25π12＝cs2π12－sin2π12
＝cs2×π12＝cs π6＝32.故选D.]
3．A [根据题意，sin θ＋cs θ−π6＝1，
即sin θ＋32cs θ＋12sin θ＝32sin θ＋32cs θ＝1，
故3cs θ−π3＝1⇒cs θ−π3＝33.故选A.]
4．C [法一：设β＝0，则sin α＋cs α＝0，取α＝3π4，排除A，B；
再取α＝0，则sin β＋cs β＝2sin β，取β＝π4，排除D.故选C.
法二：由sin (α＋β)＋cs (α＋β)＝2sin α+β+π4＝2sin α+π4+β＝2sin α+π4cs β＋2cs α+π4sin β，
故2sin α+π4cs β＝2cs α+π4sin β，
故sin α+π4cs β－cs α+π4sin β＝0，即sin α+π4−β＝0，故sin α−β+π4＝22sin (α－β)＋22cs (α－β)＝0，故sin (α－β)＝－cs (α－β)，
故tan (α－β)＝－1，故选C.]
5．C [(cs α＋cs β)2＝cs2α＋2csαcs β＋cs2β＝14，
(sinα－sin β)2＝sin2α－2sinαsin β＋sin2β＝19，
两式相加得2＋2(csαcs β－sin αsin β)
＝2＋2cs (α＋β)＝14+19＝1336，
∴cs (α＋β)＝－5972.故选C.]
6．C [由tan α，tan β是方程x2－43x＋5＝0的两根可得 tan α＋tan β＝43，tan α·tan β＝5.
所以tan α，tan β均为正数，
又α，β∈−π2，π2，故α，β∈0，π2，
所以tan (α＋β)＝tanα+tanβ1−tanα·tanβ＝431−5＝－3.
又α＋β∈(0，π)．
故α＋β＝2π3.故选C.]
7．BD [∵5sin 2α＋5cs 2α＋1＝0，即5×2sinαcsα+5cs2α−5sin2αsin2α+cs2α＝－1，
即10tanα+5−5tan2αtan2α+1，
即2tan2α－5tanα－3＝0，
∴tan α＝3或tan α＝－12.故选BD.]
8．AC [因为α∈0，π2，cs α＝13，所以sin α＝223，又α，β∈0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin (α＋β)＝1−cs2α+β＝223，所以csβ＝cs [(α＋β)－α]＝cs (α＋β)cs α＋sin (α＋β)sin α＝－19+89＝79，A正确．sin β＝429，B错误．cs (α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝2327，C正确．sin (α－β)＝sin αcs β－cs αsin β＝10227，D错误．]
9．－2π3 [由tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3得
tan (α＋β)＝tanα+tanβ1−tanαtanβ＝3，
又α，β∈−π2，0，则α＋β∈(－π，0)，
所以α＋β＝－2π3.]
10．5 [因为sin (α＋β)＝12，sin (α－β)＝13，所以sin αcs β＋cs αsin β＝12，sin αcs β－cs αsin β＝13，所以sin αcs β＝512，cs αsin β＝112，所以tanαtanβ＝sinαcsβcsαsinβ＝5．]
11．解：(1)由题意得，tan α＝2，
∴cs 2α＝cs2α−sin2αcs2α+sin2α＝1−tan2α1+tan2α＝1−41+4＝－35.
(2)由sinαcsα＝2，sin2α+cs2α＝1，且α∈0，π2，
解得sin α＝255，cs α＝55.
又sin β+π4＝1010，β＋π4∈−π4，π4，
∴cs β+π4＝31010.
∴cs β＝cs β+π4−π4
＝cs β+π4cs π4＋sin β+π4sin π4
＝31010×22+1010×22＝255，
则cs 2β＝2cs2β－1＝2×45－1＝35，
∵－π＜2β＜0，则sin2β＝－1−cs22β＝－45.
∴sin(α－2β)＝sin αcs 2β－cs αsin 2β
＝255×35−55×−45＝255.
12．解：(1)若选①，tan (π＋α)＝tan α＝sinαcsα＝3，
又因为sin2α＋cs2α＝1，0<α<π2，
所以sinα＝31010，cs α＝1010，
所以sin α−π4＝sin αcs π4－cs αsin π4＝31010×22−1010×22＝55.
若选②，因为sin (π－α)－2sin π2−α＝cs (－α)，化简得sin α＝3cs α，
又因为sin2α＋cs2α＝1，0<α<π2，所以sinα＝31010，cs α＝1010，
所以sin α−π4＝sin αcs π4－cs αsin π4＝31010×22−1010×22＝55.
若选③，因为3sin π2+α＝cs 3π2+α，化简得3cs α＝sin α，
又因为sin2α＋cs2α＝1，0<α<π2，所以sinα＝31010，cs α＝1010，
所以sin α−π4＝sin αcs π4－cs αsin π4＝31010×22−1010×22＝55.
(2)因为0<β<α<π2，且cs (α＋β)＝－55，所以π2<α＋β<π，
所以sin (α＋β)＝1−cs2α+β＝255，
所以sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝255×1010−−55×31010＝22，
又因为0<β<π2，所以β＝π4.
解：由题意知，PB＝8，QB＝12，设∠PMB＝α，∠QMB＝β，BM＝x，则tan α＝8x，tan β＝12x，所以tan ∠PMQ＝tan (β－α)＝12x−8x1+12x·8x＝4xx2+96＝4x+96x≤42x·96x＝612，当且仅当x＝96x，即x＝96时取等号，又因为96≈10，所以BM的长大约为10 m